Как найти центр фигуры

Центр фигуры

Центр фигуры — в планиметрии, в зависимости от контекста может означать: Центр симметрии Центр масс Кроме того, если фигура треугольник: Ортоцентр (от греч. ορθοξ прямой) точка пересечения высот Инцентр точка пересечения биссектрис Центроид точка пересечения… … Википедия

центр (фигуры) — ▲ место ↑ фигура, (быть) в, равный, расстояние, от (предмета), граница центр место, равно отстоящее от границ. центральный. центровой. полюс. фокус. ортоцентр. центр симметрии. концентрический. эксцентрический. ↓ центр тяжести, барицентр.… … Идеографический словарь русского языка

Центр — (от др. греч. κέντρον острие, средоточие) Точка пересечения каких либо осей, линий в фигуре, точка сосредоточения каких либо отношений, сил в теле. Место, одинаково удалённое от краёв, концов чего либо; середина. Срединная и главная часть… … Википедия

Центр (геометрия) — Центр фигуры в планиметрии, в зависимости от контекста может означать: Центр симметрии Центр масс Кроме того, если фигура треугольник: Ортоцентр (от греч. ορθοξ прямой) точка пересечения высот Инцентр точка пересечения биссектрис Центроид точка… … Википедия

Центр (середина) — Центр фигуры в планиметрии, в зависимости от контекста может означать: Центр симметрии Центр масс Кроме того, если фигура треугольник: Ортоцентр (от греч. ορθοξ прямой) точка пересечения высот Инцентр точка пересечения биссектрис Центроид точка… … Википедия

Центр — Центр. В механике понятие о Ц. или связано с понятием о симметриивокруг него, или с понятием о месте приложения равнодействующейнекоторой совокупности сил, приложенных к твердому телу. В кинематике. При рассмотрении скоростей точек какой либо… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между… … Википедия

ЦЕНТР ИНВЕРСИИ — в к ле особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встретит одинаковые (соответственные) точки фигуры. При наличии Ц. и. каждой грани отвечает др. грань,… … Геологическая энциклопедия

Центр-Инвест — Открытое акционерное общество коммерческий Банк Центр инвест Тип Открытое акционерное общество Лицензия Генеральная № 2225 Деятельность Все виды банковской деятельности Девиз … Википедия

Центр политической информации — Центр политической информации … Википедия

Центроид

В математике и физике центроид или геометрический центр плоской фигуры представляет собой среднее арифметическое положение всех точек на фигуре. Неформально это точка, в которой вырез формы (с равномерно распределенной массой) может быть идеально сбалансирован на кончике булавки. [1] Это же определение распространяется на любой объект в n — мерном пространстве . [2]

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида , в астрофизике и астрономии барицентр — это центр масс двух или более тел, вращающихся вокруг друг друга. В физике центр масс — это среднее арифметическое всех точек , взвешенных по локальной плотности или удельному весу . Если физический объект имеет однородную плотность, то его центр масс совпадает с центром тяжести его формы.

В географии центр тяжести радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря является географическим центром региона .

История

Термин «центроид» появился недавно (1814 г.). [ нужна цитата ] Он используется как замена более старым терминам « центр тяжести » и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин специфичен для английского языка. Французы используют « центр тяжести » в большинстве случаев, а другие используют термины аналогичного значения.

Центр тяжести, как видно из названия, — понятие, возникшее в механике, скорее всего, в связи со строительной деятельностью. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, поскольку это понятие, вероятно, возникло у многих людей индивидуально с небольшими различиями.

Хотя Архимед прямо не заявляет об этом утверждении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был с ним знаком. Однако Жан-Этьен Монтукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758 г.), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел — предмет, которого Архимед не касался.

В 1802 году Шарль Боссю (1730–1813) опубликовал двухтомный «Очерк общей истории математики». Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после издания она была доступна в переводах на итальянском (1802–03), английском (1803) и немецком (1804). Боссут приписывает Архимеду открытие центра тяжести плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах. [3]

Хотя возможно, что Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 гг. До н.э.), несомненно, что, когда Архимед посетил Александрию , Евклида там уже не было. Таким образом, Архимед не мог узнать теорему о том, что медианы треугольника сходятся в точке — центре тяжести треугольника — непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в «Началах» Евклида . Первое явное утверждение этого утверждения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н.э.) и встречается в его «Механике». Попутно можно добавить, что это положение не использовалось в учебниках планиметрии до девятнадцатого века.

Свойства

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда лежит в самом объекте. Невыпуклый объект может иметь центроид, который находится за пределами самой фигуры. Центр тяжести кольца или чаши , например, лежит в центральной полости объекта.

Если центроид определен, это фиксированная точка всех изометрий в своей группе симметрии . В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центр тяжести многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндр , прямоугольник , ромб , круг , сфера , эллипс , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т. д .) может быть определен только по этому принципу.

В частности, центр тяжести параллелограмма является точкой пересечения двух его диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

По той же причине центроид объекта с трансляционной симметрией не определен (или лежит вне объемлющего пространства), потому что трансляция не имеет фиксированной точки.

Примеры

Центроид треугольника — это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны). [4]

Другие свойства центроида треугольника см . ниже .

Нахождение

Метод отвеса

Центр тяжести однородно плотной плоской пластинки , такой как на рисунке (а) ниже, может быть определен экспериментально с помощью отвеса . и булавку, чтобы найти совмещенный центр масс тонкого тела одинаковой плотности, имеющего ту же форму. Тело удерживается штифтом, вставленным в точке вне предполагаемого центра тяжести таким образом, что оно может свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес сбрасывается со штифта (рис. b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со штифтом, вставленным в любую другую точку (или несколько точек) вне центра тяжести объекта. Уникальная точка пересечения этих линий будет центроидом (рисунок c). При условии, что тело однородной плотности, все линии, построенные таким образом, будут включать центр тяжести и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

Этот метод можно распространить (теоретически) на вогнутые формы, где центроид может лежать вне формы, и практически на твердые тела (опять же, с одинаковой плотностью), где центроид может лежать внутри тела. (Виртуальные) положения отвесных линий должны быть записаны другими способами, кроме как путем их рисования вдоль формы.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центр тяжести можно найти, уравновешивая форму с меньшей формой, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя фигурами (и точно в точке, где форма будет балансировать на булавке). В принципе, для нахождения центроида с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия из нескольких весов, можно добиться значительного уровня точности.

13. Центр тяжести твердого тела; центр тяжести объема, площади и линии. Способы определения положения центров тяжести тел.

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ, вес элементарной частицы тела

P_{k =} γΔV_k (P ₌ γV) подставить в формулу для определения r_C, имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S₁ и S₂ (S = S₁ + S₂). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Центры тяжести простейших фигур

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

DM = MB, CM = (1/3)AM.

2 Дуга окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y_C = 0.

dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,

x_C = R(sinα/α).

3 Круговой сектор

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:

14. Способы задания движения точки.

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

15. 1.2 Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt:

средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Вычисление геометрического центра

Дано множество точек в R^2, нужно найти геометрический центр. Допустим, геометрический центр задан как точка в которой сумма расстояний от данной точки до каждой из данных точек минимальна.

Какие есть алгоритмы для поиска оптимального центра при данном определении? Что гуглить?

Сложить все координаты и поделить на количество точек.

Вот это гуглить.

А чего там думать-то? Расстояние до фиксированной точки — выпуклая функция, значит, сумма таких расстояний до разных точек — тоже выпуклая функция, значит, локальный минимум автоматически будет глобальным. А локальный минимум искать — как нефиг делать, ткнул куда угодно, и спускаешься в сторону отрицательной производной.

сумма расстояний от данной точки до каждой из данных точек минимальна
Что гуглить?

Многомерная глобальная оптимизация. Но, как сказал Miguel , тут локальный минимум будет и глобальным, поэтому это просто задача безусловной двухмерной оптимизации.

Это все нужно, если искать центр тяжести, когда нужно найти минимум суммы квадратов расстояний. А ТС просит минимум суммы расстояний, а тут просто сложить и поделить достаточно будет, как фроб сказал.

Но скорее всего ТС сам не знает, чего ему надо.

Но скорее всего ТС сам не знает, чего ему надо.

Это почти наверняка.

Здесь уже зависит от того, что за фигура. В простейшем случае можно вычислить центр тяжести. В более сложных — придется поизвращаться.

P.S. Плохо ТЗ прочитал. Если центр — точка с минимумом расстояний до краев фигуры, нужно погуглить методику определения центра выпуклой оболочки. Грубо говоря, строим конусы с вершиной в 90° на всех точках, расположенных на границе фигуры. Их пересечение внутри фигуры даст эдакую область, ограничивающую искомый центр. «Глубина» на конусе будет являться расстоянием от искомой точки до соответствующей точки края фигуры.

Где-то в литературе я натыкался на искомый автором алгоритм, но не могу припомнить, увы.

мне кажется вам нужно просто найти границы вашей фигуры(min,max по X и по Y) и найти центр прямоугольника — он и будет центром фигуры(хотя я мог неправильно прочитать задачу)

Господи, открой им глаза.

Дано множество точек в R^2, нужно найти геометрический центр. Допустим, геометрический центр задан как точка в которой сумма расстояний от данной точки до каждой из данных точек минимальна.

сумма всех расстояний является «выпуклой». А значит, что любой численный метод будет однозначно сходиться.

Заюзай например fminsearch из octave.

А ТС просит минимум суммы расстояний, а тут просто сложить и поделить достаточно будет, как фроб сказал.

если просто среднее считать, то получишь точку (7.8250,4.8800) и расстояние 102.90

а если считать как нужно, то будет точка (8.0,5.0) и расстояние 102.62

красным плюсиком отмечено среднее арифметическое, а крестиком отмечена оптимальная точка. треугольнички — это собсно заданные точки. (на круг и кружочек внимания можно не обращать)

Гуглить: выкуклая оболочка, эрозия и дилатация…

это к сабжу отношения не имеет.

Среднее не катит даже в одномерном случае: x = 0 1 5, среднее будет 2. Сумма расстояний = 6 = |0-2| + |1-2| + |5-2|, но |0-1| + |1-1| + |5-1| = 5.

Поделить статический момент инерции на площадь фигуры http://sopromat.org/info/1/1_1_.php. Правда это будет центр тяжести сечения, но он ЕМНИП совпадает с геометрическим.

Угу. сообразил уже. Спасибо.

о будет центр тяжести сечения, но он ЕМНИП совпадает с геометрическим.

это то же среднее арифметическое => не катит.

А главное, находят же еще что обсудить после, казалось бы, исчерпывающего ответа. Там же даже какая-то итерационная формула приведена (хотя, если честно, не совсем понятно, почему там не метод Ньютона).

Если фигура сложная, проще сделать графическими методами, нежели аналитическими.

Если фигура сложная, проще сделать графическими методами, нежели аналитическими.

зависит от сложности. если в фигуре есть полости, то графичесий метод неизбеэжно будет перерождаться в аналитический 🙂

ну и чтобы найти оптимальную точку в любом случае надо численными методами приближать. «графическим» ты лишь стартовую точку хорошую найдешь.

Но так как целевая функция дважды дифференцируема, то сходимость должна быть быстрой. А поэтому можно сразу аналитические метода запускать.

Ну, не знаю, сколько потребуется времени, чтобы перебором найти искомую точку, если твоя выпуклая оболочка базируется, скажем, на десятке миллионов точек.

почитал ссылки повнимательней. Там какая-то жесть 🙂 Может и можно как-то присобачить к сабжу, но зачем? 🙂

Затем, что если у тебя, скажем, сотня-другая точек, то аналитический метод — самое оно, а когда их миллионы или даже миллиарды, быстрее будет геометрическим. При желании можно потом уточнить положение упрощенным аналитическим.

Ну, не знаю, сколько потребуется времени, чтобы перебором найти искомую точку, если твоя выпуклая оболочка базируется, скажем, на десятке миллионов точек.

если эффективность графического метода хотя бы меньше O(n^3), то да.

спорить конечно не буду, так как я про предложенные тобой методы ничего не знаю.

кстати, кроме всего прочего можно же еще точки кластеризовать. Допустим у тебя миллион, а ты кластеризуешь по тысяче. Полученную точку юзаешь как стартовую для кластеров по сотне. И т.д.