2.5. Натуральные числа
Натуральные числа 1, 2, 3,… образуют наиболее простую и доступную для повседневного использования часть множества 
всех действительных чисел. Первые математические представления человек приобретает, когда знакомится в начальной школе с арифметическими действиями с натуральными числами. Тем не менее, приведенная выше аксиоматика дает повод для рассмотрения множества натуральных чисел как особого подмножества всех действительных чисел, определенного аксиомами 1-14.
Определение 2.2. Множество 
натуральных чисел – это такое множество, для которого выполняются следующие условия:
а) 
,
б) для любого числа 
число
также принадлежит множеству
,
в) если множество 
удовлетворяет условиям а) и б), то
.
Данное формальное определение множества 
всех натуральных чисел, служит, в частности, теоретической основой широко используемого метода доказательства, известного под названием «метод математической индукции». Смысл этого метода состоит в следующем.
Предположим, что мы собираемся доказать некоторое утверждение вида:
«Каждое натуральное число обладает свойством 
.»
Если нам удастся доказать, что, во-первых, 1 обладает этим свойством (начало, или основание индукции), и, во-вторых, из предположения «
обладает свойством
» вытекает «
обладает свойством
» (шаг индукции), то наше утверждение в целом становится доказанным. Ведь тем самым мы установили, что множество
тех действительных чисел, которые обладают свойством
, удовлетворяют условиям а) и б) из определения, и, следовательно, в силу в)
.
В качестве примера применения метода математической индукции докажем очень важное равенство, которое называется «бином Ньютона». Мы покажем, что для любых действительных 
и
и для любого натурального
выполняется:
, (1)
где 
,
.
При 
равенство (1) очевидно, так как
и 
.
Прежде чем выполнять шаг индукции, докажем вспомогательное равенство:
= =
=
=
= 
.
Таким образом, 
.
Предположим теперь, что для некоторого 
равенство (1) выполняется. Докажем, что аналогичное равенство выполняется и для
. Преобразуем:
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Получившееся равенство между крайними частями этой цепочки, является, как нетрудно увидеть, искомой формулой (1), в которой 
заменено на (
).
Следующее утверждение обычно называют принципом Архимеда или архимедовым свойством действительных чисел.
Теорема 2.2. Множество N всех натуральных чисел не ограничено сверху. Иначе говоря, для любого действительного числа b существует такое натуральное число n, что 
>
.
Доказательство. Предположим противное: существует число 
такое, что для любого натурального числа
верно неравенство
. Тогда по аксиоме о точной верхней грани (аксиома 14) для множестваN существует наименьшая верхняя грань. Обозначим ее через 
. Так как
-1<
, то
-1 верхней гранью не является. Поэтому найдется такое натуральное число 
, что
. Но тогда
, а это противоречит тому, что
— верхняя грань множестваN. Теорема доказана.
Следствие. Для любых действительных чисел 
и
, где 0<
<
, существует такое натуральное число
, что
>
.
Для доказательства следует принцип Архимеда применить к числу 
.
Следствие имеет простой геометрический смысл. Если взять два отрезка с длинами 
и
соответственно, где 0<
<
то, последовательно откладывая на большем отрезке от одного из концов меньший отрезок, через конечное число шагов мы выйдем за пределы большего отрезка.
Множества натуральных и целых чисел
Натуральные числа – множество чисел, используемых для счёта предметов.
В отечественной литературе используются следующие обозначения:
N = <1,2,3,…>— натуральные числа без нуля
$N_0 = Z_+$ = <0,1,2,3,…>— расширенное множество с нулём
В зарубежной литературе по стандарту ISO 80000-2 (2009 год):
$N^* =$ <1,2,3,…>— натуральные числа без нуля
N = <0,1,2,3,…>— расширенное множество с нулём
Свойства натуральных чисел
1. 1 – первое натуральное число, перед ним нет никаких натуральных чисел.
2. За каждым натуральным числом идёт следующее натуральное число, причём единственное.
3. Определено отношение порядка $1 \lt 2 \lt 3 \lt$ ⋯
4. Множество натуральных чисел бесконечно.
5. Для натуральных чисел справедлива аксиома индукции Пеано.
Операцию над множеством чисел называют замкнутой , если её результат также принадлежит данному множеству чисел.
Замкнутые операции над натуральными числами
1. Сложение: a+b = c
2. Умножение: ab = c
3. Возведение в натуральную степень: $a^b = c$
Незамкнутые операции над натуральными числами (не всегда результаты будут натуральными)
1. Вычитание: a-b = c. Результат натуральный, если $a \gt b$
2. Деление нацело (с остатком): $a/b = (c;r), 0 \le r \lt b,a = bc+r$
Понятие и свойства целых чисел
Целые числа – расширение множества целых чисел, получаемое при добавлении к нему нуля и отрицательных чисел.
Множество целых чисел обозначается Z.
Свойства целых чисел
1. Множество целых чисел бесконечно.
2. На множестве определено отношение порядка
$… \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt ⋯ $
3. Множество содержит ноль («нейтральный элемент»): 0+a = a+0 = a,∀a $\in \Bbb Z$
4. Для каждого целого числа a существует противоположное ему число –a, при этом a+(-a) = 0.
Замкнутые операции над целыми числами
1. Сложение: a+b = c
2. Вычитание: a-b = c
3. Умножение: ab = c
4. Возведение в натуральную или нулевую степень: $a^b = c$
5. Деление нацело (с остатком): a/b = (c;r), $0 \le r \lt |b|$, a = bc+r
Таким образом, расширение множества натуральных чисел до целых чисел «замыкает» множество по операциям вычитания и деления нацело. В алгебре говорят, что множество целых чисел образует «кольцо».
Примеры
Пример 1. Докажите, что натуральное число вида $a^3+1$ делится нацело на a+1.
Результатом деления является натуральное число. Что и требовалось доказать.
Пример 2. Докажите, что куб любого натурального числа $n \gt 1$ может быть представлен как разность квадратов двух других натуральных чисел
$$ n^3 = a^2-b^2,a,b,n \in \Bbb N, n \gt 1 $$
Запишем систему уравнений:
Получается, что a и b всегда существуют и являются натуральными, т.к. произведение двух последовательных натуральных чисел всегда делится на 2 нацело (ведь одно из этих чисел обязательно будет чётным). Что и требовалось доказать.
Примеры разложений по полученной формуле:
$$ 3^3 = 6^2-3^2, 8^3 = 36^2-28^2, 11^3 = 66^2-55^2 $$
Пример 3. Найдите все целые значения дроби, если $n \in \Bbb Z$:
$ Дробь \frac<9>
Натуральные числа
Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.
В самые древние времена для счета использовали палочки. Такой способ записи сохранился в римском исчислении. Число при такой записи представляло собой сумму или разность палочек, которая была записана без каких-либо знаков.
С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).
Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.
Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута — $60$ секунд.
В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.
Натуральные числа. Множество натуральных чисел
Натуральные числа $1, 2, 3, \dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания порядкового номера предмета среди ему подобных.
Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Натуральное число
Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его..
Введём функцию alt=»<\displaystyle S>» width=»» height=»» />, которая сопоставляет числу alt=»<\displaystyle x>» width=»» height=»» /> следующее за ним число.
Zatheros bt and wlan coex agent что это за служба
- Как убрать закраску на фото
- Служба диспетчера доступа к возможностям что это
- Am2320 am2302 чем отличается