Как найти сумму функционального ряда

2.4. Нахождение суммы функционального ряда

функционального ряда и области его сходимости к этой сумме.

Нахождение суммы ряда почленным интегрированием.

Пусть дан ряд вида . По признаку Коши или

признаку Даламбера область сходимости определяется неравенством . Если , то ряд — расходящийся.

Если , то ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости находится из неравенства . Затем делаем замену в исходном ряде; получаем степенной ряд с областью сходимости . Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

и очевидное равенство

Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , целиком принадлежащему интервалу сходимости, и используя формулу (13), получаем

Заметим, что так как ряд (12) сходится в граничной точке t=-1, то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа) и . Далее вычисляем интеграл (с переменным верхним пределом), заменяем t на и получаем ответ.

Если дан ряд вида , то следует либо

применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды, либо разложить дробь на элементарные и вычислить сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример. Найти сумму ряда и указать область

его сходимости к этой сумме.

Решение. Данный ряд степенной. Находим его интервал сходимости. По признаку Коши имеем

. Из неравенства находим . Исследуем поведение ряда в граничных точках. При — расходящийся гармонический ряд. При — условно сходящийся ряд по признаку Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится при . Для нахождения суммы ряда сделаем замену . Получим геометрический ряд , сходящийся при . Используя равенство (13) и почленное интегрирование степенного ряда, получаем:

Замечание. Степенной ряд (10) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости; ряд (10) можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри его интервала сходимости , т.е. если то для имеем и

Задание 17. Найти сумму ряда и указать область сходимости к этой сумме.

Найдем сумму каждого из этих рядов в их области сходимости. Сначала рассмотрим ряд

Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

, где , , и равенство (13).Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, получаем первую сумму:

Т.к. ряд сходится в граничной точке х=-1, то его сумма непрерывна в этой точке: .Значит,

Аналогично находим вторую сумму с учетом (14):

Таким образом, сумма исходного ряда

Решение. Находим область сходимости функционального ряда, применяя признак Даламбера

Область сходимости определяется неравенством , или . Решая его, получаем или . При имеем — расходящийся ряд (т.к.

). Следовательно, ряд сходится при . Сделаем замену . Получим ряд с областью сходимости . Используя формулу (12): равенство (13): и почленное интегрирование на любом отрезке, принадлежащем области сходимости, получаем

Заменяя t на , получаем сумму

Нахождение суммы ряда почленным дифференцированием.

I. Пусть дан ряд вида .

Сначала определяем область сходимости ряда, например, по признаку Коши. Получаем неравенство . Если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое

условие сходимости . Следовательно, область

сходимости определяется неравенством . Затем делаем замену и записываем ряд в виде суммы двух рядов . Для нахождения сумм этих рядов используем формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и очевидное равенство

Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя равенство

Далее вычисляем производную, делаем замену

и записываем ответ.

II. Если дан ряд вида , то вычисляем сумму трех рядов , и , причем при вычислении суммы ряда применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Задание 18. Найти сумму ряда и указать область

сходимости ряда к этой сумме.

Решение. а). Находим область сходимости данного ряда по признаку Даламбера

Отсюда . В граничных точках ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости. Итак, ряд сходится (и притом абсолютно) в интервале (-1;1).

б). Делаем в исходном ряде замену и записываем в виде суммы двух рядов

Для нахождения S(t) достаточно найти суммы рядов

Учитывая, что степенной ряд можно почленно

дифференцировать в любой точке интервала сходимости,

в) Заменяя на , получаем

Решение. По признаку Коши интервал сходимости

степенного ряда определяется неравенством , т.е. ряд сходится в интервале (-1;1). Для нахождения суммы ряда достаточно представить ряд в виде суммы трех рядов и найти суммы рядов:

где применили один раз почленное дифференцирование по x;

Т.к. выше найденная на предыдущем шаге сумма ряда

, то еще раз применив почленное дифференцирование по x к ряду; , получаем .Таким образом, сумма исходного ряда равна

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды, и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

– к уроку о нахождении суммы степенного ряда – обратная задача к его разложению;

– к уроку о равномерной сходимости, после которого расправляемся с другими функциональными рядами.

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям, и некоторым особняком идут Ряды Фурье, которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда – это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда – это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд. Членами степенного ряда являются целые положительные степени переменной либо двучлена , умноженные на числовые коэффициенты:

Как вы правильно догадываетесь, – это старая знакомая «начинка» числовых рядов, которая зависит только от «эн».

В практических заданиях многие степенные ряды начинаются с 1-го члена, и поэтому в своих статьях я буду часто использовать обозначения , .

Следует отметить, что подобные ряды могут содержать и нулевой член (константу), в этом случае его записывают за пределами суммы. Например:

И, кроме того, степени могут «идти с пропусками»:

Это тоже степенные ряды (при желании их можно переписать с отсутствующими степенями и нулевыми коэффициентами).

Сходимость степенного ряда.
Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд .

Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
И так далее.

Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

>

Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

А что будет происходить на концах интервала ? В точках , степенной ряд может как сходиться, так и расходиться, и для выяснения этого нужно проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости:

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: или .

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок:

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированный интервал сходимости ряда.

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости: . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: . Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке , если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: .

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

Исследование степенного ряда на сходимость

После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

Найти область сходимости степенного ряда

Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

На первом этапе находим интервал сходимости ряда. В большинстве заданий используется схема, основанная на признаке Даламбера для произвольных числовых рядов (на сайте освещен лишь косвенно). Технически нам нужно вычислить предел , и с формальной техникой его решения вы уже бОльшей частью знакомы:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.

(5) Устраняем неопределенность стандартным способом.

После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось. Внимание! Вычисленный предел и интерпретацию его результатов (см. ниже) НЕЛЬЗЯ считать или называть «признаком Даламбера». Подчеркну ещё раз, что рассматриваемая схема лишь основана (не вдаюсь в подробности) на признаке Даламбера для числовых рядов.

Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок в математике обозначает принадлежность).

Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :

! Напоминаю, что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует):

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

И раскрываем неравенство с модулем по правилу :
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

Обратите внимание, что при подстановке значения в степенной ряд у нас сократились . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно, а в точке , как выяснилось – условно.

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны 😉 Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Исследуем второй конец интервала сходимости.
При

Используем признак Лейбница:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится

Полученный числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному).

Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, при ряд сходится условно.

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: Найдем интервал сходимости ряда:

Предел по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статье о признаке Даламбера.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились , а значит, интервал сходимости найден правильно.

По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал в соответствующем параграфе. Повторим.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .

Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом .

2) Что происходит на другом конце интервала?

При – а вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

Найти область сходимости ряда

Достаточно для начала =)

В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы опирались на признак Даламбера и составляли предел . Но всегда ли нужно делать именно так? Почти всегда. Однако в некоторых случаях бывает невероятно выгодно привлечь на помощь радикальный признак Коши и составить предел , при этом алгоритм решения задачи остаётся прежним! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени, и такие примеры я разберу в статье о равномерной сходимости ряда.

Но «чайникам» с равномерной сходимостью лучше не спешить – сначала целесообразно изучить второй урок начального уровня – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Ряд сходится при
Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При

Проверяем выполнение условий признака Лейбница:
– ряд является знакочередующимся;
– – члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела . не существует.

Вывод: ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
2) При – расходится по той же причине.

Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда

Пример 5: Решение: с помощью признака Даламбера найдём интервал сходимости:

Ответ: Ряд сходится при

Пример 7: Решение: найдем интервал сходимости данного степенного ряда:

Ряд сходится при
Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на :

В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При
Примечание: множитель сократился, значит, мы на верном пути.

Используем признак Лейбница:

Ряд является знакочередующимся;
– члены ряда убывают по модулю;

каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем его на абсолютную/условную сходимость:

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Примечание: здесь можно было использовать и предельный признак сравнения.

Вывод: ряд сходится условно.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при ряд сходится условно.
Область сходимости окончательно можно записать так: , или даже так: . Но не нужно 🙂 ;).

Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости ряда:

Ряд сходится при

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
1) При
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Сумма степенного ряда

Данный урок лучше всего изучать по «горячим следам» сразу же после статьи о разложении функции в степенные ряды, поскольку сейчас мы будем решать обратную задачу. Пожалуйста, откройте таблицу разложений функций в степенные ряды и по возможности отправьте файл на печать – чтобы справочный материал был постоянно перед глазами. На бумаге, на столе и перед глазами. Это важно!

Суть задания предельно простА: дан степенной ряд. Например:

И по условию требуется найти сумму этого ряда, то есть, функцию, к которой он сходится. …Не понятно, что значит «ряд сходится к функции»? Срочно читаем предыдущую статью!

Как найти сумму степенного ряда? Здесь не существует какого-то жёсткого алгоритма решения, но есть общие ориентиры, с которыми мы сегодня и познакомимся.

В первую очередь целесообразно обратиться к таблице и попытаться выяснить – НА КАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ больше всего похож предложенный ряд? У нашего ряда в знаменателях по порядку идут факториалы, и поэтому он больше всего напоминает разложение экспоненты: . Однако тут степени «альф» совпадают с номерами факториалов, а у нас степень «икса» «отстаёт» на единицу. Что делать? Поправим ситуацию умножением и делением ряда на «икс»:

Теперь обращаем внимание, что наверху не хватает слагаемого-«единички». Да какие проблемы? – прибавим её да вычтем:

Что смущает ещё? Знакочередование. Его в разложении экспоненты нет. Но в данном случае «минусы» можно «затолкать» под нечётные степени, а под чётными степенями их «возродить»:

Таким образом, мы сконструировали разложение экспоненты для :

Другим немаловажным вопросом является область сходимости ряда. Иными словами, ПРИ КАКИХ значениях «икс» наш ряд будет сходиться к функции ? В таблице указано, что экспоненциальный ряд сходится при любом «альфа», но у нас есть одна загвоздочка: найденная функция не определена в точке . Однако ряд в этой точке сходится! И действительно – если подставить ноль, то получается конечное число:

Таким образом, сумма ряда запишется кусочным образом:

Как и сумма числового ряда, она стандартно обозначается буквой «эс».

Причём, интересно отметить, что данная сумма непрерывна. И в самом деле – используя соответствующий замечательный предел, получаем:

Однако в точке ряд сходится всё же НЕ к функции (и похожие примеры, кстати, уже встретились в статье о разложении функции в ряд).

Несмотря на то, что интервалы сходимости типовых рядов я указал в таблице, важно понимать, откуда они взялись. Как, например, определить область сходимости только что разобранного ряда безо всякой таблицы? Записываем его в свёрнутом виде, подобрав общий член:

и, пользуясь обычным алгоритмом, выясняем, что ряд сходится на всей числовой прямой.

С помощью найденной суммы легко рассчитать сумму любого числового ряда из этого «семейства». Так, например, при получаем ряд , сумма которого равна: – на всякий случай напомню, что это сумма всех его членов:

Если , то получим ряд
с суммой , откуда, кстати, открывается волнующая тайна:
.

И так далее – можно рассмотреть любое значение «икс» из области сходимости ряда.

В статье о сумме числовых рядов мы потихонечку долбили их ломом (да и то немногие поддавались), и сейчас в наших руках оказался целый отбойный молоток! Пользуйтесь и наслаждайтесь!

Другой пример: – найдём сумму данного степенного ряда.

Именно в свёрнутом виде он чаще всего и предлагается, и само собой ряд удобно расписать:

Анализируя таблицу, приходим к выводу, что наш «пациент» больше всего напоминает разложение , причём «альфа», очевидно, равно «иксу» в кубе. Выносим за скобки «минус» и «лишний» и показываем, что :

Определим, на каком промежутке ряд сходится к функции . Интервал сходимости ряда можно найти опять же стандартным способом, либо воспользоваться табличным «подарком»:

Сходимость ряда на концах интервала выясняем как обычно – прямой подстановкой:

если , то – расходится;
если , то – сходится условно.

Таким образом, ряд сходится лишь на полуинтервале . Вне этого промежутка он расходится и его суммы, понятное дело, не существует.

Итак: , если – в отличие от предыдущего примера, выбор «иксов» тут небогат.

И здесь ещё хочется заострить внимание на разнице в понятиях и обозначениях:

через обозначается функция (сама по себе),
а через – конкретно сумма ряда (на том или ином промежутке).

Разминочные задания для самостоятельного решения:

Найти сумму следующих степенных рядов:

а)
…ну а кому сейчас легко? =)

б)
Дополнительно: записать числовой ряд для и вычислить его сумму.

Краткие решения и ответы в конце урока.

Наверное, все понимают, как выполнять проверку таких заданий – для этого нужно разложить полученную функцию обратно в ряд. Но это уже пройденное, да и к тому же простое действие, и поэтому я его расписывать не буду.

Алгебраические преобразования рядов могут быть весьма замысловаты, однако дело не ограничиваются только ими. Как многие подозревали, производные с интегралами поджидают нас и здесь! Ну а куда ж без них? =) Пожалуйста, освежите воспоминания с помощью таблицы производных и таблицы интегралов (откроются на соседних вкладках) – их тоже по возможности распечатайте и положите перед глазами. …Есть? Поехали:

Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Пусть степенной ряд сходится к своей сумме на некотором промежутке. …Теоремы формулировать не буду – проще рассказать своими словами:

Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке внутри его промежутка сходимости: , при этом интервал сходимости полученного ряда останется точно таким же, а его сумма на данном интервале будет равна: .

И на всякий случай поясню, что значит «почленно» – если расписать ряд подробно, то согласно свойству линейности, он дифференцируется по каждому члену отдельно:

Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри его промежутка сходимости, но здесь ситуация занятнее. Если мы будем его интегрировать по фиксированному отрезку , то получим числовой ряд:

– и в самом деле, членами же этого ряда являются числа (вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница).

Геометрический смысл и практическое применение такого интегрирования мы разберём на уроке о приближённом вычислении интеграла, ну а сейчас нас ждут другие подвиги. А именно, почленное интегрирование по отрезку с переменным верхним пределом , где «икс» может принимать произвольное значение из интервала сходимости, при этом в качестве нижнего предела удобно выбрать ноль. По той же самой формуле Ньютона-Лейбница, получается уже не числовой, а функциональный ряд – распишу подробно:

формально здесь можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс»:

Причём: полученный ряд обладает тем же интервалом сходимости, что и исходный ряд, а его сумму можно найти по формуле , где , напоминаю – сумма ряда

Важнейшим условием осуществления этих действий является равномерная сходимость степенных рядов – анонсирую и рекомендую прочитать эту интереснейшую статью! Но прежде освоим технику. Начнём с тех же табличных разложений, некоторые из которых как раз получены с помощью дифференцирования и интегрирования.

Выведем, например, разложение арктангенса. Для этого разложим его производную в стандартный ряд :

после чего проинтегрируем этот ряд в его интервале сходимости :

далее для краткости записи я буду дифференцировать/интегрировать ряды «один махом»:

Поскольку «родительский» биномиальный ряд сходится на интервале , то и полученный ряд тоже будет сходиться на этом интервале. А может быть ещё и на его концах. Проверяем:

Оба числовых ряда сходятся условно, таким образом, ряд сходится к арктангенсу в области (вспоминаем картинку из предыдущей статьи).

По этой же схеме выводятся разложения логарифма и арксинуса – потренируйтесь самостоятельно.

С помощью «новых» действий можно найти разложения некоторых других функций.

Классический Пример 1

Разложить в ряд функцию и указать его интервал сходимости.

Решение: по «общим очертаниям» предложенная функция сильно напоминает производную от . И действительно:

Таким образом, искомый ряд получается фактически на «автомате» – дифференцированием стандартного разложения на его интервале сходимости:

Так как исходный ряд сходится при , то полученный ряд тоже будет сходиться на данном интервале. Осталось узнать, что происходит на концах:
– расходится;
– расходится.

Ответ: , ряд сходится при

и перебрасываем единичку направо:
– в результате получено исходное разложение, что и требовалось проверить.

Таким образом, всегда держите на заметке, что предложенная функция может быть производной либо интегралом от чего-нибудь табличного. Однако сегодняшний урок посвящён обратной задаче, и применительно к разобранной «классике» она формулируется так:

Найти сумму ряда

А вот это уже труднее – ведь мы «ещё не знаем», что данный ряд получен дифференцированием ряда , и данный факт можно запросто не увидеть. Впрочем, тут существует чёткий критерий, позволяющий «прозреть»:

Решение: анализируя ряд , приходим к выводу, что он мало похож на что-то стандартное, но зато в таблице есть его «ближайший родственник» , к которому мы и обратимся за помощью.

Для этого нужно «избавиться» от множителя . Каким образом? Разделить его на самого себя! И такую возможность нам предоставляет интегрирование – здесь я оформлю действия в свёрнутой форме:

Теперь нужно «вернуть должок» дифференцированием:

Ответ: на интервале

Таким образом, «почленёнка» помогает нам «убрать с дороги» неудобные множители, и это действительно очень мощный инструмент:

Найти сумму степенного ряда

Но перед тем как решать, важная преамбула: несмотря на то, в условии этого не прописано – нам всё равно потребуется найти область сходимости ряда. Причина, думаю, понятна – ведь сумма в общем случае существует далеко не везде, и если в ответе указать только её, то это будет серьёзнейшим недочётом.

Наверное, многие уже «набили руку» на числовых рядах и способны найти область сходимости устно. В частности, здесь хорошо видно, что предложенный ряд сходится на промежутке . Как выполнить экспресс-анализ? Берём какую-нибудь правильную дробь, например, и выполняем подстановку:
– данный ряд сходится по признаку Даламбера. И, очевидно, что после подстановки любой дроби из интервала будут получаться похожие ряды.

Далее тестируем произвольное «внешнее» значение, например :
– расходится по тому же признаку Даламбера. Кстати, здесь вообще не выполнен необходимый признак сходимости, т.к. более высокого порядка роста, чем .

Проверка концов интервала тоже осуществляется в считанные секунды:

Таким образом, к решению задачи нужно подойти во «всеоружии» – с известной областью сходимости и записать следующую фразу: данный ряд сходится на . Как вариант, можно привести развёрнутые выкладки нахождения области – но это если вам трудно или если не лень.

Ну а теперь амбула (с). Во-первых, не будем торопиться с «тяжёлой артиллерией» – вдруг она не потребуется? Сначала распишем ряд подробно:
и вновь обратим свой взор на таблицу…. – наш ряд напоминает разложение арктангенса, однако ж, там знакочередование, и никакими алгебраическими «ухищрениями» эти ряды не «состыковать». Другие табличные разложения подходят к нашему случаю ещё меньше.

Что делать? Глядя на степени «икса» и числа внизу, в голову приходит светлая мысль избавиться от последних. Дифференцируем ряд на его интервале сходимости :

и всё дело свелось к простому табличному разложению:

Но коль скоро мы дифференцировали, то за это придётся «заплатить» интегрированием:

Справа в качестве суммы исходного ряда «нарисовался» «высокий» логарифм:

Ответ: на интервале

Обратите внимание, что в решении фигурировал ряд с суммой на том же интервале, но об этом нас никто не спрашивал.

Сегодня я буду разбирать простые примеры, а вам предлагать интересные:))

Найти сумму ряда

Краткое решение и ответ в конце урока.

Но это ещё далеко не все секреты:

Найти сумму ряда

Решение: данный ряд сходится в области (проанализируйте, почему).

Как обычно расписываем ряд, чтобы поискать «лёгкий путь»:
И после изучения таблицы и некоторых «трепыханий» мы приходим к грустному выводу, что ничего путного не получается. Очевидное дифференцирование тоже выглядит не особо перспективным:

Но вот как бы было хорошо «избавиться» в знаменателе не от , а от . И возникает вопрос, а нельзя ли организовать такую возможность? Можно! Чтобы наверху получить ряд следует искусственно умножить и разделить на «икс». Однако этим действием мы «выключаем из игры» точку , которая входит в область сходимости. И поэтому в ней необходимо вычислить сумму ряда: , чтобы жить спокойно:

Прерываем решение «звёздочкой» и работаем с новым «кадром»:

– здесь всё свелось к разложению для .

Выполняем обратное действие:

Интеграл правой части, надо сказать, неприятный, и поэтому с ним лучше разобраться отдельно, причём без пределов интегрирования:

и знакомый приём с дробями,… не запутаться бы тут в знаках:

И теперь главное не забыть про «звёздочку»:

Но это ещё не всё! Как подсказывает математическое чутьё, тонким местом исследования являются концы интервала сходимости – и действительно, полученная функция имеет проблемы не только с нулём, но ещё и на правом конце области сходимости ряда. Придётся исследовать его отдельно:
– и к нашей радости сумма числового ряда отыскивается по стандартной схеме. Метод неопределённых коэффициентов работает в своей простейшёй ипостаси:

Запишем частичную сумму ряда:

Сумма исследуемого числового ряда:

И, наконец, сумма ряда функционального:

Ответ:

Такой вот простенький ряд =)

Следует отметить, что искусственный приём с домножением и делением на самом деле можно использовать и после «очевидного» дифференцирования, но там получатся более сложные вычисления.

Вам понравилось? Но и это ещё не всё! В свете последней части задания всплывает… какой же я тонкий лирик:))

второй способ решения: разложим числовую часть общего члена степенного ряда в сумму дробей (см. выше) и представим его в виде суммы двух рядов:

строго говоря, здесь нужны кой-какие комментарии, но я их опущу.

Дальнейшие действия очевидны – веник ломаем по прутикам:

1)
(берём на заметку значение )

2)
(берём на заметку значение )

Таким образом, функция, к которой сходится ряд на промежутках :

Точки исследуются отдельно, и что приятно, для последней уже есть готовенький числовой ряд .

Ответ:

На всякого мудреца довольно простоты! И никакого дифференцирования с интегрированием =)

Кстати, не нужно думать, что этот способ является каким-то экзотическим – он используется во многих тематических заданиях, причём иной ряд можно разделить даже на 3 части.

Обещанная интересность для самостоятельного решения:

Найти сумму ряда

Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Кроме того, встречаются задачи, в которых приходится дифференцировать 2 раза подряд, что «карается» последующим двукратным интегрированием. При этом справедливо следующее…, а чего скромничать – изучим ситуацию в общем виде:

пусть функция разложима в степенной ряд на некотором интервале:

ну, или можно сказать, что сумма степенного ряда равна – смотря с какой стороны рассуждать.

Как уже отмечалось, при почленном дифференцировании ряда на данном интервале получившийся ряд сойдётся к производной:

При повторном дифференцировании на том же интервале суммой нового ряда будет вторая производная:

И более того, если у функции существуют все производные высших порядков, то дифференцировать можно до бесконечности:

Причём, соответствующие ряды, не нужно быть пророком, сходятся к своим производным, а интервал сходимости не меняется.

И, разумеется, справедливы обратные выкладки с интегрированием. Но вместо них небольшой фокус – вычислим значения функции и всех её производных в точке :

Далее выразим коэффициенты , …очевидно, что – после чего подставим их в разложение :

В большинстве задач этого урока мы сначала дифференцировали, а затем интегрировали, но само собой допустим и обратный порядок. Так, в Примере 1* всё было наоборот – и уже из этого простого ряда яснА основная задача первоочередного интегрирования – расчистить «верхний этаж»:

Найти сумму степенного ряда

Решение: данный ряд сходится на интервале .

И вновь не будем пренебрегать поиском простых путей:
, …которых, увы, не видно.

Очевидно, что основной нашей помехой является множитель , который надо «убрать». Попробуем проинтегрировать ряд почленно:

Не айс,… вот если бы внизу нарисовалось – тогда да. Но это ж можно организовать – нужно только понизить изначальную степень на единицу. А делается это очень просто – «отщипываем» один «икс» и выносим его за пределы ряда:

Далее работаем с «модифицированным» рядом:

Приводим ситуацию в равновесие дифференцированием:

И не забываем, что это ещё не окончательная сумма:

Ответ: на интервале

Заметьте, что здесь нет проблем со знаменателем, так как значение не входит в область сходимости ряда – не забываем контролировать такие моменты!

И в заключение…, нет, пожалуй, успокоительная задача:)

Найти сумму степенного ряда

Моя версия решения внизу страницы.

Наверное, у всех уже в глазах мельтешит от разложений, и поэтому самое время принять лекарство – равномерную сходимость ряда, которая по иронии судьбы и стала тому первопричиной 🙂 Кроме того, на грядущем уроке вы узнаете, как определяется сумма произвольного функционального ряда.

Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку, потому что статья была действительно одна из самых кропотливых, и вы имели счастье, кстати, познакомиться с её 6-й версией. Всё время казалось «всё», но каждый раз всплывали… к концу статьи я превратился в толстого циника)… ещё какие-то интересные факты, примеры и нюансы. Что-то добавлялось, редактировалось, что-то «выбрасывалось». И на самом деле ещё есть о чём рассказать! Поэтому нужно пересилить себя и поставить

Решения и ответы:

Разминочное задание: Решение:

а) Распишем несколько членов ряда, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Оба разложения сходятся на всей числовой прямой.

Ответ: на интервале

б) Ориентируемся на табличное разложение :

Найдём область сходимости ряда. Согласно таблице, ряд сходится при . В данном случае :
– разделим все части на три:

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. Для этого запишем его в свёрнутом виде и подставим граничные значения:

Оба числовых ряда расходятся, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ: ряд сходится на интервале , сумма ряда: .
Если , то получаем числовой ряд , сумма которого равна
Примечание: также здесь можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пример 3: Решение: дифференцируем ряд в его интервале сходимости (на всей числовой прямой) и находим сумму полученного ряда:

Интегрируем:

Интеграл правой части берётся по частям:

Ответ: на интервале

Пример 5: Решение: данный ряд сходится в области . Ориентируясь на разложение , выполним следующие преобразования:

Вычислим сумму ряда в точке

Способ второй: данный ряд сходится в области . Вычислим его сумму в середине и выполним следующее преобразование:

Дифференцируем полученный ряд:

Примечание: использовали разложение для .
Интегрируем:

Таким образом:

Пример 7: Решение: данный ряд сходится на интервале .
Разделим его на 2 части:

1) Найдём сумму
Интегрируем ряд почленно:

Дифференцируем:

Таким образом:

В результате итоговая сумма:

Ответ: на интервале

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Функциональные ряды в математике с примерами решения и образцами выполнения

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Решение функциональных рядов

Область сходимости

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда

определены на интервале а члены ряда

определены на отрезке

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке если сходится числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд

В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D,

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Даламбера, признака Коши.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Так как числовой ряд

сходится при р > 1 и расходится при р 1, то, полагая р = lg x, получим данный ряд, который будет сходиться при Ig x > 1, т.е. если x > 10, и расходиться при Ig x 1, т.е. при 0 < х 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч

Пример:

Найти область сходимости ряда

Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем

При т. е. при х < 0, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале

При х > 0 ряд расходится, так как Расходимость ряда при x = 0 очевидна.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве Применяя признак Коши, найдем

для любого Следовательно, ряд расходится при всех значениях x.

Обозначим через (x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно представить в виде

где есть сумма сходящегося на множестве D ряда

который называется n-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений имеет место соотношение

т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при каково бы ни было .

Равномерная сходимость

Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд

сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму

Определение:

называется равномерно сходящимся на множестве если для любого числа найдется число N > 0 такое, что неравенство

будет выполняться для всех номеров n > N и для всех х из множества

Замечание:

Здесь число N является одним и тем же для всех т. е. не зависит от х, однако зависит от выбора числа так что пишут

Равномерную сходимость функционального ряда к функции S(x) на множестве часто обозначают так:

Определение равномерной сходимости ряда на множестве можно записать короче с помощью логических символов:

Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества отрезок [а, b] и построим графики функций у = S(x), Неравенство выполняющееся для номеров n > N и для всех можно записать в следующем виде

Полученные неравенства показывают, что графики всех функций с номерами n > N будут целиком заключены внутри полосы, ограниченной кривыми

Пример:

Показать, что функциональный ряд

равномерно сходится на отрезке

Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком и, следовательно, сходится на отрезке Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его n-я частичная сумма. Остаток ряда

по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена:

а поскольку и для всех n = 1, 2, … . Возьмем любое Тогда неравенство будет выполняться, если Отсюда находим, что Если взять число

(Здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство |S(x) — будет выполняться для всех номеров n > N и для всех Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1].

Замечание:

Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на D.

Пример:

Покажем, что ряд

сходится на отрезке но не равномерно.

Вычислим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда. Имеем

Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма

Абсолютная величина разности (остатка ряда) равна

Возьмем число Пусть

Разрешим неравенство относительно n. Имеем откуда

(так как 0 < х < 1, то In х < 0, и при делении на In х знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при

Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство

выполнялось для каждого n > N(e) сразу для всех х из отрезка не существует.

Если же заменить отрезок меньшим отрезком то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S(x) = 0 равномерно. В самом деле,

Признак Вейерштрасса

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.

Теорема:

Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х из множества члены функционального ряда

по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда

с положительными членами, т. е.

для всех Тогда функциональный ряд (1) на множестве сходится абсолютно и равномерно.

Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве , то по признаку сравнения ряд сходится при любом следовательно, ряд (1) сходится на абсолютно

Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть

Обозначим через частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем

для всех

Возьмем любое (сколь угодно малое) число Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера и, следовательно, для всех номеров ряд (1) сходится равномерно на множестве

Замечание:

Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

выполняется для всех n = 1, 2, … и для всех Числовой ряд

сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси.

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как

на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то

Таким образом, неравенство

выполняется для n = 1, 2, … и для всех Так как числовой ряд

сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].

Замечание:

Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве и в том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т.е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым.

Пример:

Как было показано выше (пример 1 в § 2), ряд

равномерно сходится на отрезке [-1,1 ]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных n и для всех выполняется неравенство

причем равенство достигается при х = — 1 и х = 1. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию

но числовой ряд

расходится. Значит, будет расходиться и ряд

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств.

Теорема:

Если все члены ряда

равномерно сходящегося на отрезке [а, b], умножить на одну и ту же функцию g(х), ограниченную на [а, b], то полученный функциональный ряд

будет равномерно сходиться на [а, b].

Пусть на отрезке [а, b] ряд равномерно сходится к функции S(x), а функция g(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что

По определению равномерной сходимости ряда для любого числа существует номер N такой, что для всех n > N и для всех [а,b] будет выполняться неравенство

где Sn(x) — частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь

для n > N и для любого [a,b], т. е. ряд

равномерно сходится на [а, b] к функции g(x) S(x).

Теорема:

Пусть все члены fn(x) функционального ряда

непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [a, b]. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке.

Возьмем на отрезке [a,b] две произвольные точки Так как данный ряд сходится на отрезке [а, b] равномерно, то для любого числа > 0 найдется номер N = N() такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства

где Sn(х) — частичные суммы ряда Эти частичные суммы Sn(x) непрерывны на отрезке [а, b] как суммы конечного числа непрерывных на [a, b] функций fn(х). Поэтому для фиксированного номера и взятого числа найдется число такое, что для приращения удовлетворяющего условию будет иметь место неравенство

Приращение можно представить в следующем виде:

Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений удовлетворяющих условию получим

Это означает, что непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а,b], то S(x) непрерывна на [а,b].

Замечание:

члены которого непрерывны на отрезке [a, b], но который сходится на [а, b] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию.

Пример:

Рассмотрим функциональный ряд

на отрезке [0,1]. Вычислим его n-ю частичную сумму

Она разрывна на отрезке [0, 1], хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1].

Пример:

Как было показано выше, этот ряд сходится при ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как

сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна.

Замечание:

называется функцией Римана (эта функция играет большую роль в теории чисел).

Теорема:

О почленном интегрировании функционального ряда. Пусть все члены fn(x) ряда

непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции S(х). Тогда справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от до х при любых х и [а, b]. Полученный ряд будет сходиться равномерно по х на отрезке [а, b], каково бы ни было [а, b].

В силу непрерывности функций fn(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, b] его сумма S(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, b]. Рассмотрим разность

где

Из равномерной сходимости ряда на [a,b] следует, что для любого > 0 найдется число N() > 0 такое, что для всех номеров n > N() и для всех будет выполняться неравенство

для любого n > N(). Иными словами,

Если ряд не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е.

Теорема:

О почленном дифференцировании функционального ряда. Пусть все клены fn(x) сходящегося ряда

имеют непрерывные производные и ряд

составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, b]. Тогда в любой точке справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать.

Возьмем две любые точки Тогда в силу теоремы 4 будем иметь

Функция непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство

т.е.

Дополнение к функциональным рядам

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института