Как определить кратность корня

Кратные корни алгебраического многочлена.

Среди корней a₁,a₂,…,a_n многочлена P_n(z) могут оказаться равные.

Пусть a,b,…,l различные корни P_n(z). Тогда для P_n(z) разложение (9) имеет вид:

Если для многочлена P_n(z) справедливо разложение (1), то число а является корнем P_n(z) кратности , число b является корнем P_n(z) кратности ,…, число l является корнем P_n(z) кратности .

Корень, кратность которого равна единице, называют простым корнем.

Равносильное определение кратности корня.

Число а называется корнем кратности  многочлена P_n(z), если для P_n(z) справедливо представление в виде:

Теорема (признак кратности корня) (б.д.). Для того, чтобы число а было корнем кратности  многочлена P_n(z), необходимо и достаточно, чтобы

Свойства многочленов с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами:

Теорема (о комплексных корнях алгебраического многочлена с действительными коэффициентами). Если комплексное число а=+i (0) является корнем P_n(х) кратности k, то сопряженное число =-i тоже является корнем P_n(х), причем той же кратности k.

Следствие. Совокупность комплексных корней многочлена с вещественными коэффициентами распадается на пары взаимно сопряженных корней одной и той же кратности.

На комплексной плоскости корни многочлена с вещественными коэффициентами располагаются симметрично относительно вещественной оси. На самой вещественной оси располагаются вещественные корни. (Рисунок).

Пусть P_n(х) – алгебраический многочлен степени n>1 с вещественными коэффициентами.

Пусть a,b,…,с – вещественные корни многочлена P_n(х) кратностей ,,…, соответственно, а l и ,…,m и — сопряженных комплексных корней кратностей ,…, соответственно. Тогда для P_n(х) справедливо разложение:

(х-l)  (х- )  =(x 2 +px+q) 

(х-m)  (х- )  =(x 2 +rx+s) 

где(x 2 +px+q),…,(x 2 +rx+s) – квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами. Поэтому разложение (4) для P_n(х) примет вид:

где все коэффициенты вещественны.

Замечание. Может случиться, что в разложении (5) линейные или квадратные сомножители отсутствуют. Это соответствует случаям, когда отсутствуют вещественные или, соответственно, комплексные корни у P_n(х).

Разложение правильных рациональных дробей с действительными коэффициентами на сумму простейших дробей.

Определение. Дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью, называется функция вида:

где n,mN, a₀,a₁,…,a_n,b₀,b₁,…,b_m – постоянные числа. Если n<m, то рациональная дробь (1) называется правильной. Если nm, то неправильной.

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих типов:

I. ; II. , (kN, k≥2); III. ; IV.

где a, p, q, А, M, N – постоянные вещественные числа. Имеем

Теорема 1. Пусть имеется правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами . Пусть число аR является корнем кратности k знаменателя Q(x), т.е. Q(x)=(x-a) k φ(x), где φ(а)0.

Тогда для дроби справедливо следующее представление:

где А₁R, Р₁(х) – многочлен с действительными коэффициентами, причем дробь — правильная.

Доказательство. Рассмотрим разность R= — или R= .

Р(х)-А₁φ(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Для доказательства достаточно подобрать число А₁ таким образом, чтобы многочлен Р(х)-А₁φ(х) делился без остатка на разность (х-а). Это будет лишь тогда, когда число а является корнем многочлена Р(х)-А₁φ(х), т.е. когда Р(а)-А₁φ(а)=0.

Или когда А₁= . Т.к. φ(а)0, то такое число А₁ обязательно существует.

Т.о., если в качестве числа А₁ брать число , то будем иметь

Р(х)-А₁φ(х)=(х-а)Р₁(х), где Р₁(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Замечание. Если k>1, то к правильной рациональной дроби так же можно применить теорему 1. В результате получим:

где А₂R, — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Продолжая этот процесс, после k-кратного применения теоремы 1, будем иметь:

где А₁,А₂,А₃,…,А_kR (постоянные), а — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами.

Теорема 2. Пусть имеется правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами . Пусть комплексное число a=+i является корнем кратности k знаменателя Q(x) (значит, и число =-i также является корнем кратности k знаменателя Q(x)) и, следовательно,

Q(x)=(x-a) k (x- ) k φ(x)=(x 2 +px+q) k φ(x)

где φ(i)0. Тогда для дроби (= ) справедливо следующее представление:

где M₁,N₁R, Р₁(х) – многочлен с действительными коэффициентами, причем дробь — правильная.

Доказательство. Рассмотрим разность R= — или R= .

Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Для доказательства достаточно подобрать числа M₁ и N₁ таким образом, чтобы многочлен Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) делился без остатка на (х 2 +рх+q). Это будет лишь тогда, когда число а=+i (значит и число =-i) является корнем многочлена Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х), т.е. когда

Т.к. φ(+i)0, то из (4) находим

При таком выборе чисел M₁ и N₁ многочлен Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) делился без остатка на (х-а)(х- )=(х 2 +рх+q).

Следовательно, будем иметь

Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х)=(х 2 +рх+q)Р₁(х), где Р₁(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Замечание. Если k>1, то к правильной рациональной дроби так же можно применить теорему 2. В результате получим:

где M₂,N₂R, — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Продолжая этот процесс, после k-кратного применения теоремы 2, будем иметь:

где M₁,N₁,M₂,N₂,…,M_k,N_kR (постоянные), а — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами.

Следствие из теорем 1 и 2. Пусть — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Пусть

Замечание. Для представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей, выполняют следующие действия:

1) Пишут общий вид представления (5) с буквенными коэффициентами (пока неизвестными).

2) В написанном представлении (5) все дроби приводят к общему знаменателю, которым оказывается Q(x).

3) Т.к. знаменатели получились равными, приравнивают числители правой и левой части равенства (5). Получаем равенство двух многочленов, один из которых имеет конкретные коэффициенты, а другой – неизвестные. Приравнивают коэффициенты при равных степенях х. Получают систему уравнений, из которой находят неизвестные коэффициенты.

Определить кратность корня x0 многочлена f(x).

Третья производная:
f'''(x) = 60x 2 — 120x + 42
f'''(2) = 60*2 2 — 120*2 + 42 = 240 — 240 + 42 = 42, не равно нулю => кратность равна количеству найденных производных.

Ответ: 3

Метод второй: схема Горнера:

Как видно из схемы Горнера количество нулей равно 3, следовательно и кратность равна 3. Схема Горнера метод намного удобнее, если x₀ — число больше 2, производными считать труднее.

Кратные корни многочлена

Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.

Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k — натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, — кратным корнем многочлена f (x).

В дальнейшем при определении кратности корней нам будет полезно следующее предложение.

Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m — натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с. В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.

Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.

А сейчас вернемся к понятию кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5×4+3×3+22×2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:

Кратный корень

кратный корень — алгебраического уравнения f(х) = а0хn + a1xn 1 + . + an = 0, такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b. * * * КРАТНЫЙ КОРЕНЬ КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического… … Энциклопедический словарь

КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического — уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b … Большой Энциклопедический словарь

КРАТНЫЙ КОРЕНЬ — алгебр. ур ния f(x) = а0хn + + а1хn 1 + . + ап = 0, такое число b, что f(x) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень т двучлена (х b); число т кратность корня b … Естествознание. Энциклопедический словарь

Основная теорема алгебры — утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… … Википедия

Штурма правило — правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. Для любого многочлена f(x) без… … Большая советская энциклопедия

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… … Математическая энциклопедия

КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ — совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

БЮДАНА — ФУРЬЕ ТЕОРЕМА — число корней алгеб раич. уравнения заключенных в интервале равно или на четное число меньше, чем где число перемен знака в ряду производных многочлена в точке а, т. е. в ряду а число перемен знака в этом ряду в точке 6. При этом каждый кратный … Математическая энциклопедия

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение 2 й степени. Общий вид К. у. В поле комплексных чисел К. у. имеет два решения, выражающиеся в радикалах через коэффициенты этого уравнения: При b2>4ас оба решения К. у. действительные и различные, при b2<4ас решения … Математическая энциклопедия