Тест по теме «Развитие понятия о числе»
Знаменитое высказывание "МАТЕМАТИКА — царица наук" принадлежит.
Варианты ответов
- Архимеду
- Бернулли
- Пифагору
- Гауссу
Вопрос 2
Числа, употребляемые при счете предметов, называются:
Варианты ответов
- действительными
- целыми
- рациональными
- натуральными
Вопрос 3
Варианты ответов
- рациональные числа
- действительные числа
- натуральные числа
- целые числа
Вопрос 4
Какие числа называются целыми?
Варианты ответов
- дробные
- натуральные, нуль и отрицательные
- употребляемые при счете
Вопрос 5
Какие числа называются рациональными?
Варианты ответов
- дробные
- натуральные, нуль и отрицательные
- употребляемые при счете
Вопрос 6
Каким символом обозначается множество натуральных чисел?
Варианты ответов
- Q
- R
- N
- C
Вопрос 7
Каким символом обозначается множество действительных чисел?
Варианты ответов
- N
- C
- R
- Q
Вопрос 8
Каким символом обозначается множество рациональных чисел?
Варианты ответов
- N
- C
- R
- Q
Вопрос 9
Верно ли утверждение: "0 — наименьшее натуральное число.
Варианты ответов
- да
- нет
- не всегда
Вопрос 10
Верно ли утверждение: "1 — наименьшее натуральное число.
Варианты ответов
- да
- нет
- не всегда
Вопрос 11
Способ описания громадных чисел придумал
Варианты ответов
- Пифагор
- Гаусс
- Бернулли
- Архимед
Вопрос 12
Варианты ответов
- 72
- -72
- 62
- -62
Вопрос 13
Варианты ответов
- 5/6
- 2/3
- 2/9
- 1/6
Вопрос 14
Варианты ответов
- 5
- -5
- 7
- -2
Вопрос 15
Записать число в виде бесконечной периодической дроби: 1/3
Варианты ответов
- 0,0(3)
- 0,9
- 0,(3)
Вопрос 16
Какие числа называются натуральными?
Варианты ответов
- дробные
- употребляемые при счете и ноль
- употребляемые при счете
Вопрос 17
Какие числа называются рациональными?
Варианты ответов
- употребляемые при счете и ноль
- это числа вида m/n, где m – целое, n – натуральное.
- употребляемые при счете
- это числа вида m/n, где m – натуральное, n – целое
Вопрос 18
Какое из действий всегда выполнимо на множестве натуральных чисел:
Варианты ответов
- умножение
- деление
- вычитание
- извлечение из корня
Вопрос 19
Какое из действий не всегда выполнимо на множестве натуральных чисел:
Варианты ответов
- умножение
- сложение
- вычитание
Вопрос 20
Числа, противоположные натуральным, называются:
Варианты ответов
- дробными
- положительными
- отрицательными
- целыми
Вопрос 21
Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль образуют множество:
Варианты ответов
- действительных чисел
- иррациональных чисел
- рациональных чисел
- целых чисел
Вопрос 22
Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или:
Варианты ответов
- бесконечной десятичной периодической дроби
- целого числа
- бесконечной десятичной непериодической дроби
- бесконечной десятичной дроби
Вопрос 23
Рациональные и иррациональные числа образуют множество:
Варианты ответов
- алгебраических чисел
- действительных чисел
- комплексных чисел
- натуральных чисел
Вопрос 24
Число -3 не принадлежит множеству:
Варианты ответов
- действительных чисел
- рациональных чисел
- целых чисел
- натуральных чисел
Вопрос 25
Какое из действий не всегда выполнимо на множестве действительных чисел:
Варианты ответов
- умножение
- деление
- возведение в степень
- извлечение корня
Вопрос 26
Множество неотрицательных чисел начинается с.
Варианты ответов
- 1
- -1
- 0
- 2
Вопрос 27
Определение: Модулем (абсолютной величиной) числа "а" . Выберите один ответ:
Какое из действий всегда выполнимо на множестве натуральных чисел
1. Какие числа относятся к множеству
2. Какие операции (действия) всегда выполнимы на множестве
3. Является ли множество натуральных чисел конечным; бесконечным?
4. Существует ли наибольшее натуральное число? Существует ли наименьшее натуральное число?
5. Сформулируйте законы сложения.
6. Как изменится сумма, если: а) одно из слагаемых увеличить на 6; б) первое слагаемое увеличить на 9, а второе — на 7; в) первое слагаемое увеличить на 15, а второе уменьшить на 8?
7. Что значит из числа а вычесть число
8. Всегда ли выполнимо вычитание на множестве
9. Как изменится разность, если: а) уменьшаемое увеличить на 7, а вычитаемое — на 5; б) уменьшаемое увеличить на 10, а вычитаемое уменьшить на 7; в) уменьшаемое уменьшить на 15, а вычитаемое увеличить на 10?
10. Что значит умножить число а на число 6?
11. Всегда ли выполнимо умножение на множестве натуральных чисел?
12. Сформулируйте законы умножения.
13. Как изменится произведение, если: а) один из множителей увеличить в 2 раза; б) один из множителей увеличить в 3 раза, а другой уменьшить в 3 раза?
14. В каких случаях произведение двух чисел равно одному из них; каждому из них?
15. Что значит разделить число а на число 6?
16. Всегда ли выполнимо деление на множестве натуральных чисел?
17. Как изменится частное, если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 2 раза?
18. В каких случаях частное двух чисел равно: а) одному из них; б) каждому из них?
19. Делимое увеличили в 4 раза. Как нужно изменить делитель, чтобы частное уменьшилось в 3 раза?
20. Делимое уменьшили в 6 раз. Как нужно изменить делитель, чтобы частное уменьшилось в 2 раза?
21. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
22. Укажите множество трехзначных чисел, кратных 3; кратных 9.
23. Дайте определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел.
Какое из действий всегда выполнимо на множестве натуральных чисел
Запись 
(или 
) означает, что элемент a принадлежит множеству A.
Запись 
(или 
) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.
Множества чисел. Законы действий над различными числами
Множество натуральных чисел образуют числа 1, 2, 3, 4, . используемые для счёта предметов. Множество всех натуральных чисел принято обозначать буквой N :
Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Иногда к натуральным числам добавляют 0, тогда он будет наименьшим элементом.
Законы сложения натуральных чисел
1. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения.
2. Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (a + b) + c = a + (b + c) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом сложения.
Законы умножения натуральных чисел
3. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом умножения.
4. Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (ab)c = a(bc) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом умножения.
5. При любых значениях a, b, c верно равенство (a + b)c = ac + bc . Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения).
6. При любых значениях a верно равенство a*1 = a . Это свойство называют законом об умножении на единицу.
Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Или, говоря иначе, эти операции можно выполнить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так, из числа 3 нельзя, оставаясь во множестве натуральных чисел, вычесть число 7; число 15 нельзя разделить на 4 нацело.
Признаки делимости натуральных чисел
Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Эти условия, как для суммы, так и для произведения, являются достаточными, но не необходимыми. Например, произведение 12*18 делится на 36, хотя ни 12, ни 18 на 36 не делятся.
Признак делимости на 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была чётной.
Признак делимости на 5. Для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.
Признак делимости на 10. Для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.
Признак делимости на 4. Для того, чтобы натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры были 00, 04, 08 или двузначное число, образованное последними двумя цифрами данного числа, делилось на 4.
Признак делимости на 2 (на 9). Для того, чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).
Множество целых чисел
Рассмотрим числовую прямую с началом отсчёта в точке O. Координатой числа нуль на ней будет точка O. Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными числами. Пусть на числовой прямой задана точка A с координатой 3. Она соответствует положительному числу 3. Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки O, в направлении, противоположном заданному. Тогда получим точку A’, симметричную точке A относительно начала координат O. Координатой точки A’ будет число — 3. Это число, противоположное числу 3. Числа, расположенные на числовой прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными числами.
Числа, противоположные натуральным, образуют множество чисел N’:
Если объединить множества N, N’ и одноэлементное множество , то получим множество Z всех целых чисел:
Для целых чисел верны все перечисленные выше законы сложения и умножения, которые верны для натуральных чисел. Кроме того, добавляются следующие законы вычитания:
Множество рациональных чисел
Чтобы сделать выполнимой операцию деления целых чисел на любое число, не равное нулю, вводятся дроби:
, где a и b — целые числа и b не равно нулю.
Если к множеству целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей, то получается множество рациональных чисел Q:
При этом каждое целое число является также рациональным числом, так как, например, число 5 может быть представлено в виде , где числитель и знаменатель — целые числа. Это бывает важно при операциях над рациональными числами, из которых одно может быть целым числом.
Законы арифметических действий над рациональными числами
Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной:
Это свойство используется при сокращении дробей.
Сложение дробей. Сложение обыкновенных дробей определяется следующим образом:
То есть, для сложения дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю. На практике при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю. Например, так:
Для сложения дробей с одинаковыми числителями достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.
Умножение дробей. Умножение обыкновенных дробей определяется следующим образом:
То есть, для умножения дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.
Деление дробей. Деление обыкновенных дробей определяется следующим образом:
То есть, для деления дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и произведение записать в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и произведение записать в знаменатель новой дроби.
Возведение дроби в степень с натуральным показателем. Эта операция определяется следующим образом:
То есть, для возведения дроби в степень числитель возводится в эту степень и знаменатель возводится в эту степень.
Периодические десятичные дроби
Теорема. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а конечная или бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической.
При этом любую конечную десятичную дробь считают бесконечной периодической дробью с нулём в периоде, например:
Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел — также рациональное число.
Множество действительных чисел
На числовой прямой, которую мы рассмотрели в связи с множеством целых чисел, могут быть точки, не имеющие координат в виде рационального числа. Так, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, число не является рациональным числом. Так же не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 5, 7, 9. Следовательно, иррациональными являются числа , , . Иррациональным является и число .
Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде периодической дроби. Их представляют в виде непериодических дробей.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел R .
Аксиомы о действиях над действительными числами
Аксиомы сложения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:
IV. Для любого a ∈ R существует такое число b ∈ R , что a + b = 0 . Это число b называется противоположным числу a и обозначается — a.
Аксиома IV позволяет ввести операцию вычитания в множестве действительных чисел: под разностью a — b понимается сумма a + (- b) .
Аксиомы умножения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:
VIII. Для любого отличного от нуля числа a ∈ R существует такое число b ∈ R , что ab = 1 . Это число b называется обратным числу a и обозначается .
Аксиома VIII позволяет ввести операцию деления в множестве действительных чисел: под понимается произведение , где b ≠ 0 .
Аксиома Архимеда. Для любых положительных действительных чисел a и b существует такое натуральное число n, что na > b .
Множество комплексных чисел
Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть
здесь √-1 — квадратный корень из минус единицы — мнимая единица, обозначаемая буквой i .
Комплексные числа и операции над ними обладают таким количеством замечательных свойств, что они рассмотрены в отдельных материалах нашего сайта: