Почему сумма всех натуральных чисел равна -1/12: изящная красота математики
Научный журналист, химик. Победитель VIII Всероссийского конкурса инновационной журналистики Tech in Media 2019.
Думаете, что если сложить все натуральные числа, то получится бесконечность? Индийский математик еще в начале века показал, что эта сумма будет равна -1/12. Погрузимся в дебри математики и разберемся, что не так с этим значением
Натуральные числа представляют собой целые положительные числа от единицы и до бесконечности. Сумма таких чисел представляет собой классический расходящийся ряд, бесконечная сумма которого должны быть равна бесконечности. Однако существуют способы присвоить сумме этого ряда конечное значение. Но как вычислить сумму натуральных чисел?
Способы посчитать сумму всех натуральных чисел
Считать сумму расходящихся рядов математики научились еще в XIX веке. Так, например, метод суммирования по Чезаро помог найти сумму знакочередующегося ряда Гранди, который представляет собой последовательность «1-1+1-1+1-. ». Эта сумма оказалась равна 1/2. Метод Абеля, разработанный позже, позволяет считать и более сложные ряды, такие как «1-2+3-4+. ». Согласно ему, сумма такого ряда будет равна 1/4. Но ни один из этих методов не позволяет посчитать сумму всех натуральных чисел.
Итак, откуда же нам тогда известно, что сумма натуральных чисел равна -1/12? Все благодаря трудам нескольких гениальных математиков, именами которых и названы ряды и функции, о которых мы поговорим ниже. Для того, чтобы вычислить сумму натуральных чисел есть метод, который называется регуляризацией дзета-функции Римана. Дзета-функция Римана представляет собой функцию от комплексного переменного s, которая определяется рядом Дирихле.
Вычислить сумму натуральных чисел при помощи дзета-фукнции
Значение дзета-функции от s равно бесконечной сумме ∑n -s , где суммирование происходит по n от 1 до бесконечности. Если мы возьмем значение дзета-функции от -1, значение членов ряда станет равным натуральным числам: 1 -1 = 1, (1/2) -1 = 2, (1/3) -1 = 3. Дзета-функция от -1 в этом случае равна 1 + 2 +3. то есть сумме всех натуральных чисел.
График мнимой и вещественной части дзета-функции можно увидеть на рисунке ниже. Используя соотношение между дзета-функцией Римана и эта-функцией Дирихле можно довольно легко вычислить значение первой. В результате получается, что дзета-функция Римана от -1 равна -1/12. Такое значение получается благодаря тому, что из плоскости вещественных чисел мы переходим в комплексную плоскость. Таким образом, вычислить сумму натуральных чисел при помощи такого метода оказывается довольно просто.
Почему ряд натуральных чисел равен 1 12
+7 926 604 54 63 address
1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2
2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4
Натуральные числа
Натуральные числа — последовательность 1, 2, 3, 4, 5…, с помощью которой человечество считает предметы. Казалось бы, нет ничего проще натурального числа, но ряд натуральных чисел таит в себе сложнейшие проблемы и парадоксы. Кроме того, к натуральным числам сводится вся остальная математика. Математики любят обозначать множество натуральных чисел как N (чаще — ℕ). Интересно, что в российской традиции ряд натуральных чисел начинают с 1, а на «загнивающем западе» — с нуля, но это большого значения для теории не имеет.
Содержание
Исторический экскурс [ править ]
Понятие о натуральных числах зародилось с глубокой древности, как только люди научились считать (впрочем, ученые полагают, что навыки счета есть и у животных, так что тут необходима человеческая способность к абстракции — чтобы было понятие числа, не привязанное ни к какому типу предметов).
Сразу скажем, что у натурального числа два предназначения — они показывают порядок следования занумерованных предметов, а также их количество (размер конечного множества).
Парадоксальность натуральных чисел, в том что их бесконечное число, а в реальности никакие бесконечности не наблюдаются (во Вселенной всё конечно). Поэтому натуральные числа — математический идеальный объект (впрочем, взявшийся из вполне реальных практических расчетов и попыток людей пересчитать всё, что есть под рукой: деньги, любовниц и любовников, количество выпитых рюмок спиртного, написанных викистатей и т. д. и т. п.). Их бесконечное количество, так как к любому числу всегда можно добавить еще единицу.
Натуральные числа можно складывать и перемножать. Но если вычесть из меньшего числа большее, получится уже не натуральное число. Также не всегда одно число делится нацело на другое (может получится дробное так называемое рациональное число).
Исторически свойства натуральных чисел изучались в рамках арифметики, которая имела дело с вопросами делимости, а также с более тонкими вещами, как например алгоритм Евклида, который можно рассматривать как алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Среди натуральных чисел стали выделять простые числа (простое — это натуральное число, большее 1, которое не делится ни на какое натуральное, кроме 1 и самого себя). Оказывается, любое натуральное число, большее 1, можно разложить в произведение простых чисел (и единственным образом с точностью до порядка сомножителей). Это называется основной теоремой арифметики. Всё это появилось еще в Древней Греции.
Уже древние научились записывать натуральные числа в позиционной системе счисления. Традиционно победила система счисления с основанием 10 по числу пальцев на двух руках (и в которой 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но программисты (и не только они), знают, что натуральные числа можно записывать и в двоичной системе счисления (то есть с помощью цифр 0 и 1, например, число 5 в двоичной системе счисления будет записано как 101, а число 16 будет 1000). Можно записывать числа в троичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе, да и вообще в системе с любым основанием в виде натурального числа, большего 1.
В Новое время появилась «высшая арифметика», связывающая тонкие арифметические вопросы с теоремами математического анализа и высшей алгебры. Сейчас эта наука называется «теория чисел».
Теория чисел, например, изучает как простые числа распределены в числовом ряду, какие натуральные числа можно представить в виде 4 квадратов и сколькими способами и т. д. и т. п.
Сумма всех натуральных чисел 1/12?
Как это работает, можете объяснить доступно для гуманитария? Нет ли жульничества в таких математических проделках?
А ты их больше слушай. «Для первой суммы мы не знаем где остановиться, возьмём среднее значение . », ну да, ну да. За такую фразу на экзамене уже бы на пересдачу отправили.
Как это работает, можете объяснить доступно для гуманитария?
Это называется расходящийся ряд. Во времена того же Эйлера с ними не умели толком работать (вернее, всем было просто плевать на формализм), поэтому его работы пестрят подобными перлами, за что над ним частенько теперь и посмеиваются (что зря, всё-таки).
Нет ли жульничества в таких математических проделках?
Разумеется, есть. Но более интересно то, что подобная ересь кое-где да находит место в физике. Но физиков вообще никогда не заботила математическая строгость.
классика жанра, почитайте про кризис математики и гёделя, там совсем тоска.
Только если кто-то читает на физфаке каком матан.
Смысл в том, что это работает только с теоретическими числами, то как они рассказывают. Если привязать любое число к вещественной материи: атомам, то 1: один атом, 5: пять атомов, 100500: стопятьсот атомов, то сумма всех атомов от 1 до бесконечности не известна. Её можно условно считать бесконечностью, но, ведь, и количество атомов во вселенной конечно (а точнее динамично, т.к. материя преобразуется в энергию, и наоборот). Поэтому такие ряды в физической привязке к материи не имеют практического значения. Наиболее верный ответ для вещественных чисел: сумма ряда вещ. чисел неизвестна и стремится к бесконечности.
никак это не работает. Любое наперёд заданное число можно получить даже для условно сходящегося ряда(путём изменения порядка членов). А уж для расходящегося ряда вообще можно получить что угодно. «Сумма расходящегося ряда» это вовсе не бесконечность, это деление на ноль.
Смысл в том, что это работает только с теоретическими числами
это и с теоретическими числами не работает. Это скорее описание поведения частных сумм, а не значение всей совокупности.
Наиболее верный ответ для вещественных чисел: сумма ряда вещ. чисел неизвестна и стремится к бесконечности.
и да, ты путаешь понятия «частичная сумма членов от первого до n-ного» и «сумма ряда». Это разные вещи.
Нет ли жульничества в таких математических проделках?
Конечно это жульничество. И ослу очевидно что этот ряд расходится и его сумма стремиться к бесконечности.
Вот мудозвоны:) Нет сил такое досмотреть до конца. Доказывает что сумма положительных чисел равна отрицательному числу и для проверки начинает складывать положительные числа с отрицательными. Если бы он так нагло жулил в карты на деньги, то ему бы давно уже руки порезали, а тут — уважаемый человек, математик, про теорию струн уши греет.
Сумма положительных чисел может стать отрицательным числом только при наличии бага в системе, например при переполнении переменной.
Как это работает, можете объяснить доступно для гуманитария?
Это называется «обобщённое суммирование». У расходящегося ряда нет определённой суммы, но иногда целесообразно присвоить расходящемуся ряду в соответствие некоторое число (способ получения этого числа называется «методом суммирования»), которое будет вести себя аналогично сумме сходящегося ряда — например, если ряд А имеет «сумму по методу М» равную Х, а ряд Б имеет сумму по этому же методу, равную У, то сумма рядов А и Б будет иметь «сумму по методу М» равную Х+У (чем в видео и пользуются, складывая ряды и деля их на число, собственно, в этом жульничество и есть — они забыли рассказать, что правомерность подобных действий для «сумм» расходящихся рядов доказывается отдельно).
Если интересно, какой в этом может быть смысл, то вот пример:
разложение в ряд Маклорена функции 1/(1+x)² для |x|<1 выглядит так
1/(1+x)² = 1 — 2x² + 3x³ — 4x⁴ …
если теперь устремим x к 1, то получим lim(x→1-0) 1 — 2x² + 3x³ — 4x⁴ … = ¼ — так получается вторая сумма из видео.
на 2:39 я схватился за голову, дальше этот бред не смотрел
Меня искренне удивляет твое желание свести все к программированию. В контексте темы почитай любой учебник математики для первого курса технического университета. Там примерно на первых трехстах страницах ты узнаешь о расходящихся рядах.
Сумма положительных чисел может стать отрицательным числом только при наличии бага в системе
Там какбэ не обычное суммирование же.
Меня искренне удивляет твое желание свести все к программированию.
В программирование умные дяди уже запихнули выжимку из реально полезной математики. Бывает ещё и потенциально полезная: ты позасыпай в голову тонны мусора, а мы тебе потом может быть и скажем для чего оно кроме простой тренировки IQ. Думаешь приятно удерживать в памяти тонны балласта?
В контексте темы почитай любой учебник математики для первого курса технического университета. Там примерно на первых трехстах страницах ты узнаешь о расходящихся рядах.
А почему только ваш способ идеально правильный и годящийся к применению человеками? В начале видео был показан классический лохотрон «каша из топора» в котором для получения нереального результата из имеющихся девайсов, различными мозготрахательными способами добавляется куча «левых» сущностей, а потом начинается жонглирование, тасование напёрстков под разновидности мантры «крэкс пэкс фэкс» и получение «волшебным» способом нужного результата. В начале учебника разве описан метод «каша из топора» применительно к математике? Если его там или в предыдущих учебниках нет, то это как бы подозрительно.
Сумма положительных чисел может стать отрицательным числом только при наличии бага в системе