как найти катеты прямоугольного треугольника зная площадь и гипотинузу
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120 см2. Найдите меньший катет.
Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 26^2 = 676. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 120. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 120/(0.5*b) = 120*2/b = 240/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (240/b)^2 + b^2 = 676; 57600/b^2 + b^2 = 676. Умножаем обе части на b^2 (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета — величина положительная) : 57600 + b^4 = 676*b^2. Переносим все в левую часть:
b^4 — 676*b^2 +57600 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 — 676x +57600 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен
D= (-676)^2 — 4*1*57600 =4*((338^2-57600)=4*( 114244 — 57600) =4* 56644= 4*4*49*289 = (2*2*7*17)^2=476^2. Далее находим корни: x1 = (676 — 476)/(2*1) = 200/2 = 162/2 =100. Т. е. x1 = 100, а значит b1 = корень квадратный из 100 = 10 (помним: длина катета — величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли — он равен 10 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 240/b = 240/10 = 24. Все. Мы нашли катеты, они равны 10 см и 24 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*10*24 = 120 см^2.
решить систему уравнений
xy = 2S
а скольки они равны?
1). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2) Площадь равна полупоизведению катетов. Ну, вот, два уравнения с двумя неизвестными. Решишь сам систему?
Площадь прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольного треугольника. Для нахождения площади прямоугольного треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
- Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
- Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
- Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу
- Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
- Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
- Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности
- Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
Как известно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (см. страницу Площадь треугольника онлайн).В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу. Поэтому можно один из них считать как основание, а другой − как высоту.
 |
На рисунке 1 можем считать a как основание, а b − как высоту. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:
 |
(1) |
Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника: 
Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (1). Подставляя значения 
в (1), получим:
 |
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и гипотенуза c (Рис.2):
 |
Найдем площадь треугольника. Из формулы Пифагора имеем:
 , |
 . |
(2) |
Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе:
 . |
(3) |
Пример 2. Известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника: 
Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значения 
в (3), получим:
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу
Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и угол α (Рис.3):
 |
Найдем площадь прямоугольного треугольника. Из теоремы синусов имеем:
 ,  |
 ,  |
(4) |
Подставим (4) в (1):
  |
(5) |
  |
(6) |
Подставим в (6) \( \small \beta=\alpha \):
  |
(7) |
Применяя (7) относительно формулы (5), получим:
 |
(8) |
Пример 3. Известны гипотенуза и прилегающий угол прямоугольного треугольника: 
. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (8). Подставляя значения в (8), получим:
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и прилежащий угол α (Рис.4):
 |
Найдем площадь прямоугольного треугольника. Тангенс угла α прямоугольного треугольника равна:
 . |
 . |
(9) |
Подставляя (9) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:
 . |
(10) |
Пример 4. Известны катет и прилегающий угол прямоугольного треугольника: 
. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (10). Подставляя значения в (10), получим:
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и противолежащий угол α (Рис.5):
 |
Найдем площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равна:
 . |
 . |
(12) |
Подставляя (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противожащему углу:
 . |
(13) |
Пример 5. Известны катет и противолежащий угол прямоугольного треугольника: 
. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (13). Подставляя значения в (13), получим:
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности
Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r (Рис.6):
 |
Найдем площадь прямоугольного треугольника. Соединим центр окружности O c вершинами A, B и с точками D, E, F.
Треугольники AOD, AOF, BOD, BOE прямоугольные, поскольку 
Прямоугольные треугольники AOD и AOF равны по гипотенузе и катету (сторона AO общая, OD=OF):
 . |
(14) |
Прямоугольные треугольники BOD и BOE равны по гипотенузе и катету (сторона BO общая, OD=OE):
 . |
(15) |
Запишем формулы площадей прямоугольных треугольников AOD и BOD и квадрата OECF:
 ,  , |
(16) |
 . |
(17) |
Тогда, учитывая (14) и (15), площадь прямоугольного треугольника ABC равна:
   . |
(18) |
Подставляя (16), (17) в (18), получим:
    |
 . |
(19) |
Пример 6. Известны гипотенуза и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: 
Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (19). Подставляя значения в (19), получим:
 |
Ответ: 
Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
Пусть в прямоугольном треугольнике известны отрезки AD и DB (Рис.6). Найдем площадь прямоугольного треугольника выраженные через эти отрезки. Площадь прямоугольного треугольника через катеты имеет вид:
  . |
(20) |
Учитывая, что 
, (20) примет вид:
   . |
 , |
(21) |
Сравнивая формулы (19) и (21) можем записать:
 , |
 , |
  . |
Таким образом формула площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность имеет следующий вид:
 . |
(22) |
Пример 7. Известны отрезки гипотенузы разделенные вписанной окружностью прямоугольного треугольника (Рис.6) 
Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (22). Подставляя значения в (22), получим:
 |
Ответ: 
Как найти катеты прямоугольного треугольника если известно гипотенуза 6 и площадь 9?
Высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла, равна 9:6·2= 3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Найдем эти отрезки, обозначив один из них х, другой 6-х:
9=х(6-х)
9=6х-х²
3²= x *(6-x)
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня х=3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник — равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2
Площадь найдем половиной произведения катетов:
S= (3√2)·(3√2):2=9·2:2=9 cм²
Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.
Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.
Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:
Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.
На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:
Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.
Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.