Как найти координаты центра и радиус окружности

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Как найти центр окружности из уравнения

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

Решение типовых задач по теме: «Кривые второго порядка». Уравнение окружности. Часть 1

$Решение типовых задач по теме: "Кривые второго порядка". Уравнение окружности. Часть 1$

Задача №1. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением х²+у²-2х+4y-20=0.
Решение. Так как в заданном уравнении коэффициенты при х² и у² равны между собой и отсутствует член с произведением координат, го заданное уравнение действительно представляет собой уравнение окружности. Чтобы определить координаты центра и радиус окружности, необходимо уравнение привести к каноническому виду:
(х²-2х)+(y²+4у)=20, (x²-2х+1)+(у²+4х+4)=25, (x-1)²+(y+2)²=25.
Координаты центра и радиус окружности можно найти, не приводя данное уравнение к каноническому виду,
$kiip076$

$kiip078$

достаточно сравнить данное уравнение с уравнением окружности в общем виде:

Ответ: (1, —2), R = 5.
Задача №2. Составить уравнение окружности, проходя¬щей через точки А (—1;1) и В (1;-3), если центр ее лежит на прямой 2х-у+1=0.
Решение. Каноническое уравнение окружности:

Так как окружность проходит через точки А и B, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Имеем два уравнения:
(-1-а)² + (1-b)²=r², (1-а)² + (-3-b)² = r².
Если центр окружности лежит на прямой 2х-у+1=0, то координаты центра также должны удовлетворить уравнению прямой.
Имеем третье уравнение: 2а-b+1=0.
$kiip080$

Решим систему уравнений:
$kiip082$
Таким образом, координаты центра окружности найдены:
$kiip084$
Чтобы определить г², получим: г² = 1+2а+5а²,
$kiip086$
Уравнение окружности:
$kiip102$
Ответ: 9х² + 9y² + 24x + 30у — 31 =0.

Задача №3. Составить уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(5;4) и окружность отсекает от прямой х+2у-3=0 хорду, длина которой равна 8.
Решение. Искомое уравнение будет иметь вид:
(x-5)²+(у-4)²=r².
Определим расстояние центра С от данной прямой:
$kiip104$
Так как радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам, то половина хорды будет равна 4 единицам.
$kiip106$

По теореме Пифагора имеем:
г²=4²+CD²=16+20=36, r² = 36, r = 6.
Уравнение окружности: (х -5)²+(у — 4)² = 36.
Ответ: (х -5)²+(у — 4)² = 36.
Задача №4. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 2х+у-5=0 и 2х+y+15=0, причем одной из них — в точке А(2; 1).
Решение. Определим диаметр окружности, для чего используем формулу расстояния точки от прямой
$kiip108$
Уравнение прямой 2x+y+15=0, точка А(2; 1)
$kiip110$
Воспользовавшись координатами точки A, можем составить такое уравнение:
(2 — а)²+(1 — b)² = 20.
Второе уравнение с неизвестными а и b получим, определив расстояние точки С от первой прямой
$kiip112$
Поскольку точка С лежит по одну сторону от прямой
$kiip114$

Лекция 2.2

Алгебраической кривой второго порядка называется линия, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , в котором А, В и С не могут быть одновременно равны нулю, т.е. .

1. Окружность и её уравнения.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от точки, называемой центром окружности.

Теорема Окружность радиуса Rс центром в точкеM_o(x₀,y₀₎ имеет уравнение (1)

Доказательство. Пусть — текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно R(рис.1)

Выразив расстояние между точками получим

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение

Пример1 Определить координаты центра и радиус окружности .

Решение. Выделив полные квадраты, получим

Итак, центр окружности — , радиус равен 2

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

В отличие от окружности, записать в «удобном» виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть F₁ и F₂— фокусы эллипса. Начало т.О системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось — перпендикулярно к этому отрезку.

т. , т. ,

Тогда по определению эллипса

Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат

Раскроем скобку и приведем подобные члены

Учитывая, что , имеем равенство

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (2)

Уравнение(2) называется каноническим уравнением эллипса.

Исследование полученного уравнения показывают:

Эллипс имеет оси симметрии (Ох, Оу);

начало координат- центр симметрии

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (2). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив у из уравнения (2) и взяв перед корнем знак «+»,

Построим график этой функции. Область определения — отрезок , y(0) = b, при увеличении переменного от 0 до функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси функция y монотонно растет при изменении от –a до 0. Производная определена во всех точках интервала и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала , следовательно, график — выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка . Выразим из уравнения (2) переменное через y: . Очевидно, что в точке y = 0 эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке существует. Легко проверить, что она параллельна оси Oy. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 3).

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины — большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины — малой полуосью. . Величина , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (12.5) для величины , а именно, (3).

Величина называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса .

Пример 2 Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение

Это — каноническое уравнение эллипса, , . Делаем чертеж (рис. 4)

Рис.4.Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (3) находим , . Фокусы — , , эксцентриситет — .

Пример 3 Построить эллипс . Найти его фокусы и эксцентриситет.

Решение. Уравнение запишем в виде

Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как в соответствии с уравнением (2) в нем , , , а должно быть . Однако, если переобозначить оси, то есть положить , , то уравнение (2) в координатах примет вид

Это — каноническое уравнение эллипса при , . Делаем чертеж (рис. 5).

Рис.12.8.Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (3) находим . Значит, фокусы в системе координат имеют координаты , , а в системе координат — координаты, . Эксцентриситет равен .

Из примера 3 ясно, что построение кривой (эллипса) с уравнением (2) при можно вести так же, как и для эллипса, заданного каноническим уравнением: отложить полуось на оси , полуось — на оси Оу и через получившиеся вершины провести эллипс. Различие заключается в том, что фокусы теперь располагаются на оси ординат (большой оси), величину нужно вычислять по формуле , и .