На что делится 2021 без остатка
Ответ:
Пошаговое объяснение:
(Квадраты простых чисел имеют только 3 различных делителя.
4=2*2, делители: 1,2,4
9=3*3, делители: 1,3,9
p^2=p*p, делители: 1,p,p^2)
Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .
Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , — 1 , a , — a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , — 7 , 1 и — 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , — 1 , 367 и — 367 .
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .
Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d , если есть такое число q , что делает верным равенство a = d · q , т.е. q = p 1 ( s 1 − t 1 ) · p 2 ( s 2 — t 2 ) · … · p n ( s n — t n ) .
Любое число, делящее a , будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p 1 , p 2 , … , p n , оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s 1 , s 2 , … , s n .
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
- Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n .
- Найти все значения d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где числа t 1 , t 2 , … , t n будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Условие: найти все делители 8 .
Решение
Разложим восьмерку на простые множители и получим 8 = 2 · 2 · 2 . Переведем разложение в каноническую форму и получим 8 = 2 3 . Следовательно, a = 8 , p 1 = 2 , s 1 = 3 .
Поскольку все делители восьмерки будут значениями p 1 t 1 = 2 t 1 , то t 1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s 1 = 3 . Таким образом, если t 1 = 0 , то 2 t 1 = 2 0 = 1 , если 1 , то 2 t 1 = 2 1 = 2 , если 2 , то 2 t 1 = 2 2 = 4 , а если 3 , то 2 t 1 = 2 3 = 8 .
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
| t 1 | 2 t 1 |
| 0 | 2 0 = 1 |
| 1 | 2 1 = 2 |
| 2 | 2 2 = 4 |
| 3 | 2 3 = 8 |
Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1 , 2 , 4 и 8 , а отрицательными − 1 , − 2 , − 4 и − 8 .
Ответ: делителями данного числа будут ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Условие: найдите все делители числа 567 , являющиеся натуральными числами.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7
Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:
| t 1 | t 2 | 3 t 1 · 7 t 2 |
| 0 | 0 | 3 0 · 7 0 = 1 |
| 0 | 1 | 3 0 · 7 1 = 7 |
| 1 | 0 | 3 1 · 7 0 = 3 |
| 1 | 1 | 3 1 · 7 1 = 21 |
| 2 | 0 | 3 2 · 7 0 = 9 |
| 2 | 1 | 3 2 · 7 1 = 63 |
| 3 | 0 | 3 3 · 7 0 = 27 |
| 3 | 1 | 3 3 · 7 1 = 189 |
| 4 | 0 | 3 4 · 7 0 = 81 |
| 4 | 1 | 3 4 · 7 1 = 567 |
Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27 , 63 , 81 , 189 , 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 567 .
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Условие: найти все делители 3 900 , которые будут больше 0 .
Решение
Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900 = 22 · 3 · 52 · 13 . Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 значения t 1 , равные 0 , 1 и 2 , t 2 = 0 , 1 , t 3 = 0 , 1 , 2 , t 4 = 0 , 1 . Результаты представляем в табличном виде:
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900 |
Ответ: делителями числа 3 900 будут: 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 1 300 , 1 950 , 3 900
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .
Решение
Раскладываем число на множители.
84 42 21 7 1 2 2 3 7
Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50 ? Вычислите их все.
Решение
Начнем с вычисления НОД ( 140 , 50 ) .
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
140 = 50 · 2 + 40 , 50 = 40 · 1 + 10 , 40 = 10 · 4 , значит, НОД ( 50 , 140 ) = 10 .
Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 2 0 · 5 0 = 1 , 2 0 · 5 1 = 5 , 2 1 · 5 0 = 2 и 2 1 · 5 1 = 1 0 . Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1 , 2 , 5 и 10 , а всего их четыре.
Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10 , 5 , 2 и 1 .
Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585 , 315 , 90 и 45 .
Решение
Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90 = 2 · 3 · 3 · 5 , 45 = 3 · 3 · 5 , 315 = 3 · 3 · 5 · 7 и 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , то таким делителем будет 5 : НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 .
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Теория чисел. Делители и кратные
В школе даются начальные знания по основным наукам. Огромную роль играет математика. Она используется не только при расчетах, но и в программировании.
В данной статье рассмотрена теория чисел. Она является своеобразной «базой», помогающей более подробно рассматривать математические действия и операции. В ней особую роль играют делители чисел. Зная о них, можно достаточно быстро и точно провести большинство операций. Пример – посчитать дроби и выделить грамотно доли.
Определение
Делители чисел – это такие значения, при делении на которые у «первоначального» числового компонента не будет остатка. Является целым в обязательном порядке. Пример – у 21 два делителя: 3 и 7. Проверить это можно по таблице умножения, которая изучается в начальных классах. Других упомянутых компонентов к 21 нет. В остальных случаях при делении будет получаться остаток.
Кратные
С делителями чисел познакомились. Теперь стоит обратить внимание на еще один момент, изучаемый в младших классах. Речь идет о кратных.
Краткое – это ситуация, при которой какое-нибудь значение удалось поделить без остатка на другое. Кратным a будет называться значение, которое без остатка делится на a.
Каждая «цифра» в математике имеет бесконечно много кратных. Пример – 5. Сюда можно отнести: 5, 10, 15, 20, 25, 100, 1005 и так далее. Все они будут без остатка делиться на пятерку.
Простые и составные
В начальных классах учителя говорят, что в математике есть простые числа и составные. Тут необходимо запомнить:
- Простые – это натуральное число, которое делится только на себя и единицу.
- Единица не включена в ряд простых.
- Составное число – это непростой элемент в математике. Единица сюда тоже не включена. Имеет несколько делителей. Согласно информации, подаваемой в начальных классах – больше двух.
Если интересует, сколько делителей у простого заданного числа, ответ будет очевиден – их всего два. И найти таковые проще простого. Эта информация очевидна из самого определения.
Составные числа могут иметь бесконечное количество делителей. Ответить, сколько именно, невозможно – все зависит от конкретной ситуации. Главное – чтобы их в конечном итоге оказалось больше двух.
В программировании найти «простую цифру» достаточно легко. Операция с легкостью проводится за O(N), где N – это проверяемый элемент. Достаточно проверить, будет ли оно делиться без остатка хотя бы на один элемент среди цепочки: 2, 3, 4, …, N-1. В школьных классах соответствующая информация не изучается. Она пригодится непосредственным программистам.
Вот – пример реализации. Этот код нужно просто обработать компилятором и посмотреть на выданные результаты. N – подставить свое значение.
Делимость – признаки
В разных классах начальной школы (иногда – в среднем звене) активно рассматриваются не только делители числа, но и признаки делимости. Эта информация тоже включена в рассматриваемую теорию. Она помогает найти простые делители заданного числа намного быстрее. А еще – понять, простое оно или сложное. Узнать количество делителей, которые имеют числа, будет намного проще.
На десятку
Если «цифра» заканчивается на 0, она может делиться без остатка на 10. Это – правило, которое нужно запомнить в младших классах. Обычно такие элементы относятся к сложным/составным. Об этом учителя говорят еще в начальных классах. Связано это с тем, что «цифра», которая делится на 10, обычно может быть поделена:
- сама на себя;
- на десятку;
- на пятерку.
Из ранее изученных определений следует достоверность последнего утверждения.
Делимость на 5 и 2
Теперь стоит изучить более сложные варианты. Они тоже рассматриваются в начальных классах и позволяют понять, сколько делителей будет у «цифры», заданной в примере. Среди основных знаний, которые нужно освоить в начальной школе, выделяют признаки делимости на двойку и пятерку.
Тут в начальных классах требуется запомнить, что:
- Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
- Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
- Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.
Все это поможет быстрее найти делитель числа в начальных классах. Но есть и иные признаки делимости. Они тоже необходимы для нахождения рассматриваемых элементов.
Согласно установленным правилам, если сумма цифр в заданном элементе делится на 3, то все оно тоже разделяется без остатка на «тройку». Пример – 27. Сумма его составляющих будет равна 9. Оно делится на 3. Отсюда следует, что 27 при делении на «тройку» остатка не образовывается.
Рассматривая делители числа, стоит обратить внимание на еще один признак делимости. Речь идет о 9. Если сумма цифр в заданном компоненте делится на «девятку», то и все оно тоже не образовывает остатка вследствие выполняемых математических манипуляций. Соответствующий принцип тоже изучается в младших классах.
Разложение на множители
Разложение на простые множители – еще одна операция, которая изучается в рассматриваемой теории в начальных классах. Можно провести разложение любого натурального числа, которое входит в заданное выражение им же, но представленном в ином виде. Для этого требуется изучить делители чисел. Они пригодятся в соответствующей операции.
Суть приема заключается в том, что нужно представить «цифру» в виде произведения нескольких простых множителей (делителей заданных чисел). Пример – дана «шестерка». Находим делители этого числа. Справиться с соответствующей задачей сможет ученик младших классов:
- 1;
- 2;
- 3;
- 6.
В поиске натуральных множителей теперь не будет никаких проблем. И в представлении «цифры» соответствующей записью – тоже. Шестерка – это 3*2 и 6*1.
Стоит обратить внимание – согласно правилам, продиктованным математикой в начальных классах, разложить на множители удастся только составную «цифру». У него будет простой делитель натурального заданного числа. Простая заданная «цифра» не подлежит разложению.
Данный вариант разложения – элементарный. Его легко освоить даже в начальных классах, после изучения таблицы умножения. Подходит для небольших «цифр». Когда дело доходит до больших значений, стоит воспользоваться иным методом:
- Провести вертикальную линию.
- Слева написать делимые.
- Справа прописать делители заданного числа.
- Собрать полученные сведения во множители.
Правила, изучаемые в начальных классах, указывают на то, что тут на помощь приходят признаки делимости.
Выше – пример реализации приема с числом 180.
Правило обнаружения делителей
Чтобы найти простые делители числа, в начальных классах необходимо запомнить следующий принцип (правило):
- Записать в качестве первого делителя единицу.
- Исходный элемент разложить на простые множители.
- Выписать из соответствующих делителей те, на которые без остатка делится заданная изначально «цифра». При повторении повторно записывать его не потребуется.
- Отыскать все произведения полученных простых множителей между собой.
Полученные ответы – это остальные искомые компоненты. Если этот принцип усвоить в младших классах школы, удастся достаточно быстро разобраться в математике и счете.
Дроби
Ближе к средним классам школьная программа начинает предлагать дроби. Там рассмотренная тема будет особо актуальна. Одно и то же число можно записать десятично (15 – 3*5) и в виде дроби.
- числитель – то, что написано над чертой-разделителем;
- знаменатель – нижняя часть записи.
Чтобы в любом классе без проблем привести дроби к общему знаменателю, потребуется:
- Найти общее кратное знаменателей. Эта запись будет общим знаменателем.
- Разделить общий знаменатель на знаменатель каждой отдельно взятой дроби. Получится дополнительный множитель.
- Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.
Лишь после этого можно проводить сложение и вычитание дробей. Соответствующая информация пригодится в любом классе школы и даже во взрослой жизни при разнообразных вычислениях.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
делимость — Число, которое начинается с цифр 2021 и делится на все числа от 1 до 9
Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается с цифр 2021 и делится на все числа от 1 до 9.
задан 22 Мар ’21 1:24
Проверил на компе — решение falcao верно.
@Юрий Николаевич, там комп не нужен, там совсем легко решается в уме. Поскольку искомое число делится на 2 и на 5, оно оканчивается нулём, следовательно, 4-значным быть не может. Не может оно быть и 5-значным, так как 20210 не кратно 9. Единственное 6-значное число, начинающееся с 2021 и кратное 2, 5 и 9 — это число 202140, но и оно не годится, ведь 140 не делится на 8. Значит, искомое число должно быть как минимум 7-значным, причём с нулём на конце (так как кратно 2 и 5) и чётной предпоследней цифрой (так как кратно 4). Наименьшие два таких числа — 2021020 и 2021040, но 2021020 не кратно 8.
Спасибо. Проверить никогда не лишне, вдруг что-то не учтено. К тому же решение задач на компьютере — это моё хобби, вероятно Вы это уже заметили.
@Юрий Николаевич, Вы пишете: «К тому же решение задач на компьютере — это моё хобби, вероятно Вы это уже заметили.» . Как насчёт поиска закономерностей в распределении простых чисел? В этой области полно открытых проблем!
