Как доказать что пятиугольник вписан в окружность

Вписанные многоугольники

В основном курсе геометрии доказывается, что около всякого треугольника можно описать окружность. Оказывается, для четырехугольников это уже не имеет место.

Теорема 5. Около четырехугольника можно описать окружность, тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, около которого описана окружность (рис. 19, а). Докажем, что ?B + ?D = 180°. Действительно, эти углы измеряются половинами соответствующих дуг ADC и ABC, которые вместе составляют всю окружность. Следовательно, сами углы в сумме измеряются половиной дуги окружности, т.е. их сумма равна 180°.

Обратно, пусть в четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°. Через вершины A, B, C проведем окружность. Предположим, что эта окружность не проходит через вершину D (рис. 19, б). Обозначим точку пересечения окружности с прямой AD через D’. Тогда четырехугольник ABCD’ вписан в окружность и, следовательно, ?B +?D’=180°. Но по условию ?B +?D = 180°. Поэтому ?D =?D’, что невозможно, так как прямые DC и D’C не являются параллельными. Полученное противоречие показывает, что окружность, проходящая через точки A, B и C должна пройти и через точку D.

Теорема 6. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, в который вписана окружность, касающаяся его сторон в точках M, N, P, Q (рис. 20, а). Дока­жем, что AB + CD = BC + AD. Действительно, из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки следуют равенства: AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ. Поэтому, AB + CD = AM + MB + CP + PD = AQ + QD + BN + NC = AD + BC.

Обратно, пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется равенство AB + CD = BC + AD. Покажем, что в него можно вписать окружность. Для этого достаточно проверить, что биссектрисы углов этого четырехугольника пересекаются в одной точке. Эта точка будет равноудалена от всех сторон четырехугольника и, следовательно, будет центром искомой вписанной окружности. Если в данном четырехугольнике выполняется равенство AB=BC, то этот четырехугольник ромб. Ясно, что биссектрисы углов ромба пересекаются в одной точке — точке пересечения его диагоналей. Пусть ABBC. Предположим для определенности AB > BC (рис. 20, б). Из условия AB + CD = BC + AD следует, что AB — BC = AD — CD. Возьмем на AB точку E так, что BE=BC. Тогда AE = AB-BC. Возьмем на AD точку F так, что DF=DC. Тогда AF = AD — CD. Следовательно, AE=AF.

Треугольники AEF, BCE, CDF — равнобедренные. Поэтому биссектрисы углов A, B, D являются серединными перпендикулярами к отрезкам EF, EC, CF. Следовательно, они пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной около треугольника EFC. Эта точка будет равноудалена от всех сторон исходного четырехугольника, т.е. будет искомым центром вписанной окружности.

Теорема Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность, утверждает, что произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Мы докажем более сильную теорему.

Теорема 7. Произведение диагоналей произвольного четырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается только в случае четырехугольника, вписанного в окружность.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник. Воспользуемся инверсией с центром в точке A и радиусом R (рис. 21). Напомним, что при инверсии точкам X, отличным от A, сопоставляются точки X’ на луче AX, для которых При этом окружности, не проходящие через точку A, переходят в окружности, а окружности, проходящие через точку A, за исключением самой точки A, переходят в прямые.

Пусть точки B, C и D переходят соответственно в точки B’, C’ и D’. Тогда треугольники ABC и A’C’B’, ADC и AC’D’, ABD и AD’B’ подобны и, следовательно, имеют место равенства

Складывая почленно эти равенства, получим

Следовательно, имеет место неравенство

При этом, равенство достигается только в случае, когда точки B’, C’, D’ принадлежат одной прямой. Это выполняется только в случае, если точки B, C, D принадлежат окружности, проходящей через точку A.

Рассмотрим теперь пятиугольники, вписанные в окружность.

Теорема 8. Сумма любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника больше 180°.

Доказательство следует из того, что углы A и C пятиугольника ABCDE опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE (рис. 22).

Естественный вопрос, который возникает после этого — является полученное условие достаточным для того, чтобы около пятиугольника можно было описать окружность?

Пример такого пятиугольника легко построить. Возьмем какой-нибудь вписанный пятиугольник ABCDE (рис. 23) и, продолжая две его стороны, построим пятиугольник ABCD’E’ так, чтобы сторона D’E’ была параллельна DE. Тогда углы этого пятиугольника будут равны углам исходного, и около него нельзя описать окружность.

Поставим другой вопрос, связанный с достаточным условием вписанности пятиугольника. Пусть ABCDE — пятиугольник, сумма любых двух несмежных углов которого больше 180°. Существует ли пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность?

Прежде чем ответить на этот вопрос выразим углы между диагоналями вписанного пятиугольника ABCDE, выходящими из одной вершины через углы самого пятиугольника.

Легко видеть, что ?CAD = ?B + ?E — 180°. Аналогичным образом выражаются и другие углы (рис. 24).

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Для ответа на него рассмотрим какую-нибудь окружность и разделим ее на дуги, равные удвоенным углам между диагоналями исходного пятиугольника, выходящим из одной вершины. Концы этих дуг будут вершинами искомого пятиугольника вписанного в окружность.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 9. Для произвольного пятиугольника ABCDE, суммы любых двух несмежных углов которого больше 180°, существует пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность.

Ситуация с вписанными в окружность семиугольниками, девятиугольниками и т. д. аналогична рассмотренной ситуации с пятиугольниками.

Для вписанных многоугольников с четным числом сторон ситуация аналогична ситуации с вписанным четырехугольником.

Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников .

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Как доказать что пятиугольник вписан в окружность

В основном курсе геометрии доказывается, что около всякого треугольника можно описать окружность. Оказывается, для четырехугольников это уже не имеет место.

Теорема 5. Около четырехугольника можно описать окружность, тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, около которого описана окружность (рис. 19, а). Докажем, что ?B + ?D = 180°. Действительно, эти углы измеряются половинами соответствующих дуг ADC и ABC, которые вместе составляют всю окружность. Следовательно, сами углы в сумме измеряются половиной дуги окружности, т.е. их сумма равна 180°.

Обратно, пусть в четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°. Через вершины A, B, C проведем окружность. Предположим, что эта окружность не проходит через вершину D (рис. 19, б). Обозначим точку пересечения окружности с прямой AD через D’. Тогда четырехугольник ABCD’ вписан в окружность и, следовательно, ?B +?D’=180°. Но по условию ?B +?D = 180°. Поэтому ?D =?D’, что невозможно, так как прямые DC и D’C не являются параллельными. Полученное противоречие показывает, что окружность, проходящая через точки A, B и C должна пройти и через точку D.

Теорема 6. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, в который вписана окружность, касающаяся его сторон в точках M, N, P, Q (рис. 20, а). Дока­жем, что AB + CD = BC + AD. Действительно, из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки следуют равенства: AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ. Поэтому, AB + CD = AM + MB + CP + PD = AQ + QD + BN + NC = AD + BC.

Обратно, пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется равенство AB + CD = BC + AD. Покажем, что в него можно вписать окружность. Для этого достаточно проверить, что биссектрисы углов этого четырехугольника пересекаются в одной точке. Эта точка будет равноудалена от всех сторон четырехугольника и, следовательно, будет центром искомой вписанной окружности. Если в данном четырехугольнике выполняется равенство AB=BC, то этот четырехугольник ромб. Ясно, что биссектрисы углов ромба пересекаются в одной точке — точке пересечения его диагоналей. Пусть ABBC. Предположим для определенности AB > BC (рис. 20, б). Из условия AB + CD = BC + AD следует, что AB — BC = AD — CD. Возьмем на AB точку E так, что BE=BC. Тогда AE = AB-BC. Возьмем на AD точку F так, что DF=DC. Тогда AF = AD — CD. Следовательно, AE=AF.

Треугольники AEF, BCE, CDF — равнобедренные. Поэтому биссектрисы углов A, B, D являются серединными перпендикулярами к отрезкам EF, EC, CF. Следовательно, они пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной около треугольника EFC. Эта точка будет равноудалена от всех сторон исходного четырехугольника, т.е. будет искомым центром вписанной окружности.

Теорема Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность, утверждает, что произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Мы докажем более сильную теорему.

Теорема 7. Произведение диагоналей произвольного четырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается только в случае четырехугольника, вписанного в окружность.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник. Воспользуемся инверсией с центром в точке A и радиусом R (рис. 21). Напомним, что при инверсии точкам X, отличным от A, сопоставляются точки X’ на луче AX, для которых При этом окружности, не проходящие через точку A, переходят в окружности, а окружности, проходящие через точку A, за исключением самой точки A, переходят в прямые.

Пусть точки B, C и D переходят соответственно в точки B’, C’ и D’. Тогда треугольники ABC и A’C’B’, ADC и AC’D’, ABD и AD’B’ подобны и, следовательно, имеют место равенства

Складывая почленно эти равенства, получим

Следовательно, имеет место неравенство

При этом, равенство достигается только в случае, когда точки B’, C’, D’ принадлежат одной прямой. Это выполняется только в случае, если точки B, C, D принадлежат окружности, проходящей через точку A.

Рассмотрим теперь пятиугольники, вписанные в окружность.

Теорема 8. Сумма любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника больше 180°.

Доказательство следует из того, что углы A и C пятиугольника ABCDE опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE (рис. 22).

Естественный вопрос, который возникает после этого — является полученное условие достаточным для того, чтобы около пятиугольника можно было описать окружность?

Пример такого пятиугольника легко построить. Возьмем какой-нибудь вписанный пятиугольник ABCDE (рис. 23) и, продолжая две его стороны, построим пятиугольник ABCD’E’ так, чтобы сторона D’E’ была параллельна DE. Тогда углы этого пятиугольника будут равны углам исходного, и около него нельзя описать окружность.

Поставим другой вопрос, связанный с достаточным условием вписанности пятиугольника. Пусть ABCDE — пятиугольник, сумма любых двух несмежных углов которого больше 180°. Существует ли пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность?

Прежде чем ответить на этот вопрос выразим углы между диагоналями вписанного пятиугольника ABCDE, выходящими из одной вершины через углы самого пятиугольника.

Легко видеть, что ?CAD = ?B + ?E — 180°. Аналогичным образом выражаются и другие углы (рис. 24).

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Для ответа на него рассмотрим какую-нибудь окружность и разделим ее на дуги, равные удвоенным углам между диагоналями исходного пятиугольника, выходящим из одной вершины. Концы этих дуг будут вершинами искомого пятиугольника вписанного в окружность.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 9. Для произвольного пятиугольника ABCDE, суммы любых двух несмежных углов которого больше 180°, существует пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность.

Ситуация с вписанными в окружность семиугольниками, девятиугольниками и т. д. аналогична рассмотренной ситуации с пятиугольниками.

Для вписанных многоугольников с четным числом сторон ситуация аналогична ситуации с вписанным четырехугольником.

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

1. Построить окружность с центром в некоторой точке О.
2. Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
3. Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
4. По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
5. Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
6. Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
7. Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
8. Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
9. Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
10. Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
11. Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
12. Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
13. Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

Алгоритм Биона

Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

1. Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
2. Провести в ней диаметр АD.
3. Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
4. Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
5. Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
6. Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
7. Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

Приближенные методы

Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

1. Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
2. Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
3. Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
4. Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
5. Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

1. Стороны равны между собой.
2. Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

1. Равенство сторон.
2. Углы равны по 108 градусов.
3. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
4. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
5. Количество диагоналей соответствует 5.
6. Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
7. Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
8. Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
9. Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

1. Сторона: a.
2. Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
3. Площадь: S.
4. Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
5. Диагональ: d.
6. Отношение золотого сечения: Ф.

Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

Соотношения и формулы

После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

1. S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
2. S = 5r^2 * tg(36).
3. S = 2,5 * R^2 * sin(72).
4. S = (5/12) * R * d.

Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

Правильные многоугольники

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.