Что такое верхний предел

2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности <x_n> называется ее верхним пределом, , гдеX – множество всех частичных пределов. Можно показать, что .Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то. Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы. (без доказательства)

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов <x_n>.

3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:>0Nn>Np😐x_n+p — x_n|<

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность <x_n> сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N😐x_n —a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |x_n+p —a|< /2. Таким образом, для n>Np😐x_n+p — x_n| |x_n+p — a|+|a — x_n| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть  >0. Для

=/2N₁n>N₁p😐x_n+p — x_n|</2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N₁+1 оказались в окрестности числа />, следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность, пусть . Для ранее выбранного 

(2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N₁, тогда число N=n_m будет больше N₁ и, согласно (1)

n>N😐x_n — x_N|</2 , (3)

с другой стороны из (2)

(4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|x_n—a|< ч.т.д.

§4. Свойства последовательностей

1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.

Последовательность _n называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность _n называется бесконечно большой (б.б.), если

1) <_n> б.м.  |_n| б.м.

2) <_n+_n> б.м. , если _n , _n б.м.

Следствие. <_n+_n+…+_n> б.м. если _n , _n ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей <x_k>, <y_k> называется последовательность <x_ky_k>.

3) б.м. на ограниченную является б.м.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м..

5)Ранее отмечалось, что

существование конечного предела равносильно существованию б.м. <_n> такой, что .

6) <x_n>,<y_n> сходятся, то сходится <x_n+y_n> и

Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен 

7) <x_n>,<y_n> сходятся, то сходится <x_ny_n> и .

Доказательство.

Следствие 1.Если <x_n> сходятся, то сходится <сx_n> и

Следствие 2. x_na 

8) x_na  |x_n||a|

9) x_na, y_nb, y_n0, b0 

Лемма. Если y_nb, y_n0, b0, то |1/y_n| ограничена.

Доказательство: , тогда для

таким образом,

Доказательство свойства 9)

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность — бесконечно малая.

Верхний предел

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δ_n = 1 / n и, выбирая в каждой δ -окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается , а это означает, что в любой окрестности точки a₁ находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a₁ ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность <x_n> сходится к a тогда и только тогда, когда

Верхний и нижний пределы последовательности. В разделе 4.6 показано, что числовая последовательность всегда имеет по крайней мере 1 частичный предел, либо конечный, либо бесконечный. Максимум и минимум из них (учитывая ниже, что они всегда присутствуют) это играОн играет особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия «максимум» и «минимум» понимаются в смысле расширенного набора действительных чисел K (см.§ 3.1).То есть наибольший (наименьший) элемент множества X ^ K в частности равен+ then (соответственно), что делается при+€€ € (—это€X).в данном случае это означает, что бесконечность соответствующего знака является частичным ограничением рассматриваемой последовательности. Не все наборы расширенных числовых строк имеют максимальный (минимальный) элемент.

• Однако, если этот набор является частичным набором ограничений для определенной последовательности, максимальные и минимальные элементы всегда присутствуют, как показано ниже. Определение 19.Максимальный частичный предел для последовательностиназывается верхним пределом и обозначается символом xn, а минимальный частичный предел называется нижним пределом. n<sup На это указывают ограничения Теорема 13.Любая последовательностьимеет как максимальные, так и минимальные частичные пределы. Доказательство. Докажем существование максимального частичного ограничения. Для указанной последовательности возможны 2 случая. Связано ли оно с этим.

Если она не ограничена вершиной, то положительная бесконечность+ тогда является ее частичным пределом, который, очевидно, является максимумом, то есть 1_m xn = + тогда. n<sup Если последовательностьограничена вершиной, есть 2 возможных случая снова. Сначала рассмотрим первый случай. Ограниченный сверху данной последовательноститакже означает ограниченный сверху непустого множества его конечной частичной границы. Это приводит к тому, что множество A имеет конечную верхнюю границу. указывает, что b = vir A является частичным пределом, то есть b€A. In дело в том, что в случае b $ A интервал (b-e, b + e) имеет конечное число членов в последовательности (в частности, он не единичен), поэтому (в этом интервале) один элемент A не существует и противоречит условию b = vir A.

• Таким образом, это B€A, и поэтому самый большой элемент множества A. In в остальном случае, то есть если последовательностьограничена сверху, а ее конечное множество частичных пределов a пусто, то она xn = TO (докажи это), то есть в этом случае множество частичных пределов будет состоять из 1 элемента-то есть максимума в этом множестве, то есть здесь. Аналогично, для любой последовательности доказывается наличие минимального (конечного или бесконечного) частичного предела. Теорема 14.Для того чтобы число a было верхней границей последовательности, следующие 2 условия должны быть достаточными для любого числа E. 1.Существует такое число ne, что неравенство xn A + e справедливо для каждого числа n ne. 2.

Для любого числа n, например n’N и xn’A-e, существует число n ’(зависящее от e и n). Условие 1 означает, что для любого фиксированного e в последовательности существует только конечное число членов xn, таких как xn a + e (эти числа не больше ne). Условие 2 означает, что для любого фиксированного e в последовательности существует бесконечно много таких членов xn. Доказательство необходимости. Давайте попробуем это исправить. Если в полупериоде существует бесконечно много членов последовательности [a + e,+ then), то существует подпоследовательность, элементы которой принадлежат этому полупериоду и имеют конечные или бесконечные пределы. очевидно, что b A + e A противоречит тому факту, что a является максимальным частичным ограничением последовательности. Условие 1 доказано.

• Кроме того, существует подпоследовательность, такая, что она xn = a, поскольку верхний предел также является частичным пределом. Почти все члены последовательности n→тогда поскольку больше, чем a-e, он бесконечен есть много членов в последовательности, которые больше, чем A-e, и Условие 2 также доказано. Доказательство адекватности. предположим, что a удовлетворяет условиям 1 и 2.покажем, что a является частичным ограничением. e = 1 / k, k = 1, 2,…Возьми его с собой. Для каждого натурального k существует номер ПК, который выглядит следующим образом: Его x a-1 / k(в зависимости от условия 2) и x a + 1 / k (В соответствии с условием 1).Для любого k неравенство a-1 / k xn a + 1 / k представляет собой бесконечное множество элементов xn определенной последовательности, поэтому число N K равно n(n = 1, 2,…) В п ^ кг k2.As в результате получаем подпоследовательностьэтой последовательности.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Ограничение высшего и нижнего — Limit superior and limit inferior

В математике предел нижний и верхний предел следовать можно рассматривать как ограничивающие (т. Е. Возможные и крайние) границы следуют. Их можно рассматривать аналогичным образом функции (см. Предел функции ). Для набора это нижняя грань и верхняя грань предельных точек набора соответственно. В общем, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают маленький и большой из них; тип объекта и мера размера зависит от контекста, но понятие крайних пределов остается неизменным. Нижний предел также называется предел нижнего предела, предел нижнего предела, предел, нижний предел, нижний предел или внутренний предел ; верхний предел также известен как верхний предел, верхний предел, limsup, верхний предел, верхний предел, или внешний предел .

Иллюстрация верхнего и нижнего пределов. Последовательность x n метод синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему пределу предела и нижнему пределу x n, показанным черными линиями. В этом случае последовательность накапливается вокруг пределов. Верхний предел — больший из двух, а нижний предел — меньший из двух. Когда есть окончательный предел, последний предел совпадает.

Нижний предел следовать xn <\ displaystyle x_ > обозначается

lim inf n → ∞ xn или lim _ n → ∞ ⁡ xn. <\ displaystyle \ liminf _ x_ \ quad <\ text > \ quad \ varliminf _ x_ .>

Верхний предел xn <\ displaystyle x_ > обозначается

lim sup n → ∞ xn или lim ¯ n → ∞ ⁡ xn. <\ displaystyle \ limsup _ x_ \ quad <\ text > \ quad \ varlimsup _ x_ .>

Содержание

• 1 Определение последовательностей
• 2 Случайных последовательностей чисел
  • 2.1 Интерпретация
  • 2.2 Свойства
    • 2.2.1 Примеры
    • 5.1 Общая сходимость множеств
    • 5.2 Частный случай: дискретная метрика
    • 5.3 Примеры
    • 6.1 Определение для множества
    • 6.2 Определение для базы фильтров
      • 6.2. 1 Специализация для последовательностей и цепей

      Определение для ссылок

      Предел подчиненных последовательностей (x n) определяется как

      lim inf n → ∞ xn: = sup n ≥ 0 inf m ≥ nxm = sup : n ≥ 0>. <\ displaystyle \ liminf _ x_ : = \ sup _ \, \ inf _ x_ = \ sup \ <\, \ inf \ <\, x_ : m \ geq n \, \>: n \ geq 0 \, \>.>

      Аналогично, верхний предел (x n) равенство определено

      lim sup n → ∞ xn: = inf n ≥ 0 sup m ≥ nxm = inf ^{: n ≥ 0>. <\ displaystyle \ limsup _ x_ : = \ inf _ \, \ sup _ x_ = \ inf \ <\, \ sup \ <\, x_ : m \ geq n \, \>: n \ geq 0 \, \>.>}

      В качестве альтернативы, обозначения lim _ n → ∞ ⁡ xn: = lim inf n → ∞ xn <\ displaystyle \ varliminf _ x_ : = \ liminf _ x_ > и lim ¯ N → ∞ ⁡ xn: = lim sup n → ∞ xn <\ displaystyle \ varlimsup _ x_ : = \ limsup _ x_ > иногда используются.

      Верхние и нижние пределы могут быть испытаны с использованием концепции подпоследовательных пределов последовательных (x n) <\ displaystyle (x_ )> . Элемент ξ <\ displaystyle \ xi>расширенных действительных чисел R ¯ <\ displaystyle <\ overline <\ mathbb >>> является подпоследовательным пределом (xn) <\ displaystyle (x_ )> , если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел (nk) <\ displaystyle (n_ ))> такой, что ξ = lim k → ∞ xnk <\ displaystyle \ xi = \ lim _ x_ >> . Если E ⊂ R ¯ <\ displaystyle E \ subset <\ overline <\ mathbb >>> — это набор всех подпоследовательных пределов (xn) <\ displaystyle (x_ < n>)> , затем

      Если члены являются действующими числами, верхний предел и нижний предел всегда существует, поскольку действительные числа вместе с ± ∞ (т. е. строка расширенного действительного числа ) являются полным. В более общем смысле, эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном наборе при условии существования suprema и infima, например, в полной решетке.

      Когда существующий предел, оба предела ниже и выше равны ему; поэтому каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, в первую очередь интересен в тех случаях, когда предел не существует. Когда оба существуют lim inf x n и lim sup x n, мы имеем

      lim inf n → ∞ x n ≤ lim sup n → ∞ x n. <\ displaystyle \ liminf _ x_ \ leq \ limsup _ x_ .>

      Ограничения ниже / выше относ к большим- O обозначение в том, что они связывают последовательность только «в пределе»; последовательность может выходить за границы. Как верхний предел остается меньше, чем все элементы должны быть выполнены. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограниченным нижним пределом минус произвольно малая положительная константа.

      Верхний предел и нижний предел устанавливают частным случаем таковых для функций (см. Ниже).

      Случайные действительные числа

      В математическом анализе верхний предел и нижний предел являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел. Удобно рассматривать в аффинно расширенной системой вещественных чисел : мы складываем положительные и отрицательные бесконечности к вещественной прямой, чтобы получить полный полностью упорядоченный набор [−∞, ∞], который является полной решеткой.

      Интерпретация

      Рассмотрим последовательность (x n) <\ displaystyle (x_ )> , состоящую из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (а значит, не бесконечными).

      • Превышение предела xn <\ displaystyle x_ > — это наименьшее действительное число b <\ displaystyle b>такое, что для любого положительного действительного число ε <\ displaystyle \ varepsilon>, существует натуральное число N <\ displaystyle N>такое, что xn для всех n>N <\ displaystyle n>N> . Другими словами, число является любым, превышающим верхний предел, конечной верхней границей. Только конечное число элементов больше чем b + ε <\ displaystyle b + \ varepsilon>.
      • Нижний предел xn <\ displaystyle x_ > — наибольшее действительное число b <\ displaystyle b>такое, что для любого положительного действительного числа ε <\ displaystyle \ varepsilon>существует натуральное число N <\ displaystyle N>такой, что xn>b — ε <\ displaystyle x_ >b- \ varepsilon> для всех n>N <\ displaystyle n>N> . Другими словами, любое число ниже нижнего предела является конечной нижней границей для введения. Только конечное число элементов следовать меньше b — ε <\ displaystyle b- \ varepsilon>.

      Свойства

      В случае, если последовательность ограничена, для всех ϵ>0 <\ displaystyle \ epsilon>0> почти все члены следуют лежат в открытом интервале (lim inf n → ∞ xn — ϵ, lim sup n → ∞ xn + ϵ) <\ displaystyle (\ liminf _ x_ — \ epsilon, \ limsup _ x_ + \ epsilon)> .

      Взаимосвязь нижнего предела и верхнего предела для последовательностей действительных чисел выглядит следующим образом:

      lim sup n → ∞ (- xn) = — lim inf n → ∞ xn <\ displaystyle \ limsup _ (- x_ ) = — \ liminf _ x_ >

      в этом случае lim n → ∞ xn <\ displaystyle \ lim _ x_ > равно их обычному значению. (Обратите внимание, что при работе только в R <\ displaystyle \ mathbb > , сходимость к −∞ или ∞ не будет рассматриваться как сходимость.) Временный нижний предел — это самое большее ограничение выше, выполняются следующие условия

      lim inf n → ∞ xn = ∞ ⇒ lim n → ∞ xn = ∞, <\ displaystyle \ liminf _ x_ = \ infty \; \; \ Правая стрелка \; \; \ lim _ x_ = \ infty,> lim sup n → ∞ xn = — ∞ ⇒ lim n → ∞ xn = — ∞. <\ displaystyle \ limsup _ x_ = — \ infty \; \; \ Правая стрелка \; \; \ lim _ x_ = — \ infty. >

      Если I = lim inf n → ∞ xn <\ displaystyle I = \ liminf _ x_ > и S = lim sup n → ∞ xn <\ displaystyle S = \ limsup _ x_ > , тогда интервал [I, S] не обязательно должен содержать какое-либо из чисел x n, но небольшое увеличение [I — ε, S + ε] (для сколь угодно малого ε>0) будет содержать x n для всех, кроме конечного числа индексов n. Фактически, интервал [I, S] — наименьший отрезок с этим своимством. Мы можем формализовать это следующим образом: существуют подпоследовательности xkn <\ displaystyle x_ >> и xhn <\ displaystyle x_ >> из xn <\ displaystyle x_ > (где kn <\ displaystyle k_ > и hn <\ displaystyle h_ > однообразны), для которого мы имеем

      lim inf n → ∞ xn + ϵ>xhnxkn>lim sup n → ∞ xn — ϵ <\ displaystyle \ liminf _ x_ + \ epsilon>x_ > \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_ >>\ limsup _ x_ — \ epsilon>

      С другой стороны, существует n 0 ∈ N <\ displaystyle n_ <0>\ in \ mathbb > так, чтобы для всех n ≥ n 0 <\ displaystyle n \ geq n_ <0>>

      lim inf n → ∞ xn — ϵ

      • Если Λ < \ отображает tyle \ Lambda>больше верхнего предела, существует не более конечного числа xn <\ displaystyle x_ > больше, чем Λ <\ displaystyle \ Lambda>; если меньше, то их бесконечно много.
      • Если λ <\ displaystyle \ lambda>меньше предельного значения inferior, существует не более конечного числа xn <\ displaystyle x_ > меньше λ <\ displaystyle \ lambda>; если больше, то их бесконечно много.

      inf nxn ≤ lim inf n → ∞ xn ≤ lim sup n → ∞ xn ≤ sup nxn <\ displaystyle \ inf _ x_ \ leq \ liminf _ x_ \ leq \ limsup _ x_ \ leq \ sup _ x_ >

      Liminf и limsup показывает — соответственно наименьшая и наибольшая точки кластера.

      • Для любых двух последовательностей действующих чисел , <\ displaystyle \ \>, \ \>> , верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда определена правая часть неравенства ( т. е. не ∞ — ∞ <\ displaystyle \ infty - \ infty>или — ∞ + ∞ <\ displaystyle - \ infty + \ infty>):

      Аналогично, limit inferior удовлетворяет супераддитивности :

      lim inf n → ∞ (an + bn) ≥ Lim inf n → ∞ (an) + lim inf n → ∞ (bn). <\ displaystyle \ liminf _ (a_ + b_ ) \ geq \ liminf _ (a_ ) + \ liminf _ (b_ ).>

      В частном случае, когда одна из последовательностей действительно сходится, скажем, an → a <\ displaystyle a_ \ to a> , то приведенные выше неравенства становятся равенствами (с lim sup n → ∞ an <\ displaystyle \ limsup _ a_ > или lim inf n → ∞ заменяется <\ displaystyle \ liminf _ a_ > на a <\ displaystyle a>).

      • Для любых последовательностей неотрицательных чисел , <\ displaystyle \ \>, \ \>> , неравенства

      удерживать, когда правая часть не имеет формы 0 ⋅ ∞ <\ displaystyle 0 \ cdot \ infty>.

      Если lim n → ∞ an = A <\ displaystyle \ lim _ a_ = A> существует (включая случай A = + ∞ <\ displaystyle A = + \ infty>) и В знак равно лим суп N → ∞ BN <\ Displaystyle B = \ limsup _ b_ > , затем lim sup n → ∞ (anbn) = AB <\ displaystyle \ limsup _ (a_ b_ ) = AB> при условии, что AB <\ displaystyle AB>не имеет формы 0 ⋅ ∞ <\ displaystyle 0 \ cdot \ infty>.

      Примеры

      • В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную x n= sin (n). Используя тот факт, что pi является иррациональным, можно показать, что
      • Пример из теория чисел is

      где p n — n-е простое число. Предполагается, что значение этого нижнего предела равно 2 — это гипотеза о двойном простом числе — но по состоянию на апрель 2014 года было доказано, что оно меньше или равно 6. Соответствующий верхний предел + ∞ <\ displaystyle + \ infty>, потому что есть произвольные промежутки между последовательными простыми числами.

      Функции с действительным знаком

      Предположим, что функция определена из подмножества действующих чисел на действительные числа. Как и в последовательности с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если допускаются значения + ∞ и -∞; фактически, если оба согласны, то предел и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, если f (x) = sin (1 / x), мы имеем lim sup x → 0 f (x) = 1 и lim inf x → 0 f (x) = -1. Разница между ними колеблется функция, и при наблюдении этого факта это называется колебанием f на 0. Этого представления о колебаниях достаточно, чтобы, например, охарактеризуйте интегрируемые по Риману функции как непрерывные, за исключением набора нулевой меры. Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (то есть точки, в которых f имеет значение «плохо себя ведет ») являются разрывами, которые, если они составляют набор из нуля, ограничены незначительным набором.

      Функции от метрических пространств до полных решеток

      Принцип lim sup и lim inf для функций, определенных на метрическом пространстве, отношение к пределам действующих значений функции отражают отношения между lim sup, lim inf и пределом практическую установку. Возьмем метрические пространства X и Y, подпространство E, содержащееся в X, функция f: E → Y. Определим для любого предельной точки a из E,

      где B ( a; вокруг ε) обозначает метрический шар радиуса ε a.

      Обратите внимание, что при сжатии ε верхняя грань функция по шару монотонно убивает, поэтому

      Это, наконец, определяет мотив для общие топологические пространства. Возьмем X, Y, E и как раньше, но теперь пусть X и Y оба являются топологическими пространствами. В этом случае заменили метрические шары сменами:

      (есть способ записать формулу, используя «lim», используя сети и фильтр соседства). Эта версия часто бывает полезна при обсуждении полунепрерывности, довольно часто возникает проблема при анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции от натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной вещественной прямой, в пространство (замыкание N в [−∞, ∞ ], строка расширенного действительного числа, это N ∪ <∞>.)

      Последовательности наборов

      набор мощности ℘ (X) набора X — это полная решетка, которая упорядочена по включению множества, и поэтому верхняя и нижняя грани любого набора подмножеств (с точки зрения включения множества) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y в X ограничено сверху X и снизу пустым множеством ∅, потому что ∅ ⊆ Y ⊆ X. Следовательно, можно (а иногда и полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в ℘ (X) (то есть последовательности подмножеств X).

      Есть два обычных способа определить предел последовательностей наборов. В обоих случаях:

      • Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не вокруг самих точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления, которые каким-то образом находятся рядом с бесконечным числом элементов последовательности.
      • Верхний / верхний / внешний предел — это набор, который объединяет эти наборы накопления вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению множества верхний предел является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это верхняя грань из предельных точек.
      • Нижняя / нижняя / внутренняя граница — это набор, в котором все эти наборы накопления соответствуют. То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел инфимума является наибольшей нижней границей набора точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
      • Поскольку упорядочение осуществляется путем включения множества, то внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. Е. Lim inf X n ⊆ lim sup X n). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности наборов обычно достаточно учитывать сходимость внешнего предела этой последовательности.

      Разница между двумя определениями заключается в том, как топология (т. Е. Как для количественной оценки разделения). Фактически, второе определение идентично первому, когда дискретная метрика используется для создания топологии на X.

      Сходимость общего набора

      В этом случае последовательность наборов приближается к ограничивающему набору, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам ограничивающего набора. В частности, если является последовательностью подмножеств X, то:

      • lim sup X n, что также называется внешним пределом, состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X n, взятых из (счетно) бесконечно множества n. То есть x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек x k и подпоследовательность из такие, что x k ∈ X nkи x k → x при k → ∞.
      • lim inf X n, который также называется внутренним пределом, состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X n для всех, кроме конечного числа n (т. е. cofinally many п). То есть x ∈ lim inf X n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек такая, что x k ∈ X k и x k → x при k → ∞.

      Предел lim X n существует тогда и только тогда, когда lim inf X n и lim sup X n согласен, и в этом случае lim X n = lim sup X n = lim inf X n.

      Особый случай: дискретная метрика

      Это определение используется в теории меры и вероятности. Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе.

      Согласно этому определению, последовательность множеств приближается к предельному множеству, когда предельное множество включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа множеств последовательности, и не включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа дополнений множеств последовательности. То есть этот случай конкретизирует общее определение, когда топология на множестве X индуцируется из дискретной метрики.

      В частности, для точек x ∈ X и y ∈ X дискретная метрика определяется как

      , при котором последовательность точек сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x k = x для всех, кроме конечного числа k. Следовательно, если предельное множество существует, оно содержит точки и только те точки, которые есть во всех, кроме конечного числа множеств последовательности. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. Е. Требует больше всего), это определение предельного множества является наиболее строгим из возможных.

      Если является последовательностью подмножеств X, то всегда существует следующее:

      • lim sup X n состоит из элементов X, которые принадлежат X n для бесконечного множества n (см. счетно бесконечное ). То есть x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность из такая, что x ∈ X nkдля всех k.
      • lim inf X n состоит из элементов X, которые принадлежат X n для всех, кроме конечного числа n (т. е. для бесконечно много n). То есть x ∈ lim inf X n тогда и только тогда, когда существует некоторое m>0 такое, что x ∈ X n для всех n>m.

      Заметим, что x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf X n.

      • Lim X n существует тогда и только тогда, когда lim inf X n и lim sup X n согласны, и в этом случае lim X n = lim sup X n = lim inf X n.

      В этом смысле последовательность имеет предел, поэтому пока каждая точка в X либо появляется во всех, кроме конечного множества X n, либо появляется во всех, кроме конечного множества X n.

      Используя стандартный язык теории множеств, включение множества обеспечивает частичное упорядочение в наборе всех подмножеств X, которое позволяет установить пересечение для создания наибольшей нижней границы и установить объединение для создания наименьшей верхней границы. Таким образом, нижняя грань или meet набора подмножеств является максимальной нижней границей, а верхняя грань или join является наименьшей верхней границей. В этом контексте внутренний предел, lim inf X n, является наибольшим совпадением хвостов последовательности, а внешний предел, lim sup X n, является наименьшим соединением хвостов последовательности. Следующее уточняет это.

      • Пусть I n будет пересечением n-го хвоста последовательности. То есть
      • Аналогично, пусть J n будет объединением n-го хвоста последовательности. То есть

      Примеры

      Ниже приводится несколько примеров сходимости набора. Они были разбиты на разделы относительно метрики, используемой для создания топологии на множестве X.

      является примером применения этих конструкции.
      • Рассмотрим множество X = <0,1>и последовательность подмножеств:
      • lim sup X n =
      • lim inf X n = <>
      • lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n =
      • lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n =
      • Рассмотрим множество X = <50, 20, -100, -25, 0, 1>и последовательность подмножеств:
      • lim sup Xn=
      • lim inf Xn= <>
      • Consider the sequence of subsets of rational numbers :
      • lim sup Xn=
      • lim inf Xn= <>
      • lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n =
      • lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n =
      • Предел Ω (т. е. набор пределов ) решения динамической системы — это внешний предел траекторий решения системы. Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному набору, хвосты этих траекторий сходятся к предельному набору.
      • Например, система LTI, которая представляет собой каскадное соединение нескольких стабильных системы с незатухающей системой LTI второго порядка (т.е. нулевым коэффициентом демпфирования ) будут бесконечно колебаться после возмущения (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространстве состояний . Этот круг, который является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой геометрическое место траектории, соответствующей выходному сигналу чистого синусоидального тона; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.

      Обобщенные определения

      Приведенные выше определения не подходят для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются конкретизацией следующих определений.

      Определение для набора

      Нижний предел набора X ⊆ Y — это нижняя грань всех предельных точек набора. То есть

      Аналогично, верхний предел набора X — это верхняя грань всех предельных точек набора. То есть

      Обратите внимание, что набор X должен быть определен как подмножество частично упорядоченного набора Y, которое также является топологическим пространством в чтобы эти определения имели смысл. Более того, это должна быть полная решетка, чтобы верхняя и нижняя границы существовали всегда. В этом случае каждый набор имеет верхний предел и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.

      Определение баз фильтра

      Возьмите топологическое пространство X и базу фильтра B в этом пространстве. Набор всех точек кластера для этой базы фильтра задается как

      где B ¯ 0 <\ displaystyle <\ overline > _ <0>> — это закрытие из В 0 <\ displaystyle B_ <0>> . Это явно закрытый набор , который аналогичен набору предельных точек набора. Предположим, что X также является частично заказанным комплектом. Верхний предел базы фильтра B определяется как

      , если этот супремум существует. Когда X имеет общий порядок, является полной решеткой и имеет топологию порядка ,

      Точно так же нижний предел базы фильтра определяется как

      если существует этот точный предел; если X тотально упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то

      Если нижний предел и верхний предел совпадают, тогда должна быть ровно одна точка кластера и предел базы фильтра равенство этой уникальной точке кластера.

      Специализация для последовательностей и цепей

      Обратите внимание, что базовые фильтры обеспечивают обобщенными результатами цепей, которые обеспечивают общие последовательностей. Следовательно, эти определения дают нижний предел и верхний предел любой цепи (и, следовательно, любой последующий). Например, возьмем топологическое пространство X <\ displaystyle X>и сеть (x α) α ∈ A <\ displaystyle (x _ <\ alpha>) _ <\ alpha \ in A >> , где (A, ≤) <\ displaystyle (A, <\ leq>)> — это направленный набор и Икс α ∈ Икс <\ displaystyle x _ <\ alpha>\ in X> для всех α ∈ A <\ displaystyle \ alpha \ in A>. База фильтра («хвостов»), сгенерированная этой сетью, равна B <\ displaystyle B>, определяемая

      Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему пределу и нижнему пределу B <\ displaystyle B>соответственно. Точно так же для топологического пространства X <\ displaystyle X>возьмите последовательность (xn) <\ displaystyle (x_ )> где xn ∈ Икс <\ displaystyle x_ \ in X> для любого n ∈ N <\ displaystyle n \ in \ mathbb > с N <\ displaystyle \ mathbb > — набор натуральных чисел. База фильтра («хвостов»), сгенерированная этой последовательностью, равна C <\ displaystyle C>, определенная

      Следовательно, нижний предел и верхний предел соответствуют равенству верхнему пределу и нижнему пределу C <\ displaystyle C>соответственно.

      Похожие публикации:

      1. Как задать квадратную матрицу в лазарусе
      2. Как создать маску ввода в access
      3. Перекомпоновать как правильно написать
      4. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа