Смешанные числа
Запомните! 
У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.
Рассмотрим две оставшиеся дроби.
Дробь
| 7 |
| 7 |
имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь
| 11 |
| 7 |
имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.
Запомните!
У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.
Любая неправильная дробь всегда больше правильной.
Как выделить целую часть
У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:
-
числитель на знаменатель;
- полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
- остаток записываем в числитель дроби;
- делитель записываем в знаменатель дроби.
- Разделим в столбик числитель на знаменатель.
- Теперь запишем ответ.
Запомните!
Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.
Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:
- умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
- к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
- записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.
Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.
-
Умножаем целую часть на знаменатель.
Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.
Запомните!
Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.
Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.
Что такое числовая дробь
Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок — для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби — это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.
Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.
(или просто дробь) — это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.
Дроби, записанные через горизонтальную черту:
Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.
Обычно дроби записываются через горизонтальную черту — так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу — знаменателем.
Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. получилась дробь из приведенного выше примера.
Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение — знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»
Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.
Основное свойство дроби
Дроби a / b и c / d называются ,
Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.
Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:
— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.
Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.
Неправильные дроби. Выделение целой части
Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.
Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):
Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:
- Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае — равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
- Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае — ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
- Знаменатель переписываем без изменений.
Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться — и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:
Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:
Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления — зеленым.
Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24 : 6 = 4 — суровый факт из таблицы умножения.
Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.
Переход к неправильной дроби
Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.
Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:
- Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
- Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
- Переписать знаменатель — опять же, без изменений.
Вот конкретные примеры:
Задача. Переведите в неправильную дробь:
Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби — зеленым.
Вынесение минуса за знак дроби
Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:
В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.
Сделать это очень просто, если вспомнить правила:
- «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
- «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их — никаких дополнительных действий не требуется.
Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего — в числитель).
Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем — с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:
Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.
Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».
Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные — и лишь затем приступают к вычислениям.
Правильная и неправильная дроби
АЛГЕБРА
Дадим определение правильной и неправильной дроби. Эти понятия часто используются в математике. Как понять – какая дробь правильная, а какая неправильная – даем определения. Пример правильной дроби и пример неправильной дроби – в этом материале.
Правильная дробь
Определение правильной дроби:
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Например, – правильная дробь.
Неправильная дробь
Определение неправильной дроби:
Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. Например, , – неправильные дроби.
Обращение числа с целой и дробной частями в неправильную дробь
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Например, 
Как выделить целую часть из неправильной дроби
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток – числителем, а делитель – знаменателем. Например, .
Как выделить целую часть числа
Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильные дроби.
Дроби, у которых числитель больше либо равен знаменателю, называются неправильные дроби. Для неправильных дробей действует негласное правило, согласно которому необходимо в конце решения в обязательном порядке выделить целую часть. Для того чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель, записать целую часть перед дробью, посередине, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тем же.
Пример: 
, где 1 -результат деления, а 2 -остаток от деления.
Некоторые действия с дробями требуют, наоборот, исключительно неправильных дробей. Среди них, в первую очередь – умножение и деление дробей. Для того чтобы превратить смешанную дробь (дробь, в которой присутствует целая часть) в неправильную дробь, необходимо целую часть умножить на знаменатель, прибавить к ней текущий числитель дроби – это и станет новым числителем. Знаменатель останется тем же.
Пример: 
В обоих случаях, если изначальная дробь была несократимой, то в результате у числителя и знаменателя также не найдется общих множителей.
Среди обыкновенных дробей различают два разных вида.
Правильные и неправильные дроби
Обратите внимание, что в двух первых дробях (
) числители меньше знаменателей. Такие дроби называют правильными.
У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.
Рассмотрим две оставшиеся дроби.
имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь
| 11 |
| 7 |
имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.
У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.
Любая неправильная дробь всегда больше правильной.
Как выделить целую часть
У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:
- разделить с остатком числитель на знаменатель;
- полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
- остаток записываем в числитель дроби;
- делитель записываем в знаменатель дроби.
Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби
| 11 |
| 2 |
- Разделим в столбик числитель на знаменатель.
- Теперь запишем ответ.
Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.
Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:
- умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
- к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
- записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.
Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.
-
Умножаем целую часть на знаменатель.
3 · 5 = 15
Прибавляем числитель.
Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.
Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.
Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.
Разделы: Математика
Класс: 4
- Сформировать способность к выделению целой части из неправильной дроби.
- Повторить понятия числителя и знаменателя, дроби правильные и неправильные, смешанные числа.
- Актуализировать умение выделять целую часть из неправильной дроби.
Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: действие по аналогии, анализ, обобщение.
1) Формула деления с остатком.
2) Алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
3) Знаковая форма выделения целой части из неправильной дроби.
1) листочки с заданием (к этапу 2)
Опеределите по числовому лучу какому смешанному числу соостветствуют дроби
2) Подробный образец для самопроверки (к этапу 6)
1 Самоопределение к учебной деятельности.
Цели:
- Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством закрепления ситуации успеха, достигнутой на предыдущем уроке.
- Определить содержательные рамки урока.
Организация учебного процесса на этапе 1.
— На протяжении нескольких уроков мы работали с некоторыми числами. С какими числами мы работали? (С дробными числами).
— Какие знания у нас есть об этих числах? (Умеем их читать, записывать, сравнивать, решать задачи).
— Предлагаю продолжить нашу плодотворную работу. Вы готовы? (Да).
— Сегодня мы продолжим работать с дробными числами. Я уверена, что у нас с вами все получится на отлично. Но сначала повторим материал предыдущих уроков.
2 Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.
Цели:
1. Актуализировать умение находить правильные и неправильные дроби, смешанные числа, определение правильной и неправильной дроби, смешанного числа.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала.
3. Зафиксировать ситуацию, когда учащиеся не смогут выделить целую часть из неправильной дроби.
Организация учебного процесса на этапе 2.
— С какими числами мы познакомились на предыдущем уроке? (Со смешанными числами).
— Из чего состоит смешанное число? (Из целой и дробной части).
На доске записаны дроби и смешанные числа.
— На какие группы можно разделить представленные числа?
— Правильные дроби (
).
— Какие дроби называются правильными? (Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь меньше единицы).
— Неправильные дроби. (
…..)
— Какие дроби называются неправильными? (Дробь, у которой числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю).
— Какие из неправильных дробей можно представить в виде натурального числа?
(
)
— Какую дробь можно представить в виде смешанного числа? (Неправильную дробь, где числитель больше знаменателя).
— Определите с помощью числового луча, какому смешанному числу равна дробь
У учащихся лист с заданием (Р-1), один ученик работает у доски, комментирует.
— Назовите наименьшее смешанное число?( 
)
— Наибольшее? (
)
— Какое арифметическое действие вам помогло? ( Деление. Деление с остатком).
— Докажите. (На доске: Д-1).
— 12:7=1 (ост.5); 15:7=2 (ост.1); 25:7=3 (ост.4); 31:7=4 (ост.3)
— Выделите целую часть дроби 
, запишите смешанное число. Дети работают на обратной стороне листочка. Разные варианты ответов выносятся на доску.
— Как вы действовали?
3 Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.
Цели:
- Организовать коммуникативное взаимодействие по выявлению отличительного свойства задания на выделение целой части из неправильной дроби.
- Согласовать тему и цель урока.
Организация учебного процесса на этапе 3.
— Какое задание вы выполняли? (Надо выделить целую часть из дроби 
).
— Чем это задание отличается от предыдущего? (Тот способ, который нам помогал выделять целую часть из неправильной дроби не подходит для дроби 
. Эту дробь неудобно показать на числовом луче).
— Что же мы видим? (У нас получились разные ответы).
— Почему? (Мы пользовались разными способами. У нас нет алгоритма выделения целой части из неправильной дроби).
— Какова же цель нашего урока? (Построить алгоритм и научиться выделять целую часть из неправильной дроби).
— Подумайте и сформулируйте тему нашего урока. («Выделение целой части из неправильной дроби»).
На доске открывается название темы урока.
4 Построение проекта выхода из затруднения.
Цель:
- Организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия для выделения целой части из неправильной дроби.
- Зафиксировать новый способ в знаковой и вербальной форме и с помощью эталона.
Организация учебного процесса на этапе 4
— =?
— Каким способом вы предлагаете найти, сколько в дробном числе целых единиц? (Числитель разделить на знаменатель).
— Какой знак в записи дроби вам подсказал, как надо действовать? (Черта дроби – знак деления).
числитель
разделить
на знаменатель
a : b
— Запишем дробь в виде частного: 65 : 7.
— Какой это вид деления? (Деление с остатком. На доске: Д-1).
— Найдите результат. (65 : 7 = 9) (ост. 2)
— Что означает в полученном равенстве частное 9 и остаток 2? (Частное 9 означает, что в 65 содержится 9 раз по 7 и 2 остается).
— Что будет обозначать частное 9 в смешанном числе? (9 – это целая часть смешанного числа).
частное ( c ) —
целая часть
— Что будет обозначать остаток 2 в смешанном числе? (2 – это числитель дроби смешанного числа).
остаток ( r ) —
числитель
— А знаменатель? (Он остается, не изменяется).
знаменатель ( b )
не изменяется
— Какое смешанное число у нас получилось?
— 
— Выполнили мы задание? (Да).
— Какое математическое действие нам помогло? (Деление с остатком. На доске: Д-1).
Учитель возвращается к ответам на листочках, обобщает, поощряет словом тех, кто выполнил правильно. В групповой форме учащиеся выводят новый способ в знаковой форме на листочках. Выбирается правильный вариант.
— Запишите, пользуясь формулой деления с остатком (Д-1), какому смешанному числу равна дробь 
?
— Как из неправильной дроби выделить целую часть?
— Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо её числитель разделить на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток – числитель, а знаменатель не изменяется.
— Давайте всё же проверим наше мнение с мнением учебника. Откройте страницу 26, Математика 4 (2 часть), прочитайте правило сначала про себя, а потом вслух.
— Мы были правы? (Да).
Физминутка (по выбору учителя).
5 Первичное закрепление во внешней речи.
Цель:
Зафиксировать способ выделения целой части из неправильной дроби во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5.
— Давайте ещё раз повторим алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Д-2
— Мы с вами составили алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Какова цель нашей дальнейшей деятельности? (Потренироваться).
№ 4 (а,б,в) стр. 26 – с комментированием по образцу.
№ 4 (г, д) стр. 26 – в парах.
6 Самоконтроль с самопроверкой.
Цель:
- Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на выделение целой части из неправильной дроби.
- Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.
- Проверить своё умение выделять целую часть из неправильной дроби.
- Способствовать созданию ситуации успеха.
Организация учебного процесса на этапе 6.
— Вы сумели вывести алгоритм выделения целой части из неправильной дроби и потренировались в решении примеров. Я думаю, теперь вы сможете выполнить задание сами.
№ 3 стр. 26 – 1 вариант – 1 и 2 столбик;
2 вариант – 3 и 4 столбик;
— Кто желает, может выполнить задание и другого варианта.
Учащиеся выполняют работу, по окончании которой проверяют себя по образцу для самопроверки. Используется карточка Р-2.
— Проверьте себя по образцу для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?» зеленой ручкой.
— Кто допустил ошибки при выполнении задания? (…)
— У кого все верно?
Можно организовать работу по коррекции ошибок в группах или фронтально. Консультантами назначаются учащиеся, которые не допустили ошибок.
7 Включение в систему знаний и повторение.
Цель:
Тренировать способности выделять целую часть из неправильной дроби.
Организация учебного процесса на этапе 7.
— Попробуем применить наши знания при сравнении дроби и смешанного числа.
— Найдите неравенство, в котором надо сравнить правильную дробь с неправильной.
— 
— Что будем делать?
— Выделим целую часть из неправильной дроби.
— 
Значит?!
— 
— Неправильная дробь больше правильной. Мы это доказали, выделив целую часть.
— Закончите задание, сравните.
8 Рефлексия учебной деятельности на уроке.
Цели:
- Зафиксировать в речи алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
- Зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления.
- Оценить собственную деятельность на уроке.
- Согласовать домашние задание.
Организация учебного процесса на этапе 8.
— Чему научились на уроке? (Выделять целую часть из неправильной дроби).
— Какой алгоритм мы построили? (Можно проговорить алгоритм Д-2).
— У кого были трудности? Как будете, действовать?
— Кто сегодня доволен собой? Почему?
— Оцените объективно свою работу на уроке, выбрав соответствующее смешанное число. Число запишите зеленой ручкой на полях тетради.
— мне было трудно на уроке.
— я понял урок, но мне нужна тренировка.
— я хорошо понял урок, но нужна помощь.
— я молодец, понял урок на отлично.
Домашнее задание: придумать пять неправильных дробей и выделить целую часть; №10, №11 стр. 28 – по выбору; № 15 стр. 28 (а или б) – по желанию.