Введение
Изучение высшей математики можно спланировать с широким привлечением информационных технологий. Информационные технологии следует применять как на лекциях, так и на практических занятиях. Лекции можно проводить с помощью мультимедийной системы и компьютера, заранее подготовив слайды с изложением основного текста лекции, а также используя некоторые компьютерные программы или электронные учебные издания.
Трудности, возникающие при изучении тем: исследование и построение графиков функций, решение уравнений и неравенств графическим способом, исследование функций с помощью производной, нахождение первообразной функции и площади криволинейной трапеции, требуют новых подходов в организации учебного процесса. Использование на занятиях информационно-коммуникационных технологий, в частности графической программы Advanced Grapher, позволяет с успехом решать эти задачи.
Данная работа посвящена применению графопостроителя Advanced Grapher, мощной и простой в использовании программе для построения графиков и их анализа. Приведены примеры применения программы Advanced Grapher в курсе высшей математики в вузах, в качестве виртуальной моделирующей среды. Реализация этих предложений внесла бы определенный вклад в дело подготовки студентов к интенсивному использованию математических методов в своей практической и научной деятельности, к применению современных программных средств и информационных технологий для инженерных расчетов и графических построений. В работе перечислены конкретные области применения.
В приложении приведен список полезных программ для студентов, использование которых в значительной мере упростить изучение конкретных областей математики.
Общая характеристика программы Advanced Grapher
Advanced Grapher мощная и простая в использовании программа для построения графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне. Вычислительные возможности: регрессионный анализ, нахождение нулей и экстремумов функций, точек пересечения графиков, нахождение производных, уравнений касательных и нормалей, численное интегрирование. Большое количество параметров графиков и координатной плоскости. Имеет возможности печати, сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Поддерживает русский интерфейс.
Программа Advanced Grapher позволяет не только строить разнообразные графики на плоскости, но и проводить исследование функций, находить приближенно корни алгебраического уравнения и точки экстремума функции одной переменной, получать аналитическое выражение для производной, выполнять численное интегрирование, графически решать неравенства, осуществлять регрессионный анализ и т.д.
Начиная работу с программой, надо выбрать готовый шаблон с системой координат или создать новый, используя кнопку Свойства документа на панели инструментов. Изменить систему координат и ее настройки можно в любой момент работы с данным чертежом. Одновременно на чертеже можно изобразить до 100 геометрических объектов (это могут быть графики функций, заданных явно или неявно в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах, так называемые графики таблиц, а также заштрихованные области, лежащие между двумя графиками функций или являющиеся множествами решений системы неравенств). Построенные объекты фиксируются в Списке функций в левой части окна программы. Если убрать галочку в Списке функций против некоторых объектов, то эти объекты исчезнут (временно) с плоскости чертежа (это удобно для объяснения учебного материала).
Можно вычислить значения любой функции вида y=f(x) в отдельной точке с помощью кнопки Вычисление функций или же вычислить значения такой функции с некоторым шагом с помощью кнопки Таблица значений. Можно также нажать кнопку Добавить график таблицы и заполнить таблицу значений x и y тем или иным способом, затем по таблице построить график функции (в виде ломаной, ломаной с узлами, отдельных точек, сглаженной кривой). Программа Advanced Grapher позволяет также выделить и увеличить нужную прямоугольную область на построенном чертеже (используется кнопка Выбрать интервал на панели инструментов), эту операцию можно повторить несколько раз. С помощью кнопки Трассировка можно вывести значение функции в дискретном наборе точек данного графика, а с помощью кнопки Добавить метку можно делать надписи, установив указатель в место надписи.
Оставаясь в рамках функциональных возможностей программы Advanced Grapher, сравним ее, например, с универсальными пакетами MATHCAD, MATLAB и MAPLE. Безусловно, что легче освоить и удобнее использовать в повседневной практике программу Advanced Grapher, чем эти пакеты. В то же время изучение хотя бы одного из этих математических пакетов желательно.
Использование компьютерной программы Advanced grapher как средство реализации принципа наглядности в процессе обучения математике
Евстегнеева, А. С. Использование компьютерной программы Advanced grapher как средство реализации принципа наглядности в процессе обучения математике / А. С. Евстегнеева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 2 (188). — С. 108-112. — URL: https://moluch.ru/archive/188/47792/ (дата обращения: 13.03.2023).
Компьютеризация средств обучения приводит к увеличению числа школьников, обращающихся в своей повседневной жизни к компьютеру, позволяющему моделировать практически любую предметную область, создавать различные учебные ситуации. Усиливающиеся влияние на подрастающее поколение различных образовательных телевизионных программ и широкое распространение всевозможных компьютерных средств существенно повлияли на отношение школьников к традиционному обучению. Профессионально написанные тексты учебников и учебных пособий, ориентированные на вдумчивую работу мысли, сейчас меньше привлекают школьников, чем красочная виртуальная реальность, возникающая на экране телевизора или мониторе компьютера, — логическая составляющая обучения математике уступает место наглядному восприятию. Возникает некое противоречие между возможностями обучаемых, владеющих общими приемами общения с информационной средой, и предлагаемыми им методами обучения в школе.
Существует множество программ, которые могут быть эффективно использованы при изучении свойств графиков функций, к ним можно отнести такие известные программы как «Mathematica», «MathCa», «Maple», «Calculator» и др. «Advance Grapher» (версия 2.2 1998–2009г.) выгодно отличается от других программ удобным интерфейсом, доступностью и простотой использования. Учителю не надо тратить много времени на объяснения, как пользоваться этой программой, а ученику на ее изучение. Она предназначена для построения и обработки графиков. При достаточно маленьком размере программа имеет невообразимо много функций и возможностей. Advanced Grapher имеет мощные средства для управления графиками. Вы можете легко создавать, удалять, дублировать графики, изменять их свойства и порядок в списке графиков.
Для управления графиками можно использовать панель инструментов «График» (рис. 1) и окно «Список графиков» (рис. 2 и 3).
Рис. 1. Панель инструментов «График»
Рис. 2. Список графиков
Рис. 3. Список графиков
Advanced Grapher позволяет производить следующие действия с графиками:
– добавление нового графика. Для того, чтобы это сделать: щелкните правой кнопкой мыши в окне «Список графиков» (но не на названии какого-либо графика) и выберите команду «Добавить график» или «Добавить график таблицы» из контекстного меню (рис. 3).
– удаление существующего графика. Для того, чтобы это сделать: выделите график (с помощью комбинированного списка на панели инструментов «График» или окна «Список графиков»). Затем щелкните кнопку 
на панели инструментов «График»; или щелкните правой кнопкой мыши на названии графика в окне «Список графиков» и выберите команду «Удалить график» из контекстного меню (рис. 2).
– изменение порядка графиков. Этот порядок определяет последовательность построения графиков. Для перемещения графика на другую позицию необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши на его названии в списке графиков и, не отпуская кнопки, перетащить название в новое положение.
– изменение свойств графика. Вы можете изменять различные свойства графика, включая параметры оформления, уравнение или таблицу, интервал построения и т. д.
Параметры оформления также можно изменить с помощью окна «Свойства графика». Это окно также показывается при добавлении или дублировании графика.
По умолчанию графики используют параметры построения, заданные в свойствах документа. Также имеется возможность настроить их для каждого конкретного графика.
Рис. 4. Параметры построения не заданы
Рис. 5. Параметры построения заданы
Количество шагов определяет точность построения. Точность построения увеличивается при увеличении количества шагов. В некоторых случаях бывает полезно задать маленькое количество шагов, например, когда график строится с изображением точек (рис. 6). Количество точек в графике равно количеству шагов плюс 1.
Рис. 6. График, количество шагов — 8, количество точек — 9
Совет: если Вы не задавали параметры построения для некоторых графиков, Вы можете изменить их для этих графиков (например, чтобы увеличить точность) с помощью окна «Свойства документа».
Максимальный разрыв — более сложный параметр. Это число, измеряемое в процентах от интервала. Если расстояние между двумя соседними точками больше максимального разрыва, точки не соединяются линиями. Advanced Grapher вычисляет разрыв по осям X и Y независимо. Затем он вычисляет величины РазрывX/ИнтервалX и РазрывY/ИнтервалY. Если хотя бы одно из этих значений больше максимального разрыва (например, 200 %=2), точки не соединяются линией.
Свойства графика по умолчанию
При добавлении нового графика его свойства устанавливаются в значения по умолчанию. При изменении типа графика (в окне «Свойства графика») его дополнительные свойства также устанавливаются в значения по умолчанию. Вы можете изменить свойства графика по умолчанию с помощью окна «Свойства графика по умолчанию» (рис. 7). Это окно может быть вызвано с помощью команды «Графики | Свойства графика по умолчанию» из главного меню.
Рис. 7. Окно «Свойства графика по умолчанию»
Параметры документа определяют отображение координатной плоскости, интервалы построения и параметры построения графиков. Изменить параметры документа можно с помощью окна «Свойства документа». Его можно вызвать с помощью кнопки или команды «Графики | Свойства документа» в главном меню.
Параметры построения
Эти настройки могут быть определены с помощью страницы «Построение».
- Интервалы. Интервалы можно менять как с помощью окна «Свойства документа», так и с помощью кнопок, расположенных на панели инструментов «Стандартная» (рис. 8).
Рис. 8. Панель инструментов «Стандартная»
- Параметры построения. Опции «Количество шагов» и «Максимальный разрыв» используются как соответствующие свойства графиков по умолчанию. Опция «Выравнивание точек» может быть полезна в некоторых специальных случаях.
Пример: график функции Y(x)=x^2, количество шагов равно 7 (рис. 9 и 10).
Рис. 9. Выравнивание точек включено
Рис. 10. Выравнивание точек выключено
– Коэффициенты. Реальные значения по осям равны видимым значениям, умноженным на коэффициенты по соответствующим осям. При определении интервалов в этом окне или в дополнительных свойствах графиков используются «видимые» значения, которые затем умножаются на коэффициент. В таблице значений при этом указываются реальные значения, которые при отображении делятся на указанный коэффициент. Например, если координата Y точки в таблице равна 6 и коэффициент по оси Y равен 2, то координата точки на экране равна 6/2 = 3.
– Коэффициенты могут быть использованы, например, при построении графиков тригонометрических функций. Если строится график функций вида Y(x), коэффициент по оси X может быть установлен в значение 3.1415927. В этом случае координаты по оси X будут измеряться в долях Пи.
– Логарифмическая шкала. Для использования логарифмической шкалы отметьте соответствующие опции («Ось X» и/или «Ось Y»). Вы также можете указать основания логарифмов.
– Легенда
Легенда может быть полезна при печати графиков и подготовке иллюстраций.
В легенде показывается описание графика. Если же оно не задано, то показывается соответствующая формула или количество точек (для графиков таблиц). Вы можете изменять описание графика с помощью окна «Свойства графика»
Пример использования программы:
Функция f(x) = 
(f(x) = abs(x^2+4*x+2)
– Нажимаем в пустом окне правой кнопкой мыши, и выбираем добавить график;
– Выбираем тип функции f(x), в окно ввода вписываем функцию abs(x^2+4*x+2). Выбираем по желанию цвет, толщину, и нажимаем ок;
Таким образом, эта программа является незаменимой для построения и обработки графиков, а также является прекрасным наглядным и тренировочным пособием для школьников 10–11 классов.
Из всего вышесказанного становится ясно, что программа Advance Grapher способна оказать огромную помощь учителю в объяснении материала, а школьнику — в его понимании. Однако, несмотря на все достоинства обучения на компьютере, для достижения прочных практических навыков в построении графиков необходимы тренировки с помощью карандаша и линейки. Чтобы не тратить время на построение графиков в тетради во время урока, учитель может распечатать графики, построенные с помощью компьютерной программы, и раздать их ученикам. Это является прекрасным вспомогательным пособием для выполнения домашних работ по построению графиков, так как глазами ученика будет большое количество примеров, разобранных в классе с учителем.
Основным и неоспоримым плюсом является наглядность и интересная форма подачи материала. С помощью программы легко изготовить необходимые дидактические материалы: карточки, плакаты, тесты, всевозможные формы проверочных работ. Эти задания можно поручить ученикам. Этот момент должен заинтересовать учащихся, привнести в процесс обучения момент творчества.
Несмотря на множество положительных моментов, у данной программы есть и минусы: при вычислении площадей фигур можно задавать только две функции, что ограничивает применение этой программы в школьном курсе алгебры и начала анализа. Объяснение этих моментов полностью ложится на учителя. В остальном же, программа поможет усвоению материала и привьет школьникам интерес к математике.
AGrapher
Advanced Grapher это компьютерная программа для построения 2D и 3D графиков из различных уравнений и их анализа. Рекомендуется для использования для лучшего усвоения материала в учебном процессе. Программа очень проста и удобна для построения графиков и дает сразу реальную картину.
Представлена на русском языке.
Программа Advanced Grapher поддерживает построение графиков функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне. Широкие вычислительные возможности программы, наличие большого количества параметров графиков и координатной плоскости. Это большое преимущество программы перед другими.
ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММЫ ADVANCED GRAPHER
- строить графики функций,
- утилита позволяет строить графики функций,
- выбор системы координат,
- иллюстрировать преобразования графиков функций,
- нахождение нулей,
- экстремумов функций,
- точек пересечения графиков,
- нахождение производных,
- уравнений касательных и нормалей,
- численное интегрирование,
- совместима с версиями Windows.
После запуска программы Advanced Grapher пользователю предоставляется выбрать систему координат и способ построения графика.Имеется возможность ввести математическое выражение или составить таблицу значений. Утилита Advanced Grapher дает возможность задать шаг вычислений и интервалы определения функции. При построении возможно выбрать цвет и толщину линии. В программе поддерживается ручное и автоматическое определение масштаба.
Большое количество параметров графиков и координатной плоскости. Программа Advanced Grapher имеет возможности вывода на печать, сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Программа поддерживает форматы BMP, GIF и EMF.
Программа Advance Grapher является удобной программой для построения и обработки графиков, а также является хорошим наглядным пособием для школьников 10–11 классов. Возможности программы Advance Grapher хороший инструмент в помощь учителю в объяснении материала, а школьнику в его освоении. Программа является хорошим дополнением для выполнения домашних работ по построению графиков и разбора этой темы.
Основным плюсом программы Advance Grapher является ее наглядность и хорошая форма подачи материала. С помощью программы можно составить дидактические материалы: карточки, тесты и различные формы самостоятельных работ. Наряду с положительными моментами, у программы Advance Grapher есть и минусы.
При определении площади фигур можно задать только две функции, что ограничивает использование этой программы для обучения курса алгебры и начала анализа. Этот момент ложится полностью на учителя. В остальном же, программа является хорошим наглядным инструментом для усвоению материала и прививает интерес, как к математике, так к информатики.
Поддерживает русский интерфейс.
Пользователи из России могут в некоммерческих целях использовать программу бесплатно.
Виды компьютерной графики
По способам задания изображений графику можно разделить на категории:
Двухмерная графика
Двухмерная (2D — от англ. two dimensions — «два измерения») компьютерная графика классифицируется по типу представления графической информации, и следующими из него алгоритмами обработки изображений. Обычно компьютерную графику разделяют на векторную и растровую, хотя обособляют ещё и фрактальный тип представления изображений.
Векторная графика представляет изображение как набор геометрических примитивов. Обычно в качестве них выбираются точки, прямые, окружности, прямоугольники, а также как общий случай, кривые некоторого порядка. Объектам присваиваются некоторые атрибуты, например, толщина линий, цвет заполнения. Рисунок хранится как набор координат, векторов и других чисел, характеризующих набор примитивов. При воспроизведении перекрывающихся объектов имеет значение их порядок.
Изображение в векторном формате даёт простор для редактирования. Изображение может без потерь масштабироваться, поворачиваться, деформироваться, также имитация трёхмерности в векторной графике проще, чем в растровой. Дело в том, что каждое такое преобразование фактически выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, и вместо него строится новое. Математическое описание векторного рисунка остаётся прежним, изменяются только значения некоторых переменных, например, коэффициентов. При преобразовании растровой картинки исходными данными является только описание набора пикселей, поэтому возникает проблема замены меньшего числа пикселей на большее (при увеличении), или большего на меньшее (при уменьшении). Простейшим способом является замена одного пикселя несколькими того же цвета (метод копирования ближайшего пикселя: Nearest Neighbour). Более совершенные методы используют алгоритмы интерполяции, при которых новые пиксели получают некоторый цвет, код которого вычисляется на основе кодов цветов соседних пикселей. Подобным образом выполняется масштабирование в программе Adobe Photoshop.
Вместе с тем, не всякое изображение можно представить как набор из примитивов. Такой способ представления хорош для схем, используется для масштабируемых шрифтов, деловой графики, очень широко используется для создания мультфильмов и просто роликов разного содержания.
Растровая графика всегда оперирует двумерным массивом (матрицей) пикселей. Каждому пикселю сопоставляется значение — яркости, цвета, прозрачности — или комбинация этих значений. Растровый образ имеет некоторое число строк и столбцов.
Без особых потерь растровые изображения можно только лишь уменьшать, хотя некоторые детали изображения тогда исчезнут навсегда, что иначе в векторном представлении. Увеличение же растровых изображений оборачивается «красивым» видом на увеличенные квадраты того или иного цвета, которые раньше были пикселями.
В растровом виде представимо любое изображение, однако этот способ хранения имеет свои недостатки: больший объём памяти, необходимый для работы с изображениями, потери при редактировании.
Фрактальная графика, как и векторная — вычисляемая, но отличается от неё тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Изображение строится по уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в уравнении, можно получить совершенно другую картину. Способность фрактальной графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций.
Трёхмерная графика (3D — от англ. three dimensions — «три измерения») оперирует с объектами в трёхмерном пространстве. Обычно результаты представляют собой плоскую картинку, проекцию. Трёхмерная компьютерная графика широко используется в кино, компьютерных играх.
В трёхмерной компьютерной графике все объекты обычно представляются как набор поверхностей или частиц. Минимальную поверхность называют полигоном. В качестве полигона обычно выбирают треугольники.
Всеми визуальными преобразованиями в 3D-графике управляют матрицы
В компьютерной графике используется три вида матриц:
Любой полигон можно представить в виде набора из координат его вершин. Так, у треугольника будет 3 вершины. Координаты каждой вершины представляют собой вектор (x, y, z). Умножив вектор на соответствующую матрицу, мы получим новый вектор. Сделав такое преобразование со всеми вершинами полигона, получим новый полигон, а преобразовав все полигоны, получим новый объект, повёрнутый/сдвинутый/масштабированный относительно исходного.