Координаты точки пересечения графиков функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:
Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:
Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:
$$ f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$
Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Случай двух нелинейных функций
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:
Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:
Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:
Взаимное расположение графиков квадратных трёхчленов
В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:
$$ ax^2+bx+c = a(x+ \frac<2a>)^2-\frac
- ось симметрии $x = -\frac<2a>$
- вершину параболы на оси симметрии $(–\frac<2a>; -\frac
<4a>)$ - точку пересечения (0;c) с осью OY
Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c) .
Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.
Если $D \gt 0$ , парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = \frac<-b \pm \sqrt
Если D = 0 , парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -\frac<2a>$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.
Если $D \lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.
Точки пересечения параболы с осью OX
Точки пересечения двух парабол
На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.
Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, \quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
В точках пересечения выполняется равенство:
$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$
Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:
Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
Две параболы совпадают
Бесконечное множество общих точек, $x \in \Bbb R$
$A = B = 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
Параболы имеют вид
У них общая ось симметрии
$ x = -\frac<2a>$, одна парабола находится над другой.
Ветки сходятся только на бесконечности.
Точек пересечения нет
$A = 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
Обе проходят через точку (0;c).
Это – единственная точка пересечения.
Одна точка пересечения
$A = 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
Абсцисса точки пересечения
Одна точка пересечения (касание)
$A \neq 0, B = 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
Параболы имеют вид
Пересекаются при x=0 (точка касания)
Одна точка пересечения (касание) (0;c)
$A \neq 0, B = 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
Параболы имеют вид
Не пересекаются, если
Две точки пересечения
Пересекаются в двух точках
Две точки пересечения
$A \neq 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$
$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$
Две точки пересечения
Две точки пересечения,
одна из которых (0;c)
$A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
Все параметры парабол разные
Две точки пересечения
Две точки пересечения
Одна точка пересечения (касание)
Одна точка пересечения
Точек пересечения нет
Точек пересечения нет
Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.
Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!
Примеры
Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin
Пересечение с осью OX:
$$ 3x^2+2x-1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow $$
$ \Rightarrow \left[ \begin
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin
Пересечение с осью OX:
$$ -4x^2-3x+1 = 0 \Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$
$$ (4x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow$$
$ \Rightarrow \left[ \begin
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin
Пересечение с осью OX:
$$ D = 2^2-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16 \lt 0 $$
Парабола не пересекает ось OX
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin
Пересечение с осью OX:
$$ -x^2+4x-4 = 0 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 2*. Даны две параболы
$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$
Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы
1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.
$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$
$$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $$
A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k
Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.
1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:
1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1
2 случай: $c_2 ≠ c_1, D \gt 0$
$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (1-k) = 4k \gt 0 \Rightarrow k \gt 0 $$
Оба случая можем объединить требованием $k \gt 0$.
2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:
$$ D = 4k = 0 \Rightarrow k = 0 $$
3) Параболы не имеют общих точек, если:
$$ D = 4k \lt 0 \Rightarrow k \lt 0 $$
Ответ: 1) $k \gt 0$; 2) k = 0; 3) $k \lt 0$
Пример 3. Две параболы с общей вершиной
Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.
Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.
Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = \frac
$$ x_0 = — \frac <2a>= — \frac<-3><2 \cdot \frac<1><2>> = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot \frac<1> <2>\cdot 1 = 7 $$
Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$
Пропорции для параметров (см. пример 3):
Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:
$$ <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ y = \frac
имеют общую вершину (3;-3,5)
Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = \frac
Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.
Координаты вершины траектории кометы:
$$ x_0 = -\frac <2a>= -\frac<-2><2 \cdot \frac<1><3>> = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot \frac<1> <3>\cdot 5 = — \frac<8> <3>$$
Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.
Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.
Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:
Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:
Как решать задачи на квадратичную функцию
В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Запомните! 
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .
Найти нули квадратичной функции .
Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.
0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| ± √ 12 |
| 2 |
x1;2 =
| ± √ 4 · 3 |
| 2 |
x1;2 =
| ± 2√ 3 |
| 2 |
x1;2 = ±√ 3
| x1 = √ 3 | x2 = − √ 3 |
Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение
Запомните!
Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:
- вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
- решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».
При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».
Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».
Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Запомните!
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
- приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
- решить полученное уравнение относительно « x »;
- подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».
Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».
Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.
2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .
Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .
Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».
Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».
Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.
Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».
y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .
Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения
Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.
Запомните!
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
- провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
- определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
- записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.
Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.
Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-\frac<1> <2>– 2 = — 2\frac12$.
Точка пересечения будет $(-\frac<1><2>;- 2\frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — \frac<1> <2>= \frac<1><2>$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac<1><2>; \frac<1><2>)$.
Третий способ
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.