10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
Пусть H- гильбертово пространство со скалярным произведением <f,g> и, соответственно, нормой 
. Важным примером такого пространства является так называемое пространство />- пространство функцийf(x), для которых конечен интеграл:
(1)
Здесь h(x)- так называемая весовая функция, удовлетворяющая условиям:1.h(x)0 на [a,b].
2.Если промежуток [a,b]- конечный, то 
существует и конечен;Если же [a,b]=(0,+
), то должно выполняться условие:
т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.
Определение 1.Для 
определено скалярное произведение:
(2)
и соответственно норма:
согласно условию (1).
Используя неравенство Коши – Буняковского — Шварца, получаем
Поэтому скалярное произведение существует для 
Определение 2.Расстояние между элементами f и g определяется равенством:
.
Возникает вопрос о том, как понимать нулевой элемент. Если норма 
, следует ли отсюда, чтоf=g? Вводится терминология:f=gпочти всюду, то есть они могут отличаться в конечном числе точек.
Определение 3.f и g ортогональны на отрезке [a,b] с весом h(x), если <f,g>=0 (кратко пишут 
).Если в гильбертовом пространстве взять любую линейно независимую систему
,i=0,1,2,…, то ее можно ортогонализировать.
Рассмотрим в качестве примера систему: 
При
конечный набор степенных функций линейно независим, поэтому на базе этой системы можно построить ортогональные полиномы. Известна следующая рекуррентная процедура ортогонализации (процедура Грама — Шмидта):
(3)
Коэффициенты bk+1,j определяются из условий ортогональности:
Последовательно умножая (3) на 
получаем
(4)
11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
Пусть h(x)1, [a,b]=[-1,1].Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) — (4).(см 10)
Далее имеем:
,
следовательно,
Действуя, аналогично далее, получаем:
Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига: 
(5)
Из (5) последовательно получаем:
и т.д. Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра. 
Замечание. Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).
Квадрат нормы у этих полиномов равен: 
То есть эти многочлены не нормированы, так как
Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:
(6)
Пусть 
Рассмотрим среднеквадратичное приближение:
где 
— среднеквадратичная ошибка аппроксимации,
— отрезок ряда Фурье для функцииf(x) по системе ортогональных многочленов
(7)
При этом 
то есть обеспечивается минимум нормы вL2.
Распишем подробно ошибку аппроксимации
(8)
С другой стороны
в силу ортогональности.
Подставляя в (8), получим
. (9)
Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.
Используем ортогональную систему Лежандра:
Коэффициенты ck находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:
Полиномы Лежандра и Чебышева
В курсе математического анализа мы изучали обобщенные ряды Фурье в нормированных пространствах /3/.
Пусть Е — нормированное пространство, норма которого порождена скалярным произведением:
Определение 1. Последовательность ц1, ц2, …, цn, …, цnЕ называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму равную единице.
Пусть в пространстве Е задана ортонормированная система <цk>k=1..? .
Определение 2. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе <цk> называется ряд вида:
Определение 3. Частичной суммой ряда Фурье называется сумма вида:
Определение 4. Отклонением элемента f от элемента g по норме пространства Е называется величина, равная .
Теорема. Среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента f по норме пространства Е имеет частичная сумма ряда Фурье элемента f:
В данной курсовой работе рассматриваются полиномы Лежандра и Чебышева, как примеры ортогональных систем в пространстве непрерывных функций, определенных на [-1, 1] (далее, пространство непрерывных функций будем обозначать как C[-1, 1]). Скалярное произведение в C[-1, 1] вводится как
Данный интеграл существует, так как f(x),
g(x) C[-1, 1] — пространству непрерывных функций. Таким образом,
1. Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра определяются следующей формулой Родрига /1/:
В частности, имеем:
Графики этих полиномов для п = 0, 1, 2, 3 и 4 приведены на рисунке 1.1. Первые 10 полиномов Лежандра приведены в приложении А. Из формулы (1.1) видно, что Рn(х) являются четными функциями при п = 2т и нечетными — при п = 2m + 1; причем Рn(1)= 1 и Рn(- 1) = (- 1) n .
Рисунок 1.1 — Графики первых пяти полиномов Лежандра
Существует много способов определения полиномов Лежандра. Один из них мы уже рассмотрели — задание полиномов формулой Родрига. Теперь рассмотрим еще один немаловажный способ задания полиномов — с помощью рекуррентной формулы. Для этого обратимся к так называемой производящей функции /1/:
Из разложения (1.3) легко получить рекуррентную формулу, связывающую три последовательных полинома Лежандра. Действительно, дифференцируя Н(х, r) по r, имеем
Но с другой стороны
Собирая все члены, содержащие r n , и приравнивая к нулю полученный коэффициент при r n , получаем нужный результат
Формула (1.4) является рекуррентной формулой задания полиномов Лежандра, с помощью которой удобно находить последовательные полиномы Лежандра.
1.1 Ортогональность полиномов Лежандра
Как мы уже знаем — два полинома ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. То есть, доказательство ортогональности двух полиномов сводится к доказательству равенства:
Для этого рассмотрим
Пусть т<п /1/. Очевидно, что
Учитывая этот вывод, применим к интегралу, стоящему в правой части равенства (1.6), формулу интегрирования по частям
После n-кратного интегрирования по частям формулы (1.5) в силу соотношения (1.6) будем иметь
Но так как т < n, то, очевидно, и, следовательно,
2.2 Нормирование полиномов Лежандра
Нормируем систему полиномов Лежандра. Для этого найдем норму, вычислив интеграл /1/:
Воспользуемся формулой (1.1):
Применим формулу интегрирования по частям последовательно n-раз, получим:
Применим формулу бинома Ньютона:
Учитывая это, упростим интеграл (1.10), и применим формулу интегрирования по частям:
Последний интеграл вычисляется при помощи n-кратного интегрирования по частям:
Подставляя полученный результат (1.12) в формулу (1.11), будем иметь
Вычислив интеграл (1.11), подставим результат (1.13) в формулу (1.8), получим
Отсюда, ортонормированная система полиномов Лежандра имеет вид:
Таким образом, полиномы Лежандра на отрезке [-1, 1] образуют ортонормированную систему полиномов.
Из теории обобщенных рядов Фурье следует, что коэффициенты полинома, аппроксимирующего данную функцию, следует брать равными коэффициентам Фурье /3/.
Коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе полиномов Лежандра:
С учетом формулы (1.14), получаем окончательную формулу для вычисления коэффициентов Фурье /1/:
2. Полиномы Чебышева
Теперь рассмотрим полиномы Чебышева /1/, которые известны тем, что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.
Полиномы Чебышева Тn(x) определяются формулами
В частности имеем:
Аналогично полиномам Лежандра, полиномы Чебышева также имеют несколько способов задания. Рассмотрим наиболее применимые из них. Обычно полиномы Чебышева рассматриваются на отрезке [-1, 1]. Поэтому можно положить x=cos t, т. е. t=arсcos x, где t — новая переменная . Тогда и формула (1) преобразуется к виду
Так как (cos t ± i sin t) n = cos nt ± i sin nt, то имеем
Заметим, что формулы (2.3) и (2.4) неверны при n = 0.
Из формулы (2.3) легко получаются рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева при больших п.
Преобразуем формулу (2.3) к виду:
принимая во внимание то, что
Таким образом, полиномы Чебышева задаются рекуррентной формулой (2.6).
Первые 12 полиномов Чебышева Тn(x) даны в приложении B.
На рисунке 2.1 приведены графики полиномов Чебышева для n = 0, 1, 2, 3.
В теории приближении функций имеет место довольно важная теорема /1/:
Теорема 2.1. Полином Чебышева степени m (m > 1) наименее отклоняется от нуля на отрезке [- 1, 1] по сравнению с другим полиномом степени m и со старшим коэффициентам, равным единице.
Рисунок 2.1 — Графики первых четырех полиномов Чебышева
2.1 Ортогональная система функций, построенная на основе полиномов Чебышева
Теорема 2.2. Полученные с помощью полиномов Чебышева Тп(х) функции:
образуют на отрезке [-1, 1] ортогональную систему /3/.
Доказательство. Доказательство /1/ ортогональности сводится к доказательству равенства:
При k > 0, m > 0 и k ? m, полагая х = cos t и используя формулу (2.3), имеем
а как нам известно из общего курса математического анализа, тригонометрические функции
2.2 Нормирование системы функций, построенной на основе полиномов Чебышева
Для того, чтоб нормировать систему функций (2.7), вычислим их нормы /1/.
Для этого в формуле (2.8) примем m = k ? 0, получим:
Отсюда, ортонормированная система функций (2.7), полученная с помощью полиномов Чебышева имеет вид:
Коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе (2.10):
3. Примеры аппроксимации функций
Пример 3.1. Функцию на отрезке [-1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.
Решение. Полином Q5(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:
где Pk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) — полиномы Лежандра, а
Так как функция |x| четная и Pk(x) четны при k четном и нечетны при k нечетном, то получаем
Отсюда используя формулы (1.3), находим
Подставляя эти значения коэффициентов в формулу (3.1), получим
График полученной функции приведен на рисунке 3.1.
Пример 3.2. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [-1, 1] полиномом четвертой степени.
Решение. Полином Q4(х) будем искать в виде
где цk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) — полученные с помощью полиномов Чебышева функции.
Тогда, в условиях нашей задачи и с учетом формулы (2.10), получаем:
Так как Т2k+1(x) — функции нечетные, а Т2k(x) — четные, то с2k+1 = 0 и
Используя для Т2k(x) формулу (2.2), имеем:
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (3.2), находим:
Сравним полученный результат с примером разложения функции по полиномам Лежандра, в котором функция f(x) аппроксимировалась многочленом
В нашем случае при х = 1 имеем
т.е. мы видим, что система функций <цk> «ближе» аппроксимировали функцию в точке х = 1. Это видно на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 — Результат примеров аппроксимации (примеры 3.1 и 3.2)
Пример 3.3. Функцию на отрезке [-1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.
Решение. Полином Q4(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:
где Pk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) — полиномы Лежандра, а
Для вычисления коэффициентов сk применен программный продукт MathCad (рабочий документ MathCad’а приведен в приложении С).
Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.3), получаем:
График полученной функции приведен на рисунке 3.2.
Пример 3.4. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [-1, 1] полиномом четвертой степени.
Решение. Полином Q4(х) будем искать в виде
где цk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) — полученные с помощью полиномов Чебышева функции.
Коэффициенты сk рассчитаны в системе MathCad (см. приложение С).
Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.4), получаем:
График полученной функции приведен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 — Результат примеров аппроксимации (примеры 3.3 и 3.4)
Из рисунка 3.2 видно, что аппроксимация не достаточно точная. Чтобы повысить точность аппроксимации, нужно брать большую степень полинома. Это следует из тождества Бесселя:
При увеличении n (степени полинома), сумма полинома не уменьшается, а, следовательно, отклонение не увеличивается.
Многочлены Лежандра
Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке [math]\displaystyle< [-1,\;1] >[/math] в пространстве [math]\displaystyle< L^2 >[/math] . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов [math]\displaystyle < \<1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots\>>[/math] ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
Содержание
Определение
Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода
| [math]\displaystyle< (1-z^2) \frac<\mathrm d^2u><\mathrm dz^2>-2z\frac<\mathrm du> <\mathrm dz>+ n(n+1)u = 0, >[/math] | (1) |
где [math]\displaystyle< z >[/math] — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых [math]\displaystyle< n >[/math] имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени [math]\displaystyle< n >[/math] можно представить через формулу Родрига в виде [1]
Часто вместо [math]\displaystyle< z >[/math] записывают косинус полярного угла:
Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра
| [math]\displaystyle< (1-z^2) \frac<\mathrm d^2u><\mathrm dz^2>-2z\frac<\mathrm du> <\mathrm dz>+ \left[ \nu(\nu+1) — \frac<\mu^2><1-z^2>\right]u = 0, >[/math] | (2) |
где [math]\displaystyle< \mu >[/math] , [math]\displaystyle< \nu >[/math] — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при [math]\displaystyle< |z| \lt 1 >[/math] (в частности, при действительных [math]\displaystyle< z >[/math] ) или когда действительная часть числа [math]\displaystyle< z >[/math] больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида [math]\displaystyle < w = (z^2-1)^<\mu/2>>[/math] в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области [math]\displaystyle< |1 - z| \lt 2 >[/math] принимает вид
где [math]\displaystyle< F >[/math] — гипергеометрическая функция. Подстановка [math]\displaystyle< w = z^2 >[/math] в (2) приводит к решению вида
определённым на [math]\displaystyle< |z|\gt 1 >[/math] . Функции [math]\displaystyle< P_\nu^\mu(z) >[/math] и [math]\displaystyle< Q_\nu^\mu(z) >[/math] называют функциями Лежандра первого и второго рода. [2]
Выражение через суммы
Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:
Рекуррентная формула
Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при [math]\displaystyle< n \geqslant 1 >[/math] ) [4] :
| [math]\displaystyle< P_ |
(3) |
причём первые две функции имеют вид
Производная полинома Лежандра
Вычисляется по формуле [5]
| [math]\displaystyle< P'_ |
(4) |
Корни полинома Лежандра
Вычисляются итеративно по методу Ньютона [5] :
причём начальное приближение для [math]\displaystyle< i >[/math] -го корня ( [math]\displaystyle< i = 1,\;2,\;\ldots,\;n >[/math] ) берётся по формуле [5]
Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.
Формулы с разложениями
Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:
Присоединённые многочлены Лежандра
Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле
которую также можно представить в виде
При [math]\displaystyle< m = 0 >[/math] функция [math]\displaystyle< P^m_n >[/math] совпадает с [math]\displaystyle< P_n >[/math] .
Нормировка по правилу Шмидта
Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом [6] :
Сдвинутые многочлены Лежандра
Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как [math]\displaystyle< \tilde
Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как
Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является
Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:
| n | [math]\displaystyle< \tilde |
|---|---|
| 0 | [math]\displaystyle< 1 >[/math] |
| 1 | [math]\displaystyle< 2x - 1 >[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle< 6x^2 - 6x + 1 >[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle< 20x^3 - 30x^2 + 12x - 1 >[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle< 70x^4 - 140x^3 + 90x^2 - 20x + 1 >[/math] |
Матрица функции многочлена Лежандра
Примеры
Первые многочлены Лежандра в явном виде:
[math]\displaystyle< P_0(x) = 1, >[/math] [math]\displaystyle< P_1(x) = x, >[/math] [math]\displaystyle< P_2(x) = \frac<1> <2>(3x^2 — 1), >[/math] [math]\displaystyle< P_3(x) = \frac<1> <2>(5x^3 — 3x), >[/math] [math]\displaystyle< P_4(x) = \frac<1> <8>(35x^4 — 30x^2 + 3), >[/math] [math]\displaystyle< P_5(x) = \frac<1> <8>(63x^5 — 70x^3 + 15x), >[/math] [math]\displaystyle< P_6(x) = \frac<1> <16>(231x^6 — 315x^4 + 105x^2 — 5), >[/math] [math]\displaystyle< P_7(x) = \frac<1> <16>(429x^7 — 693x^5 + 315x^3 — 35x), >[/math] [math]\displaystyle< P_8(x) = \frac<1> <128>(6435x^8 — 12\,012x^6 + 6930x^4 — 1260x^2 + 35), >[/math] [math]\displaystyle< P_9(x) = \frac<1> <128>(12\,155x^9 — 25\,740x^7 + 18\,018x^5 — 4620x^3 + 315x), >[/math] [math]\displaystyle< P_<10>(x) = \frac<1> <256>(46\,189x^ <10>— 109\,395x^8 + 90\,090x^6 — 30\,030x^4 + 3465x^2 — 63), >[/math] [math]\displaystyle< P_<11>(x) = \frac<1> <256>(88\,179x^ <11>— 230\,945x^9 + 218\,790x^7 — 90\,090x^5 + 15\,015x^3 — 693x), >[/math] [math]\displaystyle< P_<12>(x) = \frac<1> <1024>(676\,039x^ <12>— 1\,939\,938x^ <10>+ 2\,078\,505x^8 — 1\,021\,020x^6 + 225\,225x^4 — 18\,018x^2 + 231), >[/math] [math]\displaystyle< P_<13>(x) = \frac<1> <1024>(1\,300\,075x^ <13>— 4\,056\,234x^ <11>+ 4\,849\,845x^9 — 2\,771\,340x^7 + 765\,765x^5 — 90\,090x^3 + 3003x), >[/math] [math]\displaystyle< P_<14>(x) = \frac<1> <2048>(5\,014\,575x^ <14>— 16\,900\,975x^ <12>+ 22\,309\,287x^ <10>— 14\,549\,535x^8 + 4\,849\,845x^6 — 765\,765x^4 + 45\,045x^2 — 429), >[/math] [math]\displaystyle< P_<15>(x) = \frac<1> <2048>(9\,694\,845x^ <15>— 35\,102\,025x^ <13>+ 50\,702\,925x^ <11>— 37\,182\,145x^9 + 14\,549\,535x^7 — 2\,909\,907x^5 + 255\,255x^3 — 6435x), >[/math] [math]\displaystyle< P_<16>(x) = \frac<1> <32768>(300540195x^ <16>— 1163381400x^ <14>+ 1825305300x^ <12>— 1487285800x^ <10>+ 669278610x^ <8>— 162954792x^ <6>+ 19399380x^ <4>— 875160x^ <2>+ 6435), >[/math] [math]\displaystyle< P_<17>(x) = \frac<1> <32768>(583\,401\,555x^ <17>— 2\,404\,321\,560x^ <15>+ 4\,071\,834\,900x^ <13>— 3\,650\,610\,600x^ <11>+ 1\,859\,107\,250x^9 — 535\,422\,888x^7 + 81\,477\,396x^5 — 5\,542\,680x^3 + 109\,395x). >[/math]
Поскольку [math]\displaystyle< P_n(1) = 1 >[/math] , то
Свойства
- Если [math]\displaystyle< n \neq 0 >[/math] , то [math]\displaystyle< \forall x\in(-1,\;1) \quad |P_n(x)| \lt 1. >[/math]
- Для [math]\displaystyle< n \neq 0 >[/math] степень [math]\displaystyle< P_n >[/math] равна [math]\displaystyle< n >[/math] .
- Сумма коэффициентов многочлена Лежандра [math]\displaystyle< P_n(x) >[/math] равна 1.
- Уравнение [math]\displaystyle< P_n(x) = 0 >[/math] имеет ровно [math]\displaystyle< n >[/math] различных корней на отрезке [math]\displaystyle< [-1,\;1]. >[/math]
- Пусть [math]\displaystyle< \forall n \in \N \quad U_n(x) = (x^2 - 1)^n >[/math] . Тогда [math]\displaystyle< U'_
- Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения [math]\displaystyle< \frac
\left[(1 — x^2) \frac P_n(x)\right] — \frac
-
для многочленов Лежандра равна [math]\displaystyle< \sum_
- Условие ортогональности этих полиномов на отрезке [math]\displaystyle< [-1,\;1] >[/math] : [math]\displaystyle< \int\limits_<-1>^1 P_k(x) P_l(x)\,dx = \frac<2><2k + 1>\delta_
, >[/math]
- Для [math]\displaystyle< n \in \N >[/math] норма [math]\displaystyle< P_n >[/math] равна [math]\displaystyle< \|P_n\| = \sqrt<\int\limits_<-1>^1 P_n^2(x)\,dx> = \sqrt<\frac<2><2n + 1>>. >[/math]
- Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой [math]\displaystyle< P_n >[/math] следующим соотношением: [math]\displaystyle< \tilde P_n(x) = \frac
- При каждом [math]\displaystyle< m \gt 0 >[/math] система присоединённых функций Лежандра [math]\displaystyle< P^m_n(x),\ n = m,\;m + 1,\;\ldots >[/math] полна в [math]\displaystyle< L_2(-1,\;1) >[/math] .
- В зависимости от [math]\displaystyle< m >[/math] и [math]\displaystyle< n >[/math] присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями: [math]\displaystyle< P^m_n(-x)=(-1)^
- [math]\displaystyle< P_n(1) = 1. >[/math]
- [math]\displaystyle< P_n(-1) = (-1)^n. >[/math]
- [math]\displaystyle< P_<2n>(0) = \frac<1><2^<2n>> \sum_
\binom<4n - 2k><2n>0^ <2n-2k>= \frac<1><2^<2n>> (-1)^n \binom<2n> >[/math] , поскольку [math]\displaystyle < \forall k \neq n \quad 0^<2n-2k>= 0 >[/math] , а [math]\displaystyle < 0^<2n-2n>= 1 >[/math] . - Для [math]\displaystyle< n \neq 0 >[/math] выполняется [math]\displaystyle< P_<2n>(0) \leqslant \frac<1><\sqrt<\pi n>> >[/math] .
- [math]\displaystyle< \forall x\in[-1,\;1],\;\forall n\in\N^* \quad |P_n(x)|\leqslant \sqrt<\frac<2><\pi n(1 - x^2)>>. >[/math]
Ряды многочленов Лежандра
Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
Липшицевая функция [math]\displaystyle< f >[/math] является функцией со свойством
Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.
Пусть [math]\displaystyle< \varepsilon(I) >[/math] — пространство непрерывных отображений на отрезке [math]\displaystyle< I = [-1,\;1] >[/math] , [math]\displaystyle< f \in \varepsilon(I) >[/math] , и [math]\displaystyle< n \in \N >[/math] .
тогда [math]\displaystyle< c_n(f) >[/math] удовлетворяет следующему условию:
Пусть [math]\displaystyle< S_n f = \sum_
- [math]\displaystyle< \forall x \in I \quad S_n f(x) = \int\limits_<-1>^1 K_n(x,\;y) f(y)\,dy >[/math] , где [math]\displaystyle< K_n(x,\;y) = \frac
<2>\frac ; >[/math] - [math]\displaystyle< S_n f(x) - f(x) = \int\limits_<-1>^1 K_n(x,\;y) \big(f(y) — f(x)\big)\,dy; >[/math]
- [math]\displaystyle < \forall x \in[-1,1] \quad \lim_
Липшицеву функцию [math]\displaystyle< f >[/math] можно записать следующим образом:
[math]\displaystyle< f = \sum_
Разложение голоморфной функции
Всякая функция [math]\displaystyle< f >[/math] , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:
[math]\displaystyle< f(x) = \sum_
Теорема сложения
Для величин, удовлетворяющих условиям [math]\displaystyle< 0\leqslant \psi_1 \lt \pi >[/math] , [math]\displaystyle< 0\leqslant \psi_2 \lt \pi >[/math] , [math]\displaystyle< \psi_1 + \psi_2 \lt \pi >[/math] , [math]\displaystyle< \varphi >[/math] — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода: [7]
или, в альтернативной форме через гамма-функцию:
Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как [8]
Функции Лежандра
Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра [math]\displaystyle< P_
Шаровые функции — это функции (в сферических координатах [math]\displaystyle< r,\;\theta,\;\varphi >[/math] ) вида (с точностью до константы)
где [math]\displaystyle< P^m_n >[/math] — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде [math]\displaystyle < r^n Y_
Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в [math]\displaystyle< \R^3 >[/math] .
В чем прелесть полиномов лежандра
В уравнении для обычно переходят от переменной к переменной Тогда уравнение принимает вид
Это уравнение называется обобщенным уравнением Лежандра, а его решения — присоединенными функциями Лежандра. Прежде чем анализировать уравнение (3.9), найдем решение в виде степенного ряда для обыкновенного дифференциального уравнения Лежандра, соответствующего
Для того чтобы искомое решение имело физический смысл электростатического потенциала, оно должно быть однозначно, конечно и непрерывно в интервале. Будем искать решение в виде ряда
где а — пока не определенный параметр. Подставляя это разложение в (3.10), получаем ряд
В этом разложении коэффициенты перед всеми степенями должны в отдельности обращаться в нуль. Для отсюда следует, что:
Для остальных j получаем соотношение
Как легко видеть, оба соотношения (3.13) эквивалентны, и достаточно считать, что лишь один из коэффициентов отличен от нуля. Считая мы получаем для а два значения: Из (3.14) следует, что разложение в ряд содержит только четные степени (при или только нечетные степени (при
Можно показать, что оба полученных ряда (соответствующие ) обладают следующими свойствами:
а) ряд сходится при при всех значениях
б) ряд расходится при если только он не обрывается.
Поскольку мы ищем решение, которое конечно при так же как и при необходимо потребовать, чтобы ряд обрывался. Так как а и j — целые неотрицательные числа или нуль, то из рекуррентной формулы (3.14) следует, что ряд обрывается лишь в том случае, когда I равно нулю или положительному целому числу. Но и в этом случае лишь один из двух рядов будет конечен при Если I четно, то конечен ряд для если нечетно, то конечен ряд для В обоих случаях старший: член пропорционален следующий 2 и т. д. до при четном или до при нечетном Эти многочлены принято нормировать так, чтобы при они обращались в единицу. Они называются полиномами Лежандра порядка Приведем несколько первых полиномов Лежандра:
Исходя из формул (3.11) и (3.14), полиномы Лежандра, представляемые в виде разложения по степеням можно преобразовать к весьма компактному виду, известному под названием формулы Родрига:
Эта формула может быть получена и другим, более изящным путем, в частности с помощью -кратного интегрирования уравнения (3.10).
Полиномы Лежандра образуют полную систему функций, ортогональных на интервале . Для доказательства ортогональности
можно использовать непосредственно дифференциальное уравнение (3.10). Напишем дифференциальное уравнение для умножим его на и проинтегрируем по интервалу
Интегрируя первый член по частям, находим
Вычитая из (3.18) такое же равенство с заменой I на и наоборот, приходим к условию ортогональности
При входящий в (3.19) интеграл должен быть равен нулю, а при он будет конечным. Чтобы вычислить значение этого интеграла, нужно воспользоваться явным представлением полиномов Лежандра, например формулой Родрига. При этом интеграл принимает вид
Интегрируя l раз по частям, получаем
В результате -кратного дифференцирования величины получим константу так что
Легко показать, что интеграл в (3.20) равен следовательно, условие ортогональности можно записать так:
а ортонормированные функции (см. гл. 2, § 9) имеют вид
Поскольку полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций, любая функция может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра на
Это разложение имеет вид
Рассмотрим для примера функцию, изображенную на фиг. 3.2:
Поскольку при нечетных полином нечетен относительно а при четных четен, отличны от нудя только коэффициенты с нечетным Таким образом, для нечетных имеем
Вычисляя последний интеграл с помощью формулы Родрига, найдем
где Таким образом, ряд для имеет вид
Полиномы Лежандра различного порядка связаны определенными рекуррентными соотношениями, которые оказываются весьма полезными при вычислении интегралов, нахождении полиномов высокого порядка по полиномам низкого порядка и т. п. Из формулы Родрига легко вывести соотношение
Комбинируя это соотношение с дифференциальным уравнением (3.10), можно получить целый ряд рекуррентных формул, например:
Для иллюстрации применения этих рекуррентных соотношений вычислим интеграл
Из первой формулы (3.29) найдем выражение для Подставляя его в (3.30), приведем интеграл к виду
Из условия ортогональности (3.21) следует, что интеграл отличен от нуля лишь при и равен при этом
Правые части в (3.31) фактически одинаковы, отличаясь лишь заменой I на Аналогично можно показать, что