Какие операции или операция относятся к бинарным

Определение 2.1:
Бинарной операцией на множестве $M$ называется отображение $f:M\times\to$.
При этом если $a,b\in$, то обозначают $afb:=f(a,b)$.
Например для операции сложения действительных чисел $+:\mathbb\times\mathbb\to\mathbb$ обычно пишут $a+b$, что формально означает $+(a,b)$.
В данном курсе изучаются только бинарные операции, поэтому везде далее вместо «бинарная операция» может употреблятся просто «операция».

Определение 2.2:
Алгебраической структурой или алгеброй называется не пустое множество с заданными на нем бинарными операциями.
Если соответствующее множество и операции обозначены $M$ и $*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots$, то алгебра обозначается $(M;*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots)$
Алгебра с одной операцией $(M;*)$ называется группоидом.

$(\mathbb;+)$, $(\mathbb_0;+)$, $(\mathbb;+)$, $(\mathbb;-)$, $(\mathbb;\cdot)$.
Если $M:=\overline<1,n>$, $*:M\times\to$, для любых $a,b\in\overline<1,n>$ $a*b=\max$, то $(M;*)$ — группоид.
Если $\tilde:=\\subset\>$ — множество всех подмножеств некоторого множества $M$, то $\tilde$ замкнуто относительно операций $\cup,\cap,\backslash$ (в отличии, например, от операции декартова произведения $\times$), следовательно можно определить группоиды $(\tilde;\cup)$, $(\tilde;\cap)$, $(\tilde;\backslash)$.
Множество всех функций $\Pi(M):=\:M\to\>$ определенных на произвольном множестве $M$ образует с операцией композиции функций $\circ$ группоид $(\Pi(M);\circ)$.

ассоциативной, если $$\forall,b,c\in(a*(b*c)=(a*b)*c).$$
коммутативной, если $$\forall,b\in(a*b=b*a).$$

Операция композиции функций $\circ$ на множестве $\Pi(M)$ ассоциативна для любого множества $M$, но коммутативна тогда и только тогда, когда $|M|=1$.
Действительно, если $|M|=1$, то $|\Pi(M)|=1$ и операция $\circ$ коммутативна.
Если $|M|>1$, то $$\exists,b\in:a\neq\Rightarrow\exists,g\in\Pi(M):\forall\in(f(x)=a\wedge(x)=b)\Rightarrow \forall\in((f\circ)(x)=f(g(x))=a\neq(g\circ)(x)=g(f(x))=b)$$

Определим на множестве $\mathbb$ операцию $*$ такую, что для любых $a,b\in\mathbb$ $a*b:=\frac<2>$.
Операция $*$, очевидно, коммутативна, но не ассоциативна. Например, при $a=4$, $b=c=8$ $a*(b*c)=\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac<2>+\frac<4>+\frac<4>=6$, а $(a*b)*c=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)=\frac<4>+\frac<4>+\frac<2>=7$.
Вообще, не сложно видеть, что равенство $a*(b*c)=(a*b)*c$ выполняется только при $a=c$, действительно $$a*(b*c)=(a*b)*c\Rightarrow\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)\Rightarrow +\frac<2>+\frac<2>=\frac<2>+\frac<2>+c\Rightarrow\frac<2>=\frac<2>\Rightarrow=c.$$

леводистрибутивна относительно операции $\circ$, если $$\forall,b,c\in(a*(b\circ)=(a*b)\circ(a*c)),$$

праводистрибутивна относительно операции $\circ$, если $$\forall,b,c\in((b\circ)*a=(b*a)\circ(c*a)),$$

дистрибутивна относительно операции $\circ$, если она и леводистрибутивна, и праводистрибутивна относительно операции $\circ$.

Операция умножения $\cdot$ на множестве $\mathbb$ дистрибутивна относительно операции сложения $+$.
Операция сложения не дистрибутивна (ни лево-, ни право-) относительно операции умножения.

Пусть $\tilde$ множество всех подмножеств множества $M$, тогда операции пересечения и объединения $\cap,\cup$ дистрибутивны друг относительно друга. Действительно, по правилам Де Моргана получаем левую дистрибутивность $$\forall,B,C\in\tilde(A\cup(B\cap)=(A\cup)\cap(A\cup)\wedge\cap(B\cup)=(A\cap)\cup(A\cap)).$$ Тогда правая дистрибутивность следует из коммутативности операций $\cap,\cup$.

Определение 2.5:
Элемент $e$ группоида $(G;*)$ называется нейтральным, если для любого $g\in$ $e*g=g*e=g$.

В группоиде $(\mathbb_0;+)$ нейтральным элементом является $0$.

В группоиде $(\mathbb;+)$ нет нейтрального элемента.

В группоиде $(\tilde;\cup)$ нейтральным элементом является пустое множество $\varnothing$.

В группоиде $(\tilde;\cap)$ нейтральным элеметном является множество $M$.

Задача 2.1:
Как по таблице Кэли установить наличие нейтрального элемента? Как по таблице Кэли установить коммутативна ли операция или нет?
Решение:
Нейтральных элемент существует, тогда и только тогда, тогда в таблице Кэли есть строка и столбец с одинаковым порядковым номером, которые содержат элементы множества в порядке указанном в заголовке таблицы. Например в группоиде заданном таблицей Кэли

$*$ $m_1$ $\cdots$ $m_k$ $\cdots$ $m_n$

$m_1$ $m_1*m_1$ $\cdots$ $m_1$ $\cdots$ $m_1*m_n$

$\vdots$ $\vdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\ddots$ $\vdots$

$m_k$ $m_1$ $\cdots$ $m_k$ $\cdots$ $m_n$

$\vdots$ $\vdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\ddots$ $\vdots$

$m_n$ $m_n*m_1$ $\cdots$ $m_n$ $\cdots$ $m_n*m_n$

элемент $m_k$ является нейтральным.
Операция в группоиде является коммутативной, тогда и только тогда, когда таблица Кэли симметрична отностиельно главной диагонали.

Утверждение2.1
В любом группоиде $(G;*)$ существует не более одного нейтрального элемента.

Доказательство:

Пусть $e_1,e_2$ нейтральные элементы в $(G;*)$, тогда по определнию нейтрального элемента $e_1=e_1*e_2$ и $e_2=e_1*e_2$, то есть $e_1=e_2$.

Определение 2.6:
Пусть $(G;*)$ — группоид с нейтральным элементом $e$, $a,b\in$, тогда элемент $a$ называется симметричным для элемента $b$ относительно операции $*$ если $a*b=b*a=e$.

Для любого $a\in\mathbb$ элемент $-a$ является симметричным для $a$ в группоиде $(\mathbb;+)$.

Для любого $a\in\mathbb\backslash\<0\>$ элемент $\frac1$ является симметричным для $a$ в группоиде $(\mathbb;\cdot)$.

Утверждение 2.2:
Пусть $(G;*)$ — группоид с нейтральным элементом $e$ и операция $*$ ассоциативна, тогда для любого $a\in$ существует не более одного симметричного.

Доказательство:

Пусть $b,c\in$ симметричны для $a\in$, тогда $$b=b*(a*c)=(b*a)*c=c.$$

Задача 2.2:
Привести пример группоида с нейтральным элементом, в котором для какого-либо элемента существует несколько симметричных.
Решение:
В группоиде $(\;*)$ заданном таблицей Кэли

$*$ $a$ $b$ $c$

$a$ $a$ $b$ $c$

$b$ $b$ $a$ $a$

$c$ $c$ $a$ $c$

элемент $a$ — нейтральный, а у элемента $b$ два симметричных — это элементы $b$ и $c$.

2.2 Кольца.

операции $+$ и $\cdot$ — ассоциативны,

операция $+$ — коммутативна,

операция $\cdot$ — дистрибутивна относительно операции $+$,

существует нейтральный элемент относительно операции $+$,

для любого $a\in$ существует элемент симметричный относительно операции $+$.

Определение 2.8:
Кольцо называется кольцом с единицей, если в нем существует нейтральный относительно операции $\cdot$ элемент. Этот элемент называется единицей и обозначается $e$.

Определение 2.9:
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция $\cdot$.
Если $R$ кольцо и $a,b\in$, то далее везде выражение $a+(-b)$ будем записывать как $a-b$.

$a\cdot<0>=0\cdot=0$,

$-(-a)=a$,

$a\cdot(-b)=(-a)\cdot=-(a\cdot)$,

$(-a)\cdot(-b)=a\cdot$,

$a\cdot(b-c)=(a\cdot)-(a\cdot)$
$(a-b)\cdot=(a\cdot)-(b\cdot)$.

$$0=a\cdot<0>+(-a\cdot<0>)=a\cdot(0+0)+(-a\cdot<0>)=(a\cdot<0>+a\cdot<0>)+(-a\cdot<0>)=a\cdot<0>+(a\cdot<0>+(-a\cdot<0>))=a\cdot<0>$$

Так как $-a$ симметричный к $a$, то $a+(-a)=(-a)+a=0$, но это означает, что $a$ симметричный к $-a$, тогда в силу единственности симметричного в кольце, элемент $a$ противоположен к элементу $-a$, то есть $a=-(-a)$.

Так как $$a\cdot(-b)+a\cdot=a\cdot+a\cdot(-b)=a\cdot(b+(-b))=a\cdot<0>=0,$$ значит $a\cdot(-b)$ противоположный к $a\cdot$, то есть $\cdot(-b)=-(a\cdot)$. Аналогично для $-a\cdot=-(a\cdot)$.

По пунктам 3 и 2 имеем $-a\cdot(-b)=-(a\cdot(-b))=-(-(a\cdot))=a\cdot$.

По дистрибутивности операции $\cdot$ относительно операции $+$ и пункту 3 имеем $$a\cdot(b-c)=a\cdot(b+(-c))=a\cdot+a\cdot(-c)=a\cdot+(-(a\cdot))=a\cdot-a\cdot.$$

Определение 2.10:
Пусть $R$ — кольцо с единицей, тогда элемент $a\in$ называется обратимым, если для него сущесвует симметричный относительно операции $\cdot$.
Множество обратимых элементов кольца с единицей $R$ обозначают как $R^*:=\\mid\exists\in:a\cdot=b\cdot=e\>$.
Элемент симметричный к элементу $a\in$ относительно операции называют обратным к $a$ и обозначают как $a^<-1>$.

Определение 2.11:
Ненулевой элемент $a$ кольца $R$ называется делителем нуля, если существует ненулевой элемент $r\in$ такой, что $a\cdot=0$ или $r\cdot=0$.

Кольца $\mathbb,\mathbb,2\mathbb,\mathbb$ не содержат делитетей нуля. При этом $\mathbb^*=\<1,-1\>$, $\mathbb^*=\mathbb\backslash\<0\>$, $\mathbb^*=\mathbb\backslash\<0\>$. А кольцо $2\mathbb$ не содержит единицы.

В кольце $(\mathbb^2;+,\cdot)$ для любого $a\in\mathbb$ элементы $(0,a)$, $(a,0)$ являются делителями нуля. При этом $(\mathbb^2)^*=\<(a,b)\in\mathbb^2\mid\neq0\wedge\neq0\>$.

В кольце $\mathbb_4$ делителем нуля является элемент $2$ и $\mathbb^*_4=\<1,3\>$.

Утверждение 2.3:
Множества делителей нуля и обратимых элементов кольца с единицей не пересекаются.

Доказтельство:

Определение 2.12:
Пусть $R$ коммутативное кольцо, $a,b\in$, тогда говорят, что $a$ делит $b$ ($b$ делится на $a$), если существует $c\in$ такое, что $a\cdot=b$.
Если $a$ делит $b$, то пишут $a|b$.

Из определения и п. 1 теоремы 2.1 следует, что для любого $a\in$ $a|0$ и $0|a$ тогда и только тогда, когда $a=0$.

Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства

Часто в математике нам приходится комбинировать элементы некоторого множества. Так в арифметике комбинируются числа, в векторной алгебре – векторы.

Существенной особенностью каждого из этих примеров является правило, по которому устанавливается соответствие для элементов определённых множеств. Целью данного раздела является рассмотрение ситуации, когда любым двум элементам множества ставится в соответствие элемент того же множествапо определённому правилу. Такое соответствие назовём «бинарной операцией».

Определение:Бинарная операцияна непустом множестве– это правило, которое ставит в соответствие любой упорядоченной пареединственный элемент.

Пример 1.1: Арифметическое сложение на множестве целых положительных чисел является бинарной операцией, а разность – не является, т.к. для любыхиразность – не всегда положительное число.

Для некоторых бинарных операций порядок следования операндов несущественен, для других – важен.

Пример 1.2: в произведении порядок элементов роли не играет т.к., а для частного – играет.

Следовательно, бинарная операция должна рассматриваться как действие над упорядоченной парой элементов.

Замечание:Если прочесть определение повнимательнее, то можно увидеть, что бинарная операция вполне может рассматриваться как функция, которая задаёт элементдля каждой упорядоченной пары элементов.

Определение:Условиеявляется свойством замкнутости бинарной операции. Когда такое условие выполняется будем говорить, чтозамкнутоотносительно операции.

Пример 1.3:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве целых чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.к. при делении одного целого числа на другое не всегда получается целое число. Т.е.– не является замкнутым множеством относительно операции деления.

Пример 1.4:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве рациональных чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.кне определено для всех.

Пример 1.5:Если– множество всех подмножеств некоторого множества, то операции пересечения, объединения являются бинарными операциями.

Бинарная операция на конечном множестве может быть определена с помощью таблицы Кейли.

Пример 1.6:Еслито бинарную операциюможно определить следующим образом:

Таблица интерпретируется так:

Дадим определения, которые позволят нам говорить о некоторых свойствах операций.

Определение:Бинарная операция, заданная на непустом множественазываетсякоммутативной, если

Пример 1.7:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются коммутативными. Вычитание не является коммутативной операцией.

Пример 1.8:Операции конъюнкции, дизъюнкции на множестве высказываний являются коммутативным, Импликация не является коммутативной.

Определение:Операция, заданная на непустом множественазываетсяассоциативной, если.

Пример 1.9:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются ассоциативными.

Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. Элемент, такой чтоназываетсяэлементом идентичностидля операциина множестве.

Замечание:Обратите внимание, что для того чтобы элементявлялся элементом идентичности свойство должно выполняться длявсехэлементов множества.

Пример 1.10:Элементом идентичности для операции сложения на множестве рациональных чиселявляется элемент 0. Но при этом 0 не является элементом идентичности для операции вычитания, т.к– верно, но.

Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. И существует– элемент идентичности для операции. Элементназываетсяобратнымдляесли.

Обратный элемент обычно обозначают . При этом если– обратный элемент для, то– обратный элемент для.

Пример 1.11:Обратным элементом для операции сложения на множестве рациональных чиселдляявляется число.

Теорема: Пусть – бинарная операция, заданная на непустом множестве . Если элемент идентичности существует, то он единственный.

Доказательство:

Пусть ,– элементы идентичности на множестведля операции. Т.к.— элемент идентичности, то следовательно и для:

аналогичны рассуждения и для элемента идентичности . Следовательно. Что и требовалось показать.

Теорема:Пусть – ассоциативная бинарная операция с элементом идентичности, заданная на непустом множестве . Для любого элемента, который имеет обратный элемент, обратный элемент единственный.

Доказательство:Пусть элементимеет два различных обратных элемента. Тогда:

и – по определению обратного элемента.

Поэтому .

Какие операции или операция относятся к бинарным

Пост-унарные операторы: exception++ и exception—

Пре-унарные операторы: ++exception и —exception

Остальные унарные операторы: +, -, !

Умножение, деление, взятие остатка: *, /, %

Сложение и вычитание: +, —

Операторы битового сдвига: <<, >>, >>>

Операторы сравнения: <, >, <=, >=, instanceof

Операторы равенства-неравенства: ==, !=

Логические операторы: &, |, ^

Short-circuit логические операторы: &&, ||

Тернарный оператор: boolean expression? expression1: expres-
sion2

Операторы присваивания: =, +=, -=, *=, /=, %=, &=, ^=, !=, <<=, >>=, >>>=

int x = 2 * 5 + 3 * 4 — 8 = 10 + 12 — 8 = 14;

int x = 2 * ((5 + 3) * 4 – 8) = 2 * (8 * 4 – 8) = 2 * (32 – 8) = 2 * 24 = 48;

Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре $A,\;B$ со значениями в называется отображение $P \to C$ , где $P \subset A\times B$

Если , то действие называется внутренним, если или — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам и записывается в виде $x\circ y$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

префиксная (польская запись) — $\circ\,x\;y$ ;

постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется ассоциативной, если

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при однозначно не определено.

Альтернативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется альтернати́вной если

$(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y)$ и $y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M$ .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или . В этом случае нейтральный элемент $e\in M$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.$

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Бинарная операция

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

бинарная операция — двуместная операция Операция, выполняемая над двумя аргументами. Например, сложение аргументов "х", "у". Кроме двуместных выполняются и одноместные операции. Двуместную операцию также называют бинарной. [Гипертекстовый… … Справочник технического переводчика

Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия

Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность … Википедия

Унарная операция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия

Ассоциативная операция — Ассоциативная операция это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio соединение), или сочетательностью: для любых элементов . Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления … Википедия

Логическая операция — В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и … Википедия

БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на множестве классов эквивалентных расширений модулей; предложена Р. Бэром [1]. Пусть Л и В произвольные модули. Расширением Ас ядром Вназ. точная последовательность: Расширение (1) наз. эквивалентным расширению если существует… … Математическая энциклопедия

Антикоммутативность — Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество . Из этого вытекает тождество . Если в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но … Википедия

Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… … Википедия

Калькулятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Современный инженерный калькулятор Калькулятор … Википедия

Читать:
Как проверить эцп в ворде