Что такое sec x

Секанс

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Содержание

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Синусом называется отношение

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
- Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
- Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
- Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
- Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
- Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
- Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

$\frac<d^2><d\varphi^2>R(\varphi) = — R(\varphi),» width=»» height=»» /> </p> <p>с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1 , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:</p> <p> <img decoding=$ $\ \sin$

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений: $\left\< \begin<array> <rcl>f(x+y)&amp;=&amp;f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&amp;=&amp;g(x)f(y)+f(x)g(y) \end <array>\right. » width=»» height=»» /></p> <h4>Определение тригонометрических функций через ряды</h4> <p>Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:</p> <p><img decoding=$ 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π) $\sin \alpha \,\!$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac<1><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<2>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<3>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<-1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> </tr> <tr align=center> <td style=$ $\cos \alpha \,\!$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<3>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<2>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac<1><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<-1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></table> <h4>Значения тригонометрических функций нестандартных углов</h4> <p><img decoding=$

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

$1 + \mathop<\mathrm<tg>>\,^2 \alpha = \frac<1>< \cos^2 \alpha>, \qquad \qquad \,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,$ $\mathop<\mathrm<tg>>\, \left( — \alpha \right) = — \mathop<\mathrm<tg>>\, \alpha \,,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\mathop<\mathrm<cosec>>\, \left( — \alpha \right) = — \mathop<\mathrm<cosec>>\, \alpha \,.» width=»» height=»» /></p> <h4>Периодичность</h4> <p>Функции <i>y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α</i> — периодические с периодом <i>2π</i>. Функции: <i>y = tg α, y = ctg α</i> — c периодом <i>π</i></p> <h4>Формулы приведения</h4> <p><img decoding=$ $f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha)$ $f ( \frac<(2n+1) \pi> <2>+ \alpha) = \pm g (\alpha)» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\cos(\alpha \pm \beta)= \cos( \alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

$\sin x = \frac<\sin x> <1>= \frac<2\sin \frac<x><2>\cos \frac<x><2>><\sin^2 \frac<x> <2>+ \cos^2 \frac<x><2>> =\frac <2\operatorname<tg>\frac<x><2>><1 + \operatorname<tg>^2 \frac<x><2>>» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

$( \cos x )$

$( \mathop<\mathrm<tg>>\, x )» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

$( \operatorname</p> <p>Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:</p> <p><img decoding=$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\mathop<\mathrm<tg>>\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

Также секанс определяется через прямоугольный треугольник.

Свойства секанса

Область определения секанса: x∈(-∞;π/2+ πn)∪(π/2+ πn, +∞), n∈Z (множество действительных чисел за исключением точек, абсциссы которых равны π/2+ πn, n∈Z (так как в точках х= π/2+ πn функция косинус равна нулю)).

Через точки оси абсцисс, не входящие в область определения функции (х= π/2+ πn n∈Z), проходят вертикальные асимптоты графика.

Область значений секанса: y∈(-∞;-1]∪ [1, +∞) (множество действительных чисел от минус бесконечности до минус единицы включительно и от единицы (включительно) до плюс бесконечности).

Область значений секанса следует из области значений косинуса. Так как –1 ≤ cosx ≤ 1, то, справедливо неравенство |sec x|≥1. Следовательно, секанс является неограниченной функцией.

Периодичность секанса

Секанс – периодическая функция (период секанса равен 2π), что также вытекает из периодичности косинуса:

Четность секанса

Секанс – четная функция, так как косинус – четная функция:

Точки пересечения с осями координат
- с осью ОХ: функция секанс не пересекает ось абсцисс.
- с осью OY: точка — (0;1)
Монотонность секанса

Секанс убывает на:

Секанс убывает в III и IV четвертях тригонометрического круга.

Секанс возрастает на:

Секанс возрастает в I и II четвертях тригонометрического круга.

Обратная к секансу функция – арксеканс.

Локальные экстремумы секанса:

Точки локального минимума секанса:

При значениях x:

Получаем следующее значение y:

Точки локального максимума секанса:

При значениях x:

Получаем следующее значение y:

Производная секанса

Вывод производной секанса можно посмотреть в теме: Производные тригонометрических функций.

Так как знаменатель дроби всегда больше или равен нулю (квадрат любого числа – число неотрицательное), то на знак производной оказывает влияние знак числителя.

Т.е. производная будет меньше нуля там, где синус меньше нуля. Следовательно, функция секанс будет убывать, там, где синус меньше нуля: III и IV четвертях тригонометрического круга.

Производная больше нуля, там где синус больше нуля. Следовательно, функция секанс будет возрастать там, где синус больше нуля: I и II четвертях тригонометрического круга

Производная секанса будет равна нулю, когда синус равен нулю.

В точках, в которых производная равна нулю расположены экстремумы секанса.

Секанс, косеканс и котангенс: что это такое?

Тригонометрические отношения секанс, косеканс и котангенс противоположны причинам косинус, синус и тангенс . Изучение тригонометрии в тригонометрический цикл получил большой вклад в развитие обратных функций

Отношение обратного синуса (sin x) известно как косеканс (cossec x), отношение обратного косинуса (cos x) известен как секанс (sec x), а обратное отношение тангенса (tg x) известно как котангенс (cotg Икс). Они могут быть представлены:

Читайте тоже: 4 самых совершаемых ошибки в базовая тригонометрия

Инструменты, используемые для изучения тригонометрии.

косеканс

Известно как тригонометрическое соотношение обратный синус, косеканс установлен на углы с ненулевым синусом. Чтобы найти косеканс угол x, нам просто нужно вычислить значение, обратное его синусоиде.

Пример

Рассчитайте значение cossec 60º.

Косеканс в тригонометрическом цикле

При изучении тригонометрии коэффициент косеканса связан с тригонометрический цикл , который представляет собой круг радиуса 1. Чтобы найти косеканс угла геометрически, зная угол x, проведем касательную к точке B прямую t. Косеканс x будет

Трек AC — косеканс угла x.

Условие существования косеканса

Поскольку мы видели, что значение косеканса — это отрезок, который соединяет центр окружности с точкой, где касательная линия касается вертикальной оси, мы понимаем, что есть три угла, где нет определенного косеканса, так как касательная не касается вертикальной оси.

Косеканс для углов 0º, 180º и 360º. Давайте вспомним, что при этих углах значение синуса равно нулю, алгебраически мы будем вычислять деление 1 на ноль, что невозможно.

Для углов 0 °, 180 ° и 360 ° косеканс отсутствует.

косекансный знак

В представлении цикла можно увидеть, что для углов больше, чем 0º и меньше 180º косеканс всегда будет положительным.. для углов выше 180º знак косеканса будет отрицательным, то есть косеканс положительный в 1-м и 2-м квадрантах и отрицательный в 3-м и 4-м квадрантах.

Смотрите также: Приведение к первому квадранту тригонометрического цикла

сушка

известный как косинус обратное тригонометрическое отношениесеканс определен для углов, косинус которых отличен от нуля. Чтобы найти секанс угла x, нам просто нужно вычислить значение, обратное его косинусу.

Пример:

Рассчитайте 45 ° сек.

Секанс в тригонометрическом цикле

Чтобы найти секущую угла геометрически, зная угол x, проведем прямую t, касательную к точке B. Секанс x будет отрезок, соединяющий центр с точкой, где прямая t пересекает Горизонтальная ось, представленный компакт-диском на изображении.

Дорожка CD — это секанс угла x.

Условие существования секущей

С геометрической точки зрения секущая для углов 90 ° и 270 ° отсутствует, поскольку в этих точках прямая t не касается оси. по горизонтали и алгебраически, потому что значение косинуса 90 ° и 270 ° равно нулю, а деление 1 на ноль равно невозможно.

секущий знак

Для углов больше 0 ° и меньше 90 ° и для углов больше 270 ° и меньше 360 ° секущая всегда будет положительной. Для углов больше 90 ° и меньше 270 ° знак секущей будет отрицательным, то есть секанс положительный в 1-м и 4-м квадрантах и отрицательный во 2-м и 3-м квадрантах.

Смотрите также: Приложения тригонометрических законов треугольника: синус и косинус

Котангенс

известный как обратное тригонометрическое соотношение касательная , котангенс определен для углов, тангенс которых не равен нулю. Чтобы найти котангенс угла x, нам просто нужно вычислить значение, обратное его тангенсу.

Пример:

Рассчитайте 30º cotg.

Котангенс в тригонометрическом цикле

Чтобы представить котангенс, проведем линию p, параллельную горизонтальной оси в точке A. Затем при построении угла x мы проводим линию r, которая проходит через центр C и точку B, чтобы найти точку E, которая является точкой встречи между прямыми p и r. Трек AE будет котангенсом угла x.

Отрезок AE — котангенс x.

Условие существования котангенса

котангенс не существует для углов, тангенс которых равен нулю, которые представляют собой углы 0º, 180º и 360º. Геометрически при этих углах прямая r будет иметь вид параллельный a p, поэтому у них нет общей точки, что делает невозможным проследить отрезок AE.

знак котангенса

Знак котангенса положительный для углов больше 0 ° и меньше 90 °, а также для углов больше 180 ° и меньше. чем 270º, и отрицателен для углов больше 90º и меньше 180º, а также для углов больше 270º и меньше 360º. Итак, котангенс положительный для 1-го и 3-го квадрантов (нечетный) и отрицательный для 2-го и 4-го квадрантов (четный).

Решенные казни

Вопрос 1 — Тригонометрические функции cotg x и sec x во втором квадранте имеют изображения, соответственно:

а) положительный и положительный

б) отрицательный и отрицательный

в) положительный и отрицательный

г) отрицательный и положительный

разрешение

Анализируя поведение каждой из функций, можно увидеть, что котангенс положительный в нечетных квадрантах и отрицательный в четных квадрантах, поэтому он будет отрицательным во 2-м квадранте. Секущая функция положительна в первом и четвертом квадрантах и отрицательна во втором и третьем квадрантах, поэтому она также будет отрицательной.

вопрос 2 — Зная, что x = 90º, значение выражения:

разрешение

Подставляя x = 90º, получаем:

Теперь давайте отдельно вычислим каждое из тригонометрических соотношений:

Вычислив каждый из них, можно подставить в выражение:

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа — https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm

Современная физика: что это такое, открытия и теория относительности

Что такое современная физика?ФизикаСовременный обозначает новые концепции физики, разработанные в.

Нетрадиционные пищевые растения (PANC)

Многие растения считаются неиспользованными населением, только идентифицированы как куст, вредите.

Ящур: что это такое, причина, симптомы и лечение

THE ящур это болезнь, вызванная вирус, что, вопреки мнению многих, влияет не только на крупный ро.

Вычислить секанс (sec) угла онлайн калькулятор

Секанс — это тригонометрическая функция, равная отношению гипотенузы к катету, прилежащему к углу в прямоугольном треугольнике.

значение x может быть в градусах или радианах

Смотрите также калькулятор перевода градусов в радианы.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления секанса. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить секанс любого угла в градусах и радианах.
Похожие публикации: