Как доказать равенство углов

Треугольники $$ ABC$$ и `A^’B^’C^’` таковы, что равны их медианы, проведённые из вершин `B` и `B^’` и равны углы, которые образуют эти медианы со сторонами $$ a$$ и $$ c$$ и со сторонами `a^’` и `c^’` соответственно. Доказать, что `DeltaABC=DeltaA^’B^’C^’`.

Решение

При доказательстве мы рисуем треугольники, о которых идёт речь, в наиболее удобном положении (см. рис. 7), что возможно по аксиоме «перемещения треугольника», иначе называемой аксиомой «существования треугольника, равного данному».

Рис. 7

Итак, $$ AM=CM$$, `A^’M^’=C^’M^’`, `BM=B^’M^’` равные углы $$ ABM$$ и `A^’B^’M^’` обозначим $$ \alpha $$ вторую пару равных углов обозначим $$ \phi $$.

1. В треугольнике $$ ABC$$ продолжим медиану $$ BM$$ за точку $$ M$$ и на прямой $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD=BM$$. Рассмотрим треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$.

Имеем: $$ AM=CM$$ (т. к. `BM` – медиана),

$$ BM=DM$$ (по построению),

$$ \angle AMB=\angle CMD$$ (как вертикальные).

По первому признаку равенства треугольников $$ △ABM= △CDM$$ В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны $$ (AB=CD)$$ и против равных сторон лежат равные углы (поэтому $$ \angle CDM=\alpha $$).

Аналогичное построение осуществим с треугольником `A^’B^’C^’` получим, что `A^’B^’=C^’D^’` и `/_C^’D^’M^’=alpha`.

2. Теперь рассмотрим треугольники $$ BCD$$ и `B^’C^’D^’`. Так как `BD=B^’D^’` и прилежащие к отрезкам $$ BD$$ и `B^’D^’` углы соответственно равны $$ \phi $$ и $$ \alpha $$, то `Delta BCD=DeltaB^’C^’D^’` по второму признаку равенства. Из этого равенства следует `CD=C^’D^’` (т. е. `c=c^’`) и `BC=B^’C^’` (т. е. `a=a^’`).

3. Вновь рассматриваем треугольники $$ ABC$$ и `A^’B^’C^’` Угол при вершине $$ B$$ равен углу при вершине `B^’` и равны стороны, образующие этот угол. По первому признаку равенства `Delta ABC=Delta A^’B^’C^’`.

На сторонах $$ AB$$ и $$ AD$$ квадрата $$ ABCD$$ во вне его построены равносторонние треугольники $$ AKB$$ и $$ AMD$$ (рис. 8). Доказать, что треугольник $$ KCM$$ также равносторонний.

Обозначим сторону квадрата $$ a$$ очевидно, что стороны равносторонних треугольников тоже равны $$ a$$. Отметим равные стороны в треугольниках $$ KBC$$, $$ CDM$$ и $$ KAM$$.

Рис. 8

$$ △KBC=△CDM$$ по первому признаку, т. к. $$ \angle KBC=\angle CDM=90°+60°=150°$$.

Пусть прямая $$ CA$$ пересекает отрезок $$ KM$$ в точке $$ F$$.

$$ \angle KAC=\angle MAC=60°+45°=105°$$

Смежные с ними углы $$ KAF$$ и $$ MAF$$ равны $$ 180°-105°=75°$$ значит `/_RAM=150^@`, и $$ △KAM=△KBC$$ Делаем вывод: $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$).

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$ называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BD\perp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ \angle ADB$$ смежный с $$ \angle BDC=90°$$ поэтому $$ \angle ADB=90°$$ ).

Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.

Рис. 9	Рис. 10

Доказательство признака б) Столь же простое, докажите его самостоятельно.

Докажем признак в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$ Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные, и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$ Из равенства треугольников следует

и $$ \angle CDM=\angle ABM$$. Но $$ \angle ABM=\angle CBM$$ поэтому $$ \angle CDM=\angle CBM$$, т. е. в треугольнике $$ BCD$$ углы при основании $$ BD$$ равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).

Найти углы треугольника $$ ABC$$.

Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ \alpha $$.

3. $$ \angle BAK=2\alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ \angle BCA=2\alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ \angle DKC=\alpha $$ ($$ \angle DKC=\angle AKM$$ как вертикальные).

4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ \angle KDC=\alpha $$ и б) $$ \angle KDC=2\alpha $$.

а) Если $$ \angle KDC=\alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ \alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если $$ \angle KDC=2\alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ \alpha +2\alpha +2\alpha =180°$$ ,$$ \alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ \angle A=\angle C=2\alpha =72°$$ , $$ \angle B=180°-2·\angle A=36°$$.

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Рис. 12в

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Рис. 13

Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MK\perp AC$$.

Из $$ BC\perp AC$$ и $$ MK\perp AC$$ следует $$ BC\parallel MK$$.

Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.

В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM=<\displaystyle \frac<1><2>>AB$$.

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Рис. 14a	Рис. 14б

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).

Рис. 15

Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ AD\perp BM$$.

2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$.

Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Три возможных случая при наложении треугольников

1. Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
2. Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
3. Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
2. По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
3. Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем: ∠АСС1 = ∠А1С1С, ∠ВСС1 = ∠В1С1С.
4. Поскольку ∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1, ∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C, то и углы AСB и AС1B равны.
5. Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник САС1.
2. Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 — равнобедренный.
3. По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1 . Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
2. По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
3. Рассмотрим треугольник АСС1.
4. Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
5. ∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
6. Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
7. Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $angle A=angle A_1, angle B=angle B_1$. (рис. 1).

• Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1
• Нам нужно доказать, что $angle C=angle C_1,$ и что $frac=frac<_1>=frac$.
• По теореме о сумме углов треугольника, имеем:
• Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

1. По теореме 0, получим
2. Из этих равенств, получим
3. Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $angle A=angle A_1$ и$frac=frac=k$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $angle C=angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $angle CAB_2=angle A_1$, а $angle B_2CA=angle C_1$ (рис. 2).

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$ frac$ $=frac$. По условию $frac=frac$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $angle B_2CA=angle C$, а так как $angle B_2CA=angle C_1, то angle C=angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $frac=frac<_1>=frac=k$.

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $angle A=angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $angle CAB_2=angle A_1$, а $angle B_2CA=angle C_1$ (рис. 3).

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$ frac$ $=frac=frac$. Принимая во внимание равенства$frac=frac<_1>=frac$, получим, что $CB_2=CB, AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $angle A=angle A_1$.

Пример задачи на использование признаков подобия

• Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.
• Решение.
• Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $angle A=angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то
• Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

[angle B=angle C=frac<180-angle A><2>]
[angle B_1=angle C_1=frac<180-A_1><2>=frac<180-angle A><2>=angle B=angle C]

То есть $angle B=angle B_1, angle C=angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

3 признак равенства треугольников

• Теорема
• (Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)
• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. ΔABC,
2. ΔA1B1C1,
3. AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1.
4. Доказать:
5. ΔABC= ΔA1B1C1
6. Доказательство:
7. Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы

• вершина A1 совместилась с вершиной A,
• вершина B1 совместилась с вершиной B,
• точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

• Проведём отрезок CC1.
• По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.
• По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C.
• Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

1. Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.
2. Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.
3. Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:
4. AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному).
5. Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

• По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.
• Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
• Что и требовалось доказать.

math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти
три точки.

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если
от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и
$OD$ соответственно так, чтобы $angle COA=angle DOB$, то точки $C,
O$ и $D$ лежат на одной прямой.

• Предположим противное.
• Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$
• Тогда $angle COA=angle BOC_1$, как вертикальные, и от луча $OB$ отложены два равных угла $angle DOB$ и $angle COC_1$, что противоречит аксиоме.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
   AC=A_1C_1, angle A=angle A_1$.
2. Докажем, что $ riangle ABC= riangle A_1B_1C_1$.
3. Так как $angle A=angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник
   $A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.
4. В силу аксиомы, так как $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, то стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$
   совместиться.
5. В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.
6. Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны $BC$ и $B_1C_1$.
7. Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились.
8. Следовательно, согласно определению, они равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

• Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
  angle A=angle A_1, angle B=angle B_1$.
• Докажем, что $ riangle ABC= riangle A_1B_1C_1$.
• Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$,
  сторона $AB$ – с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$
  оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$.
• Так как $angle A=angle A_1$ и $angle B=angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится
  на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ – на луч $B_1C_1$.
• Поэтому вершина $C$ – общая точка сторон $AC$ и $BC$ – окажется как лежащей на
  луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, совместиться
  с общей точкой этих лучей – вершиной $C_1$.
• Значит, совместятся стороны $AC$ и $A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$.
• Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся.
• Следовательно, они равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
   AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$.
2. Докажем, что $ riangle ABC= riangle A_1B_1C_1$.
3. Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы
   вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ – C вершиной
   $B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой
   $A_1B_1$.
4. Возможны три случая:

луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$

луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла

луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$.

• По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, треугольники
  $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ – равнобедренные.
• По теореме $angle 1=angle 2, angle 3=angle 4$, поэтому $angle
  A_1CB_1=angle A_1C_1B_1$.
• Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, angle C=angle C_1$.
• Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников.

1. Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$.
2. Тогда, так как $AC=A_1C_1$, то треугольник $СA_1C_1$ равнобедренный, и ,следовательно, $angle C=angle C_1$.
3. Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Третий случай доказывается аналогично первому.

math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/05/06 11:15 — labreslav

Как доказать равенство треуголников? Примеры!

Надейка Высший разум (158170) 8 лет назад Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.

Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC равен углу A1B1C1. Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 — со стороной BС.

(В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему «перевернутый» треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .) Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства AB= A1B1, ÐBAC = ÐB1A1C1, ÐАВС= ÐА1В1С1. Поступим так же, как и в предыдущем случае.

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно «перевернуть обратной стороной». Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1 имеют место равенства АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1. Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.

Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.

В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)

Источник: http://dcs. isa. ru/www /vladimirv /Geometry /dshar/sco_3.2.1/sco_3_2_1.html

Angelina11 Ученик (196) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Эдуард Голуб Профи (702) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

"Нестандартные признаки равенства треугольников"

МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

• Математика
• Тема: «Нестандартные теоремы о равенстве треугольников»
• Автор работы:
• Подгорный Максим, 7 кл.,
• МБОУ СОШ № 3,
• г. Сальск, Ростовская область
• Руководитель:
• Олейникова Людмила Александровна,
• учитель математики,
• МБОУ СОШ № 3,
• г. Сальск, Ростовская область
• г. Ростов-на-Дону
• 2017 год
• Содержание
• Введение………………………………………………………….………………3
• Основная часть
• Признаки равенства треугольников…………………………………………… 4
• Нестандартные признаки равенства треугольников………………………….7
• Заключение…………………………………………………………………… 10
• Список литературы…………………………………………………………… 11
• Приложение
• Введение.
• Актуальность:

Треугольник одна из основных фигур в планиметрии. Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к ЕГЭ им часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточным знание основных признаков.

Мне захотелось узнать, а можно ли доказать равенство треугольников по другим параметрам . В учебнике геометрии, по которому обучаются ученики нашей школы ( авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9) рассматриваются всего 3 признака равенства треугольников.

Я просмотрел учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы.

Возможно, ли сформулировать, кроме трех известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провел социологический опрос среди учащихся 7-11 классов см. приложение 1 ).

Мои предположения подтвердились. Большенство учеников знают только три признака равенства треугольников.

1. Таким образом, целью моего исследования стало отыскание новых признаков равенства треугольников.
2. Задачи :
3. ΘИзучить литературу по исследуемой теме.
4. ΘУточнить количество признаков равенства треугольников.
5. ΘПродемонстрировать своим одноклассникам и учащимся нашей школы существование других признаков равенства треугольников и возможности их доказательства.
6. Объект исследования :
7. Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования. Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

• Метод исследования: Теоретический ( изучение, анализ и синтез),системно-поисковый, практический (доказательство теорем ).
• Историческая справка
• Треугольник является одной из центральных фигур всей геометрии.
• При решении задач используют его самые разнообразные свойства.
• Свойства треугольника широко применяют на практике: в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии треугольник является очень значимой фигурой; треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя.

Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб.

Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

1. Поэтому изучение треугольника и всех его свойств – очень актуальная тема.
2. Цель данной работы – рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из важнейших их свойств.
3. Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.
4. В геометрии используются три признака равенства треугольников.
5. Данная тема практически изучена, так как на сегодняшний день существуют три признака равенства треугольников, доказываемых с помощью соответствующих теорем.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.

Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше.

В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.

Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы.

По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно.

Признаки равенства треугольников.

Начнем с определения. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если их можно совместить наложением.

• Треугольник состоит из шести элементов: трех углов и трех сторон.
• При этом возникает вопрос : » Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников ?»
• Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному элементу, потому что неизвестно :»Будут ли равны остальные элементы ?»

Теоретические материалы: Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

6. Подобие фигур

6.1. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Пусть некоторый отрезок содержится в отрезке ровно и в отрезке ровно раза: , . Отрезок в таком случае называют общей мерой отрезков и . Ясно, что если взять любую долю отрезка , то она также будет содержаться в каждом из данных отрезков и целое число раз. Например, если , то , ; если , то , и т. д.

Общей мерой двух отрезков будет называться такой третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.

Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков.

Два отрезка ( и ) называются соизмеримыми, если они имеют общую меру (): и , где и — натуральные числа.

Соизмеримые отрезки существуют, например, м и дм. Для нахождения их наибольшей общей меры отложим на ( раза) и получим в остатке отрезок ( дм), меньший отрезка . Остаток отложится на меньшем отрезке ровно раза, т. е. и в большем отрезке раз, т. е.

, поэтому и есть наибольшая общая мера отрезков и . Если бы, откладывая остаток на меньшем данном отрезке , опять получили бы остаток (), то откладывали бы на и т.д., пока не получилось бы, что отложится в целое число раз без остатка.

Тогда и будет наибольшей общей мерой отрезков и .

Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют общей меры.

Примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и диагональ квадрата (доказательство этого факта опускаем) . Это значит, что процесс откладывания стороны квадрата на диагонали, остатка на стороне, второго остатка на первом и т. д. был бы бесконечен, так как всегда получался бы остаток.

Измерить отрезок единичным отрезком значит найти число, показывающее, сколько раз отложится на отрезке отрезок или его доли. Это число называют длиной отрезка. Если отрезок соизмерим с единичным отрезком , то длина отрезка есть число рациональное (натуральное или рациональная дробь). Например, дм при дм или м при м.

Если отрезок несоизмерим с единичным отрезком , то длина отрезка есть число иррациональное. Например, если дм сделать стороной квадрата, то его диагональ дм (по теореме Пифагора ).

Поскольку иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, то его приближенное значение можно выразить с любой степенью точности с помощью конечной (рациональной) дроби. Так, точная длина есть дм, а приближенная дм или дм и т. д.

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Величина отношения отрезков не изменится, если в качестве единицы измерения взять любую общую меру данных отрезков. Так, если и , то и .

Четыре отрезка , , , называются пропорциональными, если из их длин можно составить пропорцию .

Этому определению не противоречит следующее более общее определение. Отрезки называются пропорциональными отрезкам , если .

Первый признак равенства треугольников – доказательство: второй и третий признаки, теорема и определение

С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.

Применение навыка на практике

Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.

Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.

Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.

Замерив длину двух сторон и угол между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.

Важно ! Фигуры называются одинаковыми, если отрезки, образующие их стороны, и углы равны между собой. Подобными называются те фигуры, у которых стороны и углы пропорциональны. Таким образом, равенство — это подобие с коэффициентом пропорциональности 1.

Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:

• первый признак равенства: два треугольника можно считать одинаковыми, если равны две их стороны, а также угол между ними.
• второй признак равенства треугольников: два треугольника будут одинаковыми, если одинаковы два угла, а также соответствующая сторона между ними.
• третий признак равенства треугольников: треугольники можно считать одинаковыми, когда все их стороны имеют равную длину.

Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.

Доказательство 1 признака

Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.

Рассмотрим два треугольника — KMN и K1M1N1. Сторона КМ имеет такую же длину как и K1M1, а KN = K1N1. А угол MKN равен углам KMN и M1K1N1.

Если рассматривать KM и K1M1, KN и K1N1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K1M1 и K1N1 из точки K1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K1M1 и K1N1 полностью совпадут.

Отложим на луче K1M1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K1M1 то точки М и M1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K1N1.

Таким образом, перенося K1M1N1 так, что точки K1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.

Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.

Доказательство 2 признака

Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.

Доказательство 2 признака

Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.

Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.

Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.

Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Доказательство 3 признака

Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.

Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:

Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.

Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:

• все три стороны;
• обе стороны и угол между ними;
• оба угла и сторона между ними.

Использование признака равенства треугольников для решения задач

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Следствия первого признака

В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.

1. Параллелограмм. Тот факт, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их на две одинаковые части — следствие признаков равенства и вполне поддается доказательству.Стороны дополнительного треугольника (при зеркальном построении, как в доказательствах, которые мы выполняли) — параллельны сторонам главного (стороны параллелограмма).
2. Если есть два прямоугольных треугольника, у которых одинаковые острые углы, то они подобны. Если при этом катет первого равен катету второго, то они равны. Понять это довольно легко — у любых прямоугольных треугольников есть прямой угол. Поэтому признаки равенства для них более просты.
3. Два треугольника с прямыми углами, у которых два катета имеют одинаковую длину, можно считать одинаковыми. Это связано с тем, что между двумя катетами угол всегда равен 90 градусов. Поэтому по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) все треугольники с прямыми углами и одинаковыми катетами — равны.
4. Если есть два прямоугольных треугольника, и у них один катет и гипотенуза равны, значит и треугольники одинаковы.

Докажем эту простую теорему.

Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.

• По теореме Пифагора один из катетов равен:
• ;
• .

Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Отметим еще одно важное следствие. Если есть два равных треугольника, и они подобны с коэффициентом подобия k, то есть попарные отношения всех их сторон равны k, то отношение их площадей равно k2 .

Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс

Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников

Вывод

Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.

Признаки подобия треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

Треугольники подобны, если хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в другом треугольнике.

Доказательство

Если даны два треугольника: ABC и А1В1С1, где ∠A=∠A1 , и ∠B=∠B1. Тогда получается, что ∠C и ∠C1 также равны между собой. Давайте докажем, подобие △ABC и △A1B1C1.

Если отложить на стороне ВА отрезок ВА2, который будет равен отрезку A1B1 , и затем, провести прямую через точку А2, которая будет параллельна прямой АС. То эта прямая будет пресекать отрезок ВС в точке, которую назовем С2 .

Итак, треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны: А2В =А1В1 по построению, ∠В1 = ∠В по условию и ∠А2= ∠А1 , так как ∠А=∠А1 по условию и ∠А2 =∠А как соответственные углы.

Согласно лемме 1 о подобных треугольниках (прямая, которая параллельна одной из сторон треугольника и которая пересекает две другие его стороны, отсекает треугольник, который подобен данному) будем иметь: △ABC ∼ △A2BC2 , таким образом, △A1B1C1 ∼△ABC. Значит, теорема доказана. Теоремы 2 и 3 доказываются по аналогичной схеме.

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если две из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. прямоугольные треугольники считаются подобными, если катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе второго треугольника;
2. подобными считаются прямоугольные треугольники, если острый угол одного из них равен острому углу второго треугольника.

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС, длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются признаки подобия треугольников.

Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС.

В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В — общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР.

Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем: КР / 10 = 3 / 5 то есть, КР=6

Пример 2

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1, ∠В = ∠В1. Стороны АВ, ВС в треугольнике ABC больше в 2,5 раза сторон A1B1, B1C1, что в треугольнике A1B1C1. Нужно найти АС и A1C1 , при условии, что их сумма равняется 4,2 м. Решение. По условию задачи запишем:

1. ∠B=∠B1;
2. AB/A1B1=BC/B1C1=2,5 Следовательно, △ABC∼△А1В1С1. По второму признаку подобия треугольников.
3. AC+A1C1=4,2м. Из подобия этих треугольников получаем следствие AC/A1C1=2,5 , или АС=2,5xА1С1 Если АС = 2,5 x А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 x А1С1 + A1C1 = 4,2, поэтому АС = 3 (м), A1C1 = 1,2 (м).

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5