Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:
Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:
Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:
Из этого следует, что
Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:
Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Сумма внешних углов
Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°
Рассмотрим треугольник ABC:
Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:
Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
Найти внешний угол треугольника
Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?
Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.
Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.
∠3 — внешний угол при вершине А,
∠2 — внешний угол при вершине С,
∠1 — внешний угол при вершине В.
Сколько внешних углов у треугольника?
При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.
Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):
Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.
Чему равен внешний угол?
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.
∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.
Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем в геометрии 7 класса – о внешнем угле треугольника. Также разберем примеры решения задач, чтобы закрепить представленный материал.
Определение внешнего угла
Для начала вспомним, что такое внешний угол. Допустим у нас есть треугольник:
Смежный с внутренним углом ( λ ) треугольника угол при той же вершине является внешним. На нашем рисунке он обозначен буквой γ .
-
сумма данных углов равна 180 градусам, т.е. γ + λ = 180° (свойство внешнего угла);
Формулировка теоремы
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Из данной теоремы следует, что внешний угол треугольника больше любого из несмежных с ним внутренних углов.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник, в котором известны значения двух углов – 45° и 58°. Найдите внешний угол, смежный с неизвестным углом треугольника.
Решение
Воспользовавшись формулой теоремы получаем: 45° + 58° = 103°.
Задание 1
Внешний угол треугольника равен 115°, а один из несмежных с ним внутренних углов – 28°. Вычислите значения оставшихся углов треугольника.
Решение
Для удобства будем использовать обозначения, указанные на рисунках выше. Известный внутренний угол примем за α .
Исходя из теоремы: β = γ – α = 115° – 28° = 87° .
Угол λ является смежным с внешним, а значит вычисляется по следующей формуле (следует из свойства внешнего угла): λ = 180° – γ = 180° – 115° = 65° .
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
Пусть — внешний угол при вершине .
Зная , найдем по формуле
2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
Пусть — внешний угол при вершине .
Зная , найдем по формуле:
2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это часть плоскости, ограниченной двумя лучами, исходящими из одной точки, которая равна разности между 180° и внутренним углом. Ее диапазон значений — от 0° до 180°.
Среди свойств ВУТ выделяют:
- сумма ВУ треугольника, взятых по одному при каждой точке соединения сторон, равняется 360 ° ;
- ВУТ приравнивается к сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \angle1=\angle B+\angle C;
- при одной точке соединения сторон сумма внешнего и внутреннего углов составляет 180 ° .
Следует отметить, что у каждого треугольника есть два угла, которые являются смежными с ним. Получается, что у данной геометрической фигуры шесть внешних углов.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Чему равен, как найти при вершине
Для того, чтобы найти ВУТ при вершине, необходимо сложить значения не соседних с ним частей плоскости, которые ограничены двумя лучами, рассматриваемой геометрической фигуры.
Продемонстрируем это положение на примерах.
Задача №1
В треугольнике DEF угол D = 50 ° , а F = 45 ° . Найти: ВУ при каждой вершине фигуры.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Из этого следует, что \angle E=180˚-\angle D-\angle F=85^\circ. ВУ при точке соединения сторон DE и DF будет равняться сложенным внутренним углам при вершинах E и F, а это 130°. Соответственно, ВУ при E составляет 95°, а при F — 135°.
Задача №2
В треугольнике ABC ВУ при вершине A = 68°, а при вершине C = 55°. Найти: Внутренний угол при B. На иллюстрации отображены пронумерованные названия углов.
Если сложить смежные углы, то в любом случае получится 180°. Из этого составляем равенства: ∠ A = 180° – ∠ 3 = ∠ 180° – 112° = 68°; ∠ С = 180° – ∠ 2 = ∠ 180° – 125° = 55°. Далее из сложенного вычитаем уже известное: ∠ A = 180° – ∠ A – ∠ C = ∠ 180° – 68° – 55° = 57°.
Теорема о внешнем угле треугольника, доказательство
Теорема о ВУТ звучит следующим образом: внешний угол треугольника равняется сумме двух других, не смежных с ним.
Доказательство
Предположим, что MNP — треугольник с внешним углом q. Углы n и q являются соседними, поэтому их сумма составляет 180°. Из этого следует, что q = 180° – n. Согласно теореме о сумме углов треугольника n = 180° – (m + p). Поэтому m + p = 180° – n. Вследствие того, что q = 180° – n, то q = m + p. Теорема доказана.