Какое число больше в периоде или рациональное

Периодические дроби с примерами решения

Каждое рациональное число является действительным числом, а поэтому может быть записано в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной. Хорошо известно, как это делается, когда

Применим теперь этот метод обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу Для этого разделим

Таким образом,

Бесконечная дробь, стоящая в правой части этого равенства, содержит периодически повторяющуюся группу цифр 72. Эта группа цифр называется периодом дроби, а сама дробь — периодической. При записи таких дробей период заключают в скобки и пишут один раз:

(Читается: «Одна целая семьдесят два в периоде».)

Еще один пример:

(Читается: «Нуль целых восемь десятых шестьдесят три в периоде».)

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы получаем бесконечную десятичную дробь. Поэтому конечные десятичные дроби тоже считаются периодическими с периодом 0. (При делении двух натуральных чисел не могут получиться дроби с числом 9 в периоде, поэтому в школьном курсе алгебры их не рассматривают.)

Приведенные примеры дают возможность догадаться, что каждое рациональное число записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Чтобы в этом убедиться, заметим, что для обращения обыкновенной дроби в десятичную мы на каждом шаге остаток от деления (он был равен либо 8, либо 3) умножали на 10 и делили на 11. Но при делении на 11 вообще возможны лишь 11 различных остатков. Значит, на каком-то шаге остаток обязательно повторится (в нашем примере это случилось на третьем шаге), и поэтому в результате деления должна получиться периодическая дробь.

Наоборот, каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Каждую периодическую десятичную дробь можно рассматривать либо как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, либо как сумму конечной десятичной дроби и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это позволяет представлять периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.

Пример №1

Обратить в обыкновенную дробь число:

Решение:

Таким образом, число 0,(7) есть — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии где

Значит,

б)

Сумму, стоящую в скобках, обозначим буквой S. Тогда есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Значит,

Ответ:

Изучением периодических дробей занимался великий немецкий математик К- Ф. Гаусс (1777—1855). Уже в детстве он делил единицу на все подряд простые числа р из первой тысячи. При этом Гаусс подметил, что, начиная с какого-то места, десятичные знаки начинают повторяться, т. е. получаются периодические десятичные дроби. А периоды некоторых дробей достигали нескольких сотен десятичных знаков. Рассматривая эти примеры, Гаусс установил, что число цифр в периоде всегда является делителем числа

Пример №2

Найти значение выражения:

Решение:

Обратив каждое из чисел в обыкновенную дробь (см. пример 1), получим:

Ответ:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей: правила, примеры, решения

В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.

Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.

На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.

То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.

Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.

Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0 , то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = … . Или: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа — значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.

К примеру, десятичной дроби 0 , 7 соответствует обыкновенная дробь 7 10 . Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0 , 70 , которой соответствует обыкновенная дробь 70 100 , 7 · 70 100 : 10 . Т.е.: 0 , 7 = 0 , 70 . И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0 , 70 нуль справа, получаем дробь 0 , 7 – таким образом, от десятичной дроби 70 100 мы переходим к дроби 7 10 , но 7 10 = 70 : 10 100 : 10 Тогда: 0 , 70 = 0 , 7 .

Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.

Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.

Данное определение позволяет сделать следующие выводы:

— если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0 , 21 ( 5423 ) и 0 , 21 ( 5423 ) равны;

— если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0 , а вторая – 9 ; значение разряда, предшествующего периоду 0 , на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9 , то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби 91 , 3 ( 0 ) и 91 , 2 ( 9 ) , а также дроби: 135 , ( 0 ) и 134 , ( 9 ) ;

— две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8 , 0 ( 3 ) и 6 , ( 32 ) ; 0 , ( 42 ) и 0 , ( 131 ) и т.д.

Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.

Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.

Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.

Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6 , 73451 … и 6 , 73451 … равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6 , 73451 и 6 , 7345 . Дроби 20 , 47 … и 20 , 47 … равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби 20 , 47 и 20 , 47 и так далее.

Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6 , 4135 … и 6 , 4176 … или 4 , 9824 … и 7 , 1132 … и так далее.

Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров

Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.

Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.

Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.

Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.

Необходимо сравнить десятичные дроби: 7 , 54 и 3 , 97823 … .

Решение

Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: 7 и 3 . Т.к. 7 > 3 , то 7 , 54 > 3 , 97823 … .

Ответ: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.

Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.

Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0 , 65 и 0 , 6411 .

Решение

Очевидно, что целые части заданных дробей равны ( 0 = 0 ) . Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны ( 6 = 6 ) , а вот в разряде сотых значение дроби 0 , 65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0 , 6411 ( 5 > 4 ) . Таким образом, 0 , 65 > 0 , 6411 .

Ответ: 0 , 65 > 0 , 6411 .

В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.

Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67 , 0205 и 67 , 020542 .

Решение

Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67 . Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67 , 020500 и 67 , 020542 . Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67 , 020542 больше, чем соответствующее в дроби 67 , 020500 ( 4 > 0 ) . Таким образом, 67 , 020500 < 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Ответ: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0 . Затем производится поразрядное сравнение.

Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6 , 24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6 , 240012 …

Решение

Мы видим, что целые части заданных дробей равны ( 6 = 6 ) . В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6 , 240000 … . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Ответ: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.

Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7 , 41 ( 15 ) и 7 , 42172 … .

Решение

В заданных дробях — равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2 . Тогда: 7 , 41 ( 15 ) < 7 , 42172 … .

Ответ: 7 , 41 ( 15 ) < 7 , 42172 … .

Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4 , ( 13 ) и 4 , ( 131 ) .

Решение:

Понятными и верными являются равенства: 4 , ( 13 ) = 4 , 131313 … и 4 , ( 133 ) = 4 , 131131 … . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1 . Тогда: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … , а 4 , ( 13 ) > 4 , ( 131 ) .

Ответ: 4 , ( 13 ) > 4 , ( 131 ) .

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами

Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.

Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.

Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9 , 3142 … .

Решение:

Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби ( 8 < 9 ) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Ответ: 8 < 9 , 3142 … .

Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5 , 6 .

Решение

Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5 , 6 .

Ответ: 5 < 5 , 6 .

Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3 , ( 9 ) .

Решение

Период заданной десятичной дроби равен 9 , а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: 3 , ( 9 ) = 4 . Таким, образом исходные данные равны.

Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:

— записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
— записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.

Необходимо сравнить десятичную дробь 0 , 34 и обыкновенную дробь 1 3 .

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Запишем заданную обыкновенную дробь 1 3 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0 , 33333 … . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0 , 34 и 0 , 33333 … . Получим: 0 , 34 > 0 , 33333 … , а значит 0 , 34 > 1 3 .
2. Запишем заданную десятичную дробь 0 , 34 в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 17 50 > 1 3 . Таким образом, 0 , 34 > 1 3 .

Ответ: 0 , 34 > 1 3 .

Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4 , 5693 … и смешанное число 4 3 8 .

Решение

Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 4 3 8 = 35 8 и

Т.е.: 4 3 8 = 35 8 = 4 , 375 . Проведем сравнение десятичных дробей: 4 , 5693 … и 4 , 375 ( 4 , 5693 … > 4 , 375 ) и получим: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

dying_sphynx

Как-то сидели мы с martreya , iiryna и deadvom в пиццерии и мне почему-то пришёл в голову вопрос, который я позже задавал в анкете:

Равны ли числа 0,(9) и 1?

Вопрос этот, наверное, несколько странный и многих, особенно нематематиков, может удивить и ответа на него не будет.
Мне здесь хочется немного прояснить свои и не только свои соображения по этому поводу. Начну издалека.

Как мы знаем, число — это одно из основополагающих понятий математики, мир чисел постоянно пополнялся на протяжении развития человечества. В первом классе мы изучали самые первые числа: 1, 2, 3. Эти числа называются натуральными, и их множество обозначается буквой N. В рамках этих чисел можно отлично выполнять операции сложения и умножения. Если же мы захотим применять вычитание, то из подсознания выплывает фраза вроде «Из 2 яблок нельзя вычесть 4» или что-то в этом духе. Таким образом, мы получаем какие-то ограничения, которые расширяются введением отрицательных чисел. Множество всех отрицательных и положительных чисел называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z. В рамках этих чисел отрицание уже выполняется без всяких проблем (2 — 4 = -2).

Следующей общеизвестной арифметической операцией является деление. Если поделить 1 на 2, то получится число не из множества целых чисел. Таким образом, снова придётся расширять известные числа, чтобы вместить результаты и этой операции. Числа которые представимы в виде частного, то есть дроби m / n (m — числитель, n — знаменатель) — называются рациональными числами (множество Q). По своей сути, дроби — это как раз и есть рациональные числа, то есть обыкновенная дробь представляет собой частное, а результат деления числителя на знаменатель и есть рациональное число. Опять же, вспомнинаем школу и на ум приходят задачи типа «сложить треть яблока с половиной яблока» и некоторые проблемы, возникающие при сложении дробей. Проблема состояла в том, что их надо было приводить к общему знаменателю (то есть 1/3 + 1/2 = 3/6 + 2/6 = 5/6), поскольку складывать без проблем можно было только дроби с одинаковым знаменателем. Соответственно, для того, чтобы от этих проблем избавиться, и из-за того, что у нас принята десятичная система счисления, были введены десятичные дроби. То есть такие дроби, у которых знаменатель — какая-то степень 10, то есть 3/10, 12/100, 13/1000 и т.д. Записывают их либо с запятой как у нас — (2,34) , либо с точкой, как принято на Западе (2.34).

Возникает вопрос: «а как перевести обычные дроби в десятичные?». Вспоминая деление уголком, можно набросать нечто такое:

Если говорить формально — то задача перевода из обычной дроби в десятичную представляет собой задачу нахождения такой наименьшей степени десятки, которая будет делиться на знаменатель заданной обычной дроби. То есть например для перевода дроби 3 / 8: берём знаменатель 8 и перебираем степени 10 до тех пор, пока какая-то степень 10 не станет делиться на 8: 10 не делится, 100 не делится, а вот 1000 делится (1000 / 8 = 125), значит 3 / 8 = 375 / 1000 = 0,375.
Однако, что делать, если такой степени не находится или в случае деления уголком — процесс не заканчивается? Например, попробуем поделить 1 на 3:

Как мы видим — процесс через некоторое время зацикливается — то есть повторяются те же остатки, и мы точно знаем, что следующие цифры будут повторять предыдущие.
Таким образом имеем, что:

Терпение, мы уже близки к ответу на вопрос 🙂 Для того, чтобы отразить тот факт, что тройка в десятичной записи числа 1/3 повторяется и не писать троеточий — было введено специальное обозначение 0,(3). Часть в скобках называется «периодом» дроби, то есть бесконечно периодически повторяющейся частью дроби, а сама дробь — периодической. Таким образом, запись дроби с периодом является лишь иной формой записи обычного рационального числа, возникающей при переходе к конкретной системе счисления (в нашем случае десятичной) и период появляется, если в разложении на простые множители знаменателя уже сокращённой дроби присутствуют сомножители, на которые не делится основание системы счисления (например 6 = 2 * 3, 10 не делится на 3, потому у дроби 1/6 есть период в десятичной системе счисления). Кроме того, можно показать, что любая периодическая дробь является рациональным числом (то есть числом вида m / n), всего лишь представленным в альтернативном виде.

Таким образом можно смело записать что 0,(3) = 1/3, поскольку это одно и то же число, записанное различным образом. Соответственно, умножив на 3 каждую из частей уравнения, мы получаем, что 0,(9) = 1. Такое доказательство немного напоминает магию, однако всё дело в том, что по сути не существует чисел, разделив столбиком которые, мы могли бы получить число 0,(9) так, как мы получили 0,(3) разделив 1 и 3. Так что можно и усомниться в праве на существования у этого числа. Однако было бы нецелостно и математически нестрйоно отказываться от периодической формы записи в том случае, если число в периоде — 9, то есть 0,(9) или 1,(9) и т.д.
Поэтому число 0,(9) в данный момент вполне признано и является лишь альтернативной, неудобной и ненужной формой записи числа 1.

Как мы видим, определение периодических дробей не имеет никакого отношения к рядам, анализу бесконечно малых величин, пределам и тому подобным вещам, преподаваемым в высшей школе.
Резюмируя, можно сказать, что данная форма записи является всего лишь артефактом, вызванным применением конкретных систем счисления (в нашем случае десятичной системы). Насколько мне известно, некоторые математики (которых цитировал в одной из своих статей весьма известный Д. Кнут) ратуют за упразднение таких двузначных и спорных представлений чисел как 0,(9) и некоторых других.

Надеюсь, что объяснения были вполне понятными и интересными. Все возникшие вопросы, замечания и исправления — буду рад видеть в комментариях!

Урок 6. Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби.

Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Любое положительное рациональное число

преобразуется в положительную дробь.

Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».

Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде?

Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби.

Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.

Знаменатель 9 = 3 3

5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.

Разделим числитель 5 на знаменатель 9.

Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…,

точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.

Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Читают: « ноль целых и пять в периоде».

Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).

Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.

Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).

Рассмотрим ещё пример.

Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.

Делим уголком 4 на 15.

читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».

(6) ‑ период дроби.

В примерах мы увидели разные периодические дроби.

Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».

Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q

Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)

0,673 = 0,673000 = 0,673(0).

Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.

Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.

Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q

Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.

Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5

В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.

Будем делить уголком 15 на 13.

Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:

Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.

Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.

Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство

Умножим это равенство на 10, получим

Вычтем из равенства (2) равенство (1).

Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)