Сколько осей симметрии у восьмиугольника

сколько осей симметрии имеет правильном треугольнике, четырехугольники, в шестиугольнике, восьмиугольнике.

ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС. ПОМОГИТЕ В прямоугольном треугольнике СЕК высота СР делит гипотенузу КЕ на отрезки КР и РЕ. КС = 8, КР = 4. Найдите КЕ.

ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС. ПОМОГИТЕ В прямоугольном треугольнике СЕК высота СР делит гипотенузу КЕ на отрезки КР и РЕ. КС = 8, КР = 4. Найдите КЕ.

3. В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С 90°) катеты ВС = 8 см, АС = 15 см. Найдите синус, косинус и тангенс угла Аи В.

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Ребят, помогите пожалуйста, очень нужно.

Меркурий виден по вечерам в начале апреля, когда наступят следующие благоприятные условия для его весеннего наблюдения, звёздный период обращения меркурия 88 суток, период обращения земли вокруг солнца 365 суток

Восьмиугольник — Octagon

В геометрии , восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon , «восемь углов») представляет собой восьмигранный многоугольник или 8-угольник.

Регулярный восьмиугольник имеет символ шлефли <8>, а также может быть выполнен в виде квазирегулярная усеченный квадрат , т <4>, который чередуется два типа ребер. Усеченный восьмиугольник t <8>представляет собой шестиугольник <16>. Трехмерным аналогом восьмиугольника может быть ромбокубооктаэдр с треугольными гранями на нем, подобными замененным ребрам, если рассматривать восьмиугольник как усеченный квадрат.

СОДЕРЖАНИЕ

Свойства общего восьмиугольника

Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080 °. Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.

Если все квадраты построены изнутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равдиагональным, так и ортодиагональным (то есть, диагонали которого равны по длине и расположены справа). углы друг к другу).

Середина восьмиугольник ссылочного восьмиугольника имеет свои восемь вершин на серединах сторон опорного восьмиугольника. Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника средней точки, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата.

Правильный восьмиугольник

Регулярный восьмиугольник закрытая фигура со сторонами одинаковой длины и внутренних углов одного и того же размера. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 8-го порядка. Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли <8>. Внутренний угол в каждой вершине правильного восьмиугольника составляет 135 ° ( радиан ). Центральный угол равен 45 ° ( в радианах). 3 π 4 <\ displaystyle \ scriptstyle <\ frac <3 \ pi><4>>> π 4 <\ displaystyle \ scriptstyle <\ frac <\ pi><4>>>

Область

Площадь правильного восьмиугольника со стороной а определяется выражением

А знак равно 2 детская кроватка ⁡ π 8 а 2 знак равно 2 ( 1 + 2 ) а 2 ≃ 4,828 а 2 . <\ displaystyle A = 2 \ cot <\ frac <\ pi><8>> a ^ <2>= 2 (1 + <\ sqrt <2>>) a ^ <2>\ simeq 4.828 \, a ^ < 2>.>

С точки зрения радиуса описанной окружности R , площадь равна

В терминах апофемы r (см. Также вписанный рисунок ) площадь равна

Эти последние два коэффициента заключают в скобки значение пи , площадь единичного круга .

Площадь также можно выразить как

где S — размах восьмиугольника или второй по длине диагонали; и длина одной из сторон, или оснований. Это легко проверить, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются с четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это 45–45–90 треугольников ). и размещает их так, чтобы прямые углы были направлены внутрь, образуя квадрат. Края этого квадрата равны длине основания.

Учитывая длину стороны a , промежуток S равен

Таким образом, пролет равен соотношению серебра, умноженному на сторону a.

Тогда область будет такой, как указано выше:

Выраженная в размахе, площадь равна

Еще одна простая формула для площади:

А знак равно 2 а S .

Чаще известен пролет S , а длина сторон a должна быть определена, как при разрезании квадратного куска материала на правильный восьмиугольник. Из вышеизложенного

Две конечные длины e с каждой стороны (длины сторон треугольников (зеленые на изображении), усеченные из квадрата), а также be могут быть рассчитаны как е знак равно а / 2 , <\ displaystyle e = a / <\ sqrt <2>>,>

Циркумрадиус и внутренний радиус

Описанной окружности регулярного восьмиугольника с точки зрения длиной стороны а является

(это половина отношения серебра, умноженная на сторону, a , или половину размаха, S )

Диагонали

С точки зрения длины стороны a правильный восьмиугольник имеет три различных типа диагоналей :

• Короткая диагональ;
• Средняя диагональ (также называемая размахом или высотой), которая в два раза превышает длину внутреннего радиуса;
• Длинная диагональ, которая в два раза превышает длину описанной окружности.

Формула для каждого из них следует из основных принципов геометрии. Вот формулы для их длины:

• Короткая диагональ: ; а 2 + 2 <\ displaystyle a <\ sqrt <2 + <\ sqrt <2>>>>>
• Средняя диагональ: ; ( отношение серебра, умноженное на а) ( 1 + 2 ) а <\ displaystyle (1 + <\ sqrt <2>>) а>
• Длинная диагональ: . а 4 + 2 2 <\ displaystyle a <\ sqrt <4 + 2 <\ sqrt <2>>>>>

Конструкция и элементарные свойства

Правильный восьмиугольник в данной описанной окружности может быть построен следующим образом:

1. Нарисуйте круг и диаметр AOE, где O — центр, а A, E — точки на описанной окружности.
2. Нарисуйте ГОК другого диаметра, перпендикулярно AOE.
3. (Попутно заметим, что A, C, E, G — вершины квадрата).
4. Нарисуйте биссектрисы прямых углов GOA и EOG, образуя еще два диаметра HOD и FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H — вершины восьмиугольника.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля , так как 8 = 2 3 , степень двойки :

Правильный восьмиугольник можно сконструировать из металлических брусьев. Требуется двенадцать стержней размера 4, три стержня размера 5 и два стержня размера 6.

Каждая сторона правильного восьмиугольника образует половину прямого угла в центре круга, соединяющего его вершины. Таким образом, его площадь можно вычислить как сумму 8 равнобедренных треугольников, что приведет к результату:

для восьмиугольника стороны а .

Стандартные координаты

Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

• (± 1, ± (1+ √ 2 ))
• (± (1+ √ 2 ), ± 1).

Расслоение

8-кубическая проекция	24 рассечение ромба
	Обычный	Изотоксал

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного восьмиугольника , м = 4, и она может быть разделена на 6 ромбов, с одним примером , показанным ниже. Это разложение можно увидеть как 6 из 24 граней в плоскости проекции многоугольника Петри тессеракта . Список (последовательность A006245 в OEIS ) определяет количество решений как 8 по 8 ориентациям этого одного разреза. Эти квадраты и ромбы используются в мозаиках Амманна – Бенкера .

Рассеченный правильный восьмиугольник

Тессеракт

4 ромба и 2 квадрата

Наклонный восьмиугольник

Перекос восьмиугольника является перекос многоугольник с 8 вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренний вид такого восьмиугольника обычно не определяется. У косого зигзагообразного восьмиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос восьмиугольника является вершиной-симметрический с равными длинами ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный скошенный восьмиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях квадратной антипризмы с той же симметрией D _4d , [2 + , 8], порядка 16.

Полигоны Петри

Правильный косой восьмиугольник — это многоугольник Петри для этих многомерных регулярных и однородных многогранников , показанных в этих косых ортогональных проекциях на плоскости Кокстера A ₇ , B ₄ и D ₅ .

А 7	D 5	В 4
7-симплекс	5-полукруглый	16 ячеек	Тессеракт

Симметрия восьмиугольника

Симметрия

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии отражений синие по вершинам, пурпурные по краям, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет DIH ₈ симметрии, порядка 16. Есть 3 двугранные подгруппы: DIH ₄ , DIH ₂ и DIH ₁ , и 4 — циклические подгруппы : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , последние не подразумевает никакой симметрии .

Пример восьмиугольника по симметрии

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
а1

На правильном восьмиугольнике есть 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r16 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g для их центральных порядков вращения. Полная симметрия регулярной формы равна r16, а симметрия не помечена как a1 .

Наиболее распространенными восьмиугольниками с высокой симметрией являются p8 , изогональный восьмиугольник, построенный из четырех зеркал, может чередоваться длинные и короткие края, и d8 , изотоксальный восьмиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного восьмиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные грани .

Использование восьмиугольников

Восьмиугольная форма используется как элемент дизайна в архитектуре. Купол Скалы имеет характерный восьмиугольный план. Башня ветров в Афинах является еще одним примером восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план также использовался в церковной архитектуре, такой как собор Святого Георгия, Аддис-Абеба , базилика Сан-Витале (в Равенне, Италия), Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), баптистерий Флоренции , церковь Цум-Фридефюрстен (Германия) и количество восьмиугольных церквей в Норвегии . Центральное пространство Ахенского собора , Палатинская капелла Каролингов , имеет правильную восьмиугольную планировку. Использование восьмиугольника в церквах также включает в себя меньшие элементы дизайна, такие как восьмигранная апсида из Nidaros собора .

Такие архитекторы, как Джон Эндрюс , использовали восьмиугольную планировку этажей в зданиях для функционального отделения офисных помещений от строительных услуг, в частности, штаб-квартиру Intelsat в Вашингтоне, округ Колумбия, офисы Callam в Канберре и офисы Octagon в Парраматте , Австралия.

Другое использование

Зонты часто имеют восьмиугольный контур.

В знаменитом ковре «Бухара » использован мотив восьмиугольной «слоновьей ноги».

Улица и блок макет Барселона «s Эшампль района базируются на нерегулярных восьмиугольниках

Чанги использует восьмиугольные фигуры.

Японские лотереи часто имеют восьмиугольную форму.

Знак «Стоп» используется в англоязычных странах, а также в большинстве европейских стран.

Значок знака остановки с рукой посередине.

Триграммы даосского багуа часто располагаются восьмиугольником.

Знаменитая восьмиугольная золотая чаша с места кораблекрушения Белитунг

Занятия в Shimer College традиционно проходят за восьмиугольными столами.

Движение аналогового стика (ами) контроллера Nintendo 64 , то контроллер GameCube , то Wii Nunchuk и классический контроллер ограничивается повернутой восьмиугольной области, позволяя придерживаться двигаться только в восьми разных направлениях.

Производные цифры

Усеченная квадратная плитка имеет 2 восьмиугольников вокруг каждую вершины.

Восьмиугольная призма содержит два восьмиугольных лиц.

Восьмиугольной антипризма содержит два восьмиугольные лица.

Усечен кубооктаэдр содержит 6 восьмиугольные лица.

Omnitruncated кубических сот

Связанные многогранники

Восьмиугольника , как усеченная площадь , является первым в последовательности усеченных гиперкуб :

Усеченные гиперкубы

Изображение								.
Имя	Восьмиугольник	Усеченный куб	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Усеченный 7-куб	Усеченный 8-куб
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины	() v ()	() v <>	() v	() v	() v	() v	() v

Как расширенный квадрат, он также является первым в последовательности расширенных гиперкубов:

Восьмиугольник — Octagon

В геометрии, восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon, «восемь angles ») представляет собой восьмиугольник многоугольник или 8-угольник.

A правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли <8>, а также может быть построен как квазирегулярный усеченный квадрат, t <4>, в котором чередуются два типа ребер. Усеченный восьмиугольник, t <8>— это шестиугольник, <16>. 3D-аналог восьмиугольника может быть ромбокубооктаэдром с треугольными гранями на нем, как замененные ребра, если считать восьмиугольник усеченным квадратом (а это так).

Содержание

• 1 Свойства общего восьмиугольника
• 2 Правильный восьмиугольник
  • 2.1 Площадь
  • 2.2 Окружной радиус и внутренний радиус
  • 2.3 Диагонали
  • 2.4 Конструкция и элементарные свойства
  • 2.5 Стандартные координаты
  • 2.6 Рассечение
  • 3.1 Многоугольники Петри
  • 5.1 Другое использование
  • 6.1 Связанные многогранники

  Свойства общего восьмиугольника

  Диагонали зеленого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу

  Сумма всех внутренние углы любого восьмиугольника — 1080 °. Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.

  Если квадраты построены полностью внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который одновременно равнодиагонален и ортодиагональный (то есть диагонали которого равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу).

  восьмиугольник средней точки эталонного восьмиугольника имеет восемь вершин в средних точках сторон эталонного восьмиугольника. Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах среднего восьмиугольника, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата.

  Правильный восьмиугольник

  A Правильный восьмиугольник представляет собой замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии порядка 8. Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли <8>. Внутренний угол в каждой вершине правильного восьмиугольника равен 135 ° ( 3 π 4 <\ displaystyle \ scriptstyle <\ frac <3 \ pi><4>>> радиан ). Центральный угол равен 45 ° ( π 4 <\ displaystyle \ scriptstyle <\ frac <\ pi><4>>> радиан).

  Площадь

  Площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны a определяется как

  A = 2 кроватки ⁡ π 8 a 2 = 2 (1 + 2) a 2 ≃ 4.828 a 2. <\ displaystyle A = 2 \ cot <\ frac <\ pi><8>> a ^ <2>= 2 (1 + <\ sqrt <2>>) a ^ <2>\ simeq 4.828 \, a ^ < 2>.>

  С точки зрения радиуса описанной окружности R, площадь равна

  A = 4 sin ⁡ π 4 R 2 = 2 2 R 2 ≃ 2,828 R 2. <\ displaystyle A = 4 \ sin <\ frac <\ pi><4>> R ^ <2>= 2 <\ sqrt <2>> R ^ <2>\ simeq 2.828 \, R ^ <2>.>

  В терминах апофемы r (см. Также вписанный рисунок ) площадь

  A = 8 tan ⁡ π 8 r 2 = 8 (2 — 1) г 2 ≃ 3,314 г 2. <\ displaystyle A = 8 \ tan <\ frac <\ pi><8>> r ^ <2>= 8 (<\ sqrt <2>> — 1) r ^ <2>\ simeq 3.314 \, r ^ < 2>.>

  Последние два коэффициента заключают в скобки значение pi, площадь единичной окружности .

  область правильный восьмиугольник можно вычислить как усеченный квадрат.

  Площадь также можно выразить как

  где S — длина восьмиугольника или вторая по длине диагональ; а — длина одной из сторон или оснований. Это легко доказать, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются с четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это 45–45– 90 треугольников ) и размещает их прямыми углами внутрь, образуя квадрат. Края этого квадрата равны длине основания.

  Учитывая длину стороны a, пролет S равен

  Тогда размах равен соотношению серебра, умноженному на сторону, a.

  Тогда площадь будет такой, как указано выше:

  A = ((1 + 2) a) 2 — a 2 = 2 (1 + 2) a 2 ≈ 4.828 a 2. <\ displaystyle A = ((1 + <\ sqrt <2>>) a) ^ <2>-a ^ <2>= 2 (1 + <\ sqrt <2>>) a ^ <2>\ приблизительно 4,828 a ^ <2>.>

  Выраженная в размахе, площадь равна

  A = 2 (2 — 1) S 2 ≈ 0,828 S 2. <\ displaystyle A = 2 (<\ sqrt <2>> — 1) S ^ <2>\ приблизительно 0,828S ^ <2>.>

  Другая простая формула для вычисления площади:

  Чаще известен промежуток S, и необходимо определять длину сторон a, как при разрезании квадратного куска материала на правильный восьмиугольник. Исходя из вышеизложенного,

  Две конечные длины e с каждой стороны (длины сторон треугольников (зеленые на изображении), усеченные из квадрата), а также e = a / 2, <\ displaystyle e = a / <\ sqrt <2>>,> можно вычислить как

  Окружной радиус и внутренний радиус

  Окружной радиус правильного восьмиугольника с точки зрения длины стороны a равен

  (это половина отношения серебра умноженное на сторону, a, или половину размаха, S)

  Диагонали

  Правильный восьмиугольник с точки зрения длины стороны a имеет три различных типа диагоналей :

  • Короткая диагональ;
  • Средняя диагональ (также называемая размахом или высотой), которая в два раза больше внутреннего радиуса;
  • Длинная диагональ, которая в два раза превышает длину окружного радиуса.

  Формула для каждого из них следует из основных принципов геометрии. Вот формулы для их длины:

  • Короткая диагональ: a 2 + 2 <\ displaystyle a <\ sqrt <2 + <\ sqrt <2>>>>> ;
  • Средняя диагональ: (1 + 2) a <\ displaystyle (1 + <\ sqrt <2>>) a> ; (соотношение серебра умноженное на a)
  • Длинная диагональ: a 4 + 2 2 <\ displaystyle a <\ sqrt <4 + 2 <\ sqrt <2>>>>> .

  Конструкция и элементарные свойства

  построение правильного восьмиугольника путем складывания листа бумаги

  Правильный восьмиугольник по заданной описанной окружности может быть построен следующим образом:

  1. Нарисуйте круг и диаметр AOE, где O — центр и A, E — точки на описанной окружности.
  2. Нарисуйте еще один диаметр GOC, перпендикулярный AOE.
  3. (Попутно обратите внимание, что A, C, E, G — вершины квадрата
  4. Нарисуйте биссектрисы прямых углов GOA и EOG, образуя еще два диаметра HOD и FOB.
  5. A, B, C, D, E, F, G, H — это диаметры вершины восьмиугольника.

  регулярный восьмиугольник можно построить с помощью линейки и компаса, так как 8 = 2, степень двойки :

  Конструкция восьмиугольника Meccano uction.

  Правильный восьмиугольник может быть построен из механических стержней. Нам нужно двенадцать стержней размера 4, три стержня размера 5 и два стержня размера 6.

  Каждая сторона правильного восьмиугольника образует половину прямого угла в центре круга, соединяющего его вершины. Таким образом, его площадь можно вычислить как сумму 8 равнобедренных треугольников, что дает результат:

  для восьмиугольника со стороной a.

  Стандартные координаты

  Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

  • (± 1, ± (1 + √2))
  • (± (1 + √2), ± 1).

  Рассечение

  8-кубовое проекция	Рассечение 24 ромба
  	. Обычное	. Изотоксальное

  Коксетер утверждает, что каждый зоногон (двухметровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на m (m-1) / 2 параллелограмма. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного восьмиугольника m = 4, и его можно разделить на 6 ромбов, с одним примером, показанным ниже. Это разложение можно увидеть как 6 из 24 граней в плоскости проекции многоугольника Петри тессеракта . Список (последовательность A006245 в OEIS ) определяет количество решений как 8 по 8 ориентациям этого одного разреза. Эти квадраты и ромбы используются в мозаиках Амманна – Бенкера.

  Рассеченный правильный восьмиугольник

  . Тессеракт

  . 4 ромба и 2 квадрата

  Наклонный восьмиугольник

  Правильный косой восьмиугольник, видимый как края квадратная антипризма, симметрия D 4d, [2,8], (2 * 4), порядок 16.

  A наклонный восьмиугольник — это наклонный многоугольник с 8 вершинами и ребрами, но не находящихся в одной плоскости. Внутреннее пространство такого восьмиугольника в целом не определено. У косого зигзагообразного восьмиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

  A правильный скошенный восьмиугольник — это вершинно-транзитивный с равной длиной ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный восьмиугольник, который будет виден в вершинах и боковых гранях квадратной антипризмы с тем же D 4d, [2,8] симметрия, порядок 16.

  многоугольники Петри

  Правильный косой восьмиугольник — это многоугольник Петри для этих многомерных правильных и однородных многогранников, показанных в этих наклонных ортогональных проекциях из плоскостей A 7, B 4 и D 5Кокстера.

  A7	D5	B4
  . 7-симплекс	. 5-полукуб	. 16-элементный	. Тессеракт

  Симметрия

  Симметрия

  11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии отражений синие по вершинам, пурпурные по краям, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

  Правильный восьмиугольник имеет симметрию Dih 8, порядок 16. Существует 3 двугранных подгруппы: Dih 4, Dih 2 и Dih 1. и 4 циклические подгруппы : Z 8, Z 4, Z 2 и Z 1, последнее подразумевает отсутствие симметрии.

  Пример восьмиугольника по симметрии

  . r16
  . d8	. g8	. p8
  . d4	. g4	. p4
  . d2	. g2	. p2
  . a1

  На правильном восьмиугольнике существует 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r16 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины (d для диагонали) или ребра (p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g за их приказы центрального вращения. Полная симметрия правильной формы — r16, симметрия не обозначена a1.

  . Наиболее распространенными восьмиугольниками высокой симметрии являются p8, изогональный восьмиугольник, построенный из четырех зеркал. может чередовать длинные и короткие края, и d8, изотоксальный восьмиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершинами с чередованием двух разных внутренних углов. Эти две формы являются двойными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного восьмиугольника.

  Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.

  Использование восьмиугольников

  Восьмиугольный план этажа, Купол Скалы.

  Восьмиугольная форма — это используется как элемент дизайна в архитектуре. Купол Скалы имеет характерный восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — еще один пример восьмиугольной конструкции. Восьмиугольный план также использовался в церковной архитектуре, такой как Св. Георгия, Аддис-Абеба, Базилика Сан-Витале (в Равенне, Италия), Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий, Церковь Zum Friedefürsten (Германия) и ряд восьмиугольных церквей в Норвегии. Центральное пространство в Ахенском соборе, Каролингской Палатинской капелле, имеет правильную восьмиугольную планировку. Использование восьмиугольников в церквях также включает меньшие элементы дизайна, такие как восьмиугольная апсида Собора Нидарос.

  Такие архитекторы, как Джон Эндрюс использовали восьмиугольную планировку этажей в зданиях для функциональное отделение офисных площадей от строительных служб, в частности, штаб-квартиры Intelsat в Вашингтоне, округ Колумбия, в Канберре, и офисов Octagon в Парраматта, Австралия.

  Другое применение

  • 

  Зонты часто имеют восьмиугольный контур.

  Знаменитый ковер «Бухара» включает восьмиугольный мотив «слоновьей ноги».

  План улиц и кварталов Барселоны в районе Эшампле основан на неправильных восьмиугольниках

  Джангги использует восьмиугольные части.

  Японские лотерейные автоматы часто имеют восьмиугольную форму.

  Знак остановки, используемый в англоязычных странах, а также в большинстве европейских стран

  Значок знака остановки с рукой посередине.

  Триграммы Таоиста багуа часто расположены восьмиугольником

  Знаменитая восьмиугольная золотая чаша с кораблекрушения Белитунг

  Классы в Колледже Шимер традиционно хранятся вокруг восьмиугольных столов

  Перемещение аналогового джойстика (ов) контроллера Nintendo 64, контроллера GameCube, Wii Nunchuk и Classic Controller ограничен вращающейся восьмиугольной областью, что позволяет ручке перемещаться только в восьми различных направлениях.

  Производные числа

  Усеченная квадратная мозаика имеет 2 восьмиугольника вокруг каждой вершины..

  Восьмиугольная призма содержит две восьмиугольные грани..

  Восьмиугольник антипризма содержит две восьмиугольные грани..

  усеченный кубооктаэдр содержит 6 восьмиугольных граней..

  омниусеченные кубические соты.

  Родственные многогранники

  восьмиугольник, как усеченный квадрат, является первым в последовательности усеченных гиперкубов :

  Усеченных гиперкубов

  Изображение								.
  Имя	Восьмиугольник	Усеченный куб	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-кубик	Усеченный 7-кубический	Усеченный 8-кубический
  Диаграмма Кокстера
  Вершинная фигура	() v ()	. () v <>	. () v	. () v	() v	() v	() v

  Как развернутый квадрат, он также является первым в последовательность расширенных гиперкубов:

  Вписанный и описанный в окружность восьмиугольник

  Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

  • t — длина стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь восьмиугольника
  • k — константа, равная (1+2) >)> ≈ 2,414213562373095

  Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

  Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

  Площадь правильного восьмиугольника:

  Через сторону восьмиугольника

  Через радиус описанной окружности

  Через апофему (высоту)

  Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

  Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

  В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

  Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

  Рис. 3. Правильный восьмиугольник

  Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

  Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

  Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

  Литература

  • Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
  • W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.

  Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.

  Применение восьмиугольников

  Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

  Восьмиугольный план Купола Скалы

  В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

  Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

  Построение

  Точное построение
  

  

  Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
  Проводим её диаметр AB.
  Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
  Отмечаем точку E — середину DO.
  Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
  Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
  Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
  Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
  Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
  Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
  Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N

  Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
  Строим касательную к k₃ через N.

  Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

  Примерное построение
  

  Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

  1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
  2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
  3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
  4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

  Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

  Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

  При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

  Признаки и свойства

  Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

  Стороны равны между собой.
  Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

  Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

  
  Равенство сторон.
  Углы равны по 108 градусов.
  Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
  Количество диагоналей соответствует 5.
  Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
  Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
  Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
  Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

  Другие восемнадцатиугольники фигуры

  Звёздчатые 18 -угольники имеют символы >. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185 > и >. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: > эквивалентен 2 > (двум девятиугольникам), > эквивалентен 3 > (трём шестиугольникам), > и > эквивалентны 2 > и 2 > (двум эннеаграммам), > эквивалентен 6 > (6 равносторонним треугольникам), и, наконец, > эквивалентен 9 > (девять двуугольников).

  Как начертить восьмиугольник с помощью циркуля

  Деление окружности на равные части и по­строение правильных вписанных многоуголь­ников можно выполнить как циркулем, так и с помощью угольников и рейсшины.

  Деление окружности на четыре равные части и построение пра­вильного вписанного четырех­угольника. Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части (рис. 115, а). Соединив точки пе­ресечения этих линий с окружностью прямы­ми, получают правильный вписанный четырех­угольник.

  Деление окружности на восемь равных частей и построение пра­вильного вписанного восьмиуголь­ника. Две взаимно перпендикулярные линии, проведенные под углом 45° к центровым ли­ниям с помощью угольника с углами 45, 45 и 90° и рейсшины (рис. 115, б), вместе с центро­выми линиями разделят окружность на восемь равных частей.

  Деление окружности на восемь равных час­тей можно выполнить циркулем. Для этого из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом делаются засечки до взаимного пересечения, тем же радиусом делают две засечки из точек 3 и 5 (рис. 115, в). Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

  Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то полу­чится правильный вписанный восьмиугольник (рис. 115, в).

  Деление окружности на три рав­ные части и построение правиль­ного вписанного треугольника вы­полняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

  При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, на­пример из точки Л пересечения центровых ли­ний с окружностью (рис. 116, а и б), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной ок­ружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на про­тивоположном конце диаметра, проходящего через точку Л. Последовательно соединив точ­ки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник. При построении правильного впи­санного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого через заданную точку 1 проводят диаметр (рис. 116, в). Точка А будет находить­ся на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R равным ра­диусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

  При делении окружности на три равные час­ти с помощью угольника и рейсшины через точку 1 под углом 60° проводят две прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2 и 3 (рис. 117, а, б), точки 2 и 3 соединяют и получают правильный вписанный треугольник (рис. 117, в).

  Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиуголь­ника выполняют с помощью угольника с уг­лами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диа­метра радиусом, равным радиусу данной окруж­ности, проводят дуги до пересечения с окруж­ностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 118). Последовательно соединив полученные точки, полу­чают правильный вписанный шестиугольник. Деление окружности на шесть равных час-1ен и построение правильного вписанного шестиугольника с помощью угольника и рейс­шины показано на рис. 119 и 120. Деление окружности на двенад­цать равных частей и построение правильного вписанного двенад­цатиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля.

  

  

  При делении окружности циркулем из четы­рех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, рав­ным радиусу данной окружности, дуги до пере­сечения с окружностью (рис. 121). Соединив по­лученные точки, получают двенадцатиугольник.

  При построении двенадцатиугольника с по­мощью угольника и рейсшины точки деления строят, как показано на рис. 119 и 120.

  Деление окружности на пять и десять равных частей и построе­ние правильного вписанного пяти­угольника и десятиугольника пока­зано на рис. 122.

  Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 122, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиу­сом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рис. 122, б). Отрезок 1В равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1 /₅ длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 122, в) радиусом R, равным отрезку 1В, делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки / строят точки 2 и 5 (рис. 122, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пяти­угольник (рис. 122, г).

  Деление окружности на десять равных час­тей выполняют аналогично делению окруж­ности на пять равных частей (рис. 122), но сначала делят окружность на пять частей, на­чиная построение из точки /, а затем из точ­ки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 123, а). Соединив последова­тельно все точки, получают правильный впи­санный десятиугольник (рис. 123, б).

  Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 124 и 125.

  Из любой точки окружности, например точ­ки Л, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 124, а) до пересечения с окруж­ностью в точках В и D. Соединим точки В и D прямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1 /₇ дли­ны окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последова­тельности, показанной на рис. 124, б. Соединив последовательно все точки, получают правиль­ный вписанный семиугольник (рис. 124, в).

  Деление окружности на четырнадцать рав­ных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 125, а).

  Сначала окружность делится на семь рав­ных частей от точки /, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырна-дцатиугольник (рис. 125, б).

  СОПРЯЖЕНИЯ

  Рассматривая детали, видим, что в их конст­рукции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плав­ными, что повышает прочность деталей и де­лает их более удобными в работе. На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

  На рис. 126, а изображена деталь, в которой плавные переходы одних плоскостей в другие представляют собой цилиндрические поверхнос­ти. На чертеже (рис. 126, б) эти плоскости изо­бражены прямыми линиями, а цилиндрические поверхности — дугами окружностей. Плавные переходы от одной прямой к другой в этих случаях выполняются дугой заданного радиуса.

  Плавный переход одной цилиндрической поверхности в другую может являться цилинд­рической поверхностью (рис. 127, а). На черте­же эти цилиндрические поверхности изобра­жены дугами окружностей, (рис. 127, б). В этом случае плавный переход одной дуги окруж­ности в другую осуществляется дугой окруж­ности заданного радиуса.

  На рис. 126, а и 127, а рассмотрены простей­шие примеры плавных переходов поверхностей. В чертежах более сложных деталей плавные переходы между поверхностями изображают­ся различными сочетаниями прямых, окруж­ностей и их дуг. Вариантов таких сочетаний может быть много, но их объединяет од­но — плавность перехода. Такой плавный пе­реход одной линии (поверхности) в другую ли­нию (поверхность) называют сопряжени­ем. При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т. е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания.

  Задачи на сопряжения условно можно раз­делить на три группы.

  Первая группа задачвключает в себя зада­чи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредствен­ное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

  Построение окружности, каса­тельной к прямой, связано с нахождени­ем точки касания и центра окружности.

  Задана горизонтальная прямая АВ, требует­ся построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 128). Точка касания выбирается произвольно. Так как точка касания не задана, то окружность ра­диуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно про­вести множество. Центры этих окружностей (O₁, О₂ и т. д.) будут находиться на одина­ковом расстоянии от заданной прямой, т. е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 128). Назовем эту линию линией центров. Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоя­нии R. Так как центр касательной окруж­ности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например точку О. Прежде чем про­водить касательную окружность, следует опре­делить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точ­ки О на прямую АВ. В пересечении перпендику­ляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

  В детали, которая изображена на рис. 129, а, пластина плавно переходит в цилиндр. При выполнении чертежа этой детали необходимо построить плавный переход прямой в окруж­ность.

  Задача аналогична предыдущей, но до­полнена условием, что точка касания задана, так как задан размер А (рис. 129, б), который определяет величину прямолинейного участка.

  Отложив размер Л, находят точку касания (точку /С), затем из точки К восставляют пер­пендикуляр, на котором откладывают радиус R заданной окружности, и находят центр ок­ружности (точку О). При обводке сначала от точки касания проводится дуга заданного ра­диуса, а потом — прямая.

  Из сказанного следует:

  1) центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

  

  

  Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

  Как начертить правильный всьмиугольник и пяиугольник с помощью циркуля и линейки

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

  Ответ

  Проверено экспертом

  

  Вспомогательная задача:
  Разделить данный отрезок АВ пополам или провести серединный перпендикуляр к отрезку (рис. 1 внизу)
  Из концов отрезка АВ одним и тем же радиусом, большим половины отрезка АВ провести две дуги. Через точки их пересечения проводим прямую. Это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

  Построение правильного восьмиугольника:
  Проводим диаметр АВ. Строим CD — серединный перпендикуляр к АВ.
  Хорду СВ делим пополам — прямая KL.
  Хорду АС делим пополам — прямая MN.
  Соединяем точки A, M, C, K, B, N, D и L. Получили правильный восьмиугольник.

  Построение правильного пятиугольника.
  Строим два перпендикулярных диаметра АВ и CD.
  Делим пополам отрезок ОА — точка Е.
  Из Е радиусом ЕС проводим дугу, которая пересекает ОВ в точке F.
  Из С радиусом CF проводим дугу, которая пересекает окружность в точке G. CG — сторона правильного пятиугольника.
  Проводим радиусом CG из точки G как из центра дугу, которая пересекает окружность в точке K. GK — вторая сторона.
  И т.д.
  Получаем правильный пятиугольник CGKLM.

  Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в атмосфере Сатурна. Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим эту фигуру поподробнее.

  

  • Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
  • Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
  • Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
  • Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2 )/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

  

  Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

  Наверняка каждому из нас приходилось сталкиваться с тем, что нужно срочно что-то начертить, точный угол или многоугольник, а транспортира как нарочно под рукой нет, или Вы вообще никогда раньше ничего не чертили. Сегодня я хочу поделиться с Вами простыми схемами построения фигур на плоскости. Думаю, этот навык пригодится всем. Продолжение статьи:
  http://www.livemaster.ru/topic/383001-postroenie-na-ploskosti-chast-2?ins >

  Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.

  Построение угла в 60

  

  1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.

  2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.

  3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.

  4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.

  Построение угла в 45

  1. Построим угол 60, кака описано выше.

  2. Разделим полученный угол пополам.

  3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.

  Построение угла в 75

  1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

  2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.

  3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.

  Построение угла в 90

  
  

  1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

  2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.

  Разделение отрезка на равные части.

  

  1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.

  2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.

  3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.

  Построение правильного пятиугольника.

  

  1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

  2. Разделим пополам расстояние ОВ. Разведём ножки циркуля на расстояние FC . Из точки F проведём дугу через С. Дуга пересечёт горизонтальную линию в точке G .

  3. Расстояние CG будет длиной стороны пятиугольника. Из вершины С отложим пять раз расстояние CG .

  Построение правильного шестиугольника.

  

  1. Проведём окружность радиусом 50 мм.

  2. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

  3. Из точки А на линии окружности отложим шесть раз радиус нашей окружности. Соединив прямыми точки пересечения, получим шестиугольник.

  Построение правильного семиугольника.

  

  1. Проведём окружность заданного радиуса. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

  2. Из точки D проведём дугу радиусом равным радиусу окружности.

  3. Дуга пересечёт окружность в точках E и G .

  4. Длина отрезка EF на хорде EG равна длине стороны семиугольника. Из вершины С семь раз отложим расстояние EF .

  Общий метод построения многоугольников.

  

  1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии. Продолжим горизонтальную лини. За точки А и В.

  2. Из точки D проведём дугу радиусом, равным радиусу окружности так, чтобы дуга пересекла горизонтальную линию.

  3. При помощи вспомогательной прямой разделим вертикальную линию на столько равных частей, сколько сторон многоугольника требуется получить. Для примера показано построение одиннадцатиугольника.

  4. Из точки Е проведём прямые через нечётные точки раздела вертикальной линии так, чтобы эти прямые пересекли окружность. Такую же операцию проведём из точки G . Полученные лучи пересекают окружность в точках, соединив которые прямыми получаем одиннадцатиугольник.

  Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

  Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.
  
  Полученный пятиугольник — искомый.

  Первый способ построения пятиугольника

  Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

  Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

  Второй способ построения пятиугольника

  Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N₁, Р₁, Q₁, К₁ и соединяем их прямыми.

  Третий способ построения пятиугольника

  На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

  Построение шестиугольника

  Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.
  
  Шестиугольник ADEFGB — искомый.

  «Отделка комнат при ремонте»,
  Н.П.Краснов

  

  Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

  

  Построение вписанных и описанных правильных многоугольников сводится, как уже было сказано, к делению окружности на столько равных частей, сколько в многоугольнике сторон. Однако точное деление окружности путем геометрического построения возможно лишь на 3, 4, 5 и 15 равных частей, а также при делении на число частей, получаемое последовательным удвоением этих чисел. В остальных случаях приходится…

  

  Построение овала (коробовой кривой) по данной длине АВ. Делим длину ЛВ на 3 равные части и из D и Е радиусом DF описываем дуги которые пересекутся в F и G; соединяем D и E c F и G и продолжаем эти прямые, как на фигуре; далее радиусом AD = BE из точек D и Е…

  

  Первый способ построения. Проводим горизонтальную (АВ) и вертикальную (CD) оси и из точки их пересечения М откладываем в соответствующем масштабе полуоси. Наносим малую полуось от точки М на большой оси до точки Е. Эллипс, первый способ построения Делим BE на 2 части и одну наносим от точки М на большой оси (до F или H)…

  

  Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

  Как построить правильный восьмиугольник?

  Как нарисовать 8 угольник без циркуля?

  Нужно нарисовать квадрат, затем провести в нем диагонали. Каждую сторону следует разделить пополам. Через точку пересечения диагоналей и середину каждой стороны нужно провести отрезок, равный длине половины диагонали. Теперь осталось последовательно соединить полученные точки и вершины квадрата.

  Как разделить окружность на 8 равных частей с помощью циркуля?

  Деление окружности на восемь равных частей

  Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

  Как в окружности начертить правильный Десятиугольник?

  1 способ: С помощью циркуля начертите окружность. Используя транспортир, разделите ее на 10 равных секторов по 36 градусов каждый (360:10 = 36). Затем соедините последовательно все точки, отмеченные на окружности. 2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность.

  Что означает восьмиугольник?

  Число восемь символизирует восстановление, обновление, возрождение, переход. Четыре стороны света плюс четыре промежуточных направления, образующие восьмиугольник, который в самых разных традициях носит название восьми ветров. .

  Как построить правильный 12 угольник в окружности?

  При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис. 121). Соединив полученные точки, получают двенадцатиугольник.

  Вписанный и описанный в окружность восьмиугольник

  Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

  Воспользуемся теоремой косинусов:

  (здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

  Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

  Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:

  Приведем решение Андрея Ларионова.

  Угол при основании равен

  Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.

  Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.

  Правильный многоугольник

  Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

  Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

  Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

  Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

  Признаки правильного многоугольника

  Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

  a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n ,

  α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n

  где a₁ … a_n — длины сторон правильного многоугольника,
  α ₁ … α _n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

  Основные свойства правильного многоугольника

  1. Все стороны равны: a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n
  2. Все углы равны: α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
  3. Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольникаO.
  4. Сумма всех углов n-угольника равна: 180° · n — 2
  5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β 1 + β 2 + β 3 + … + β n-1 + β n = 360°
  6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: D n = n · n — 3 2
  7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π 4 · a 2
  8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O .

  Формулы правильного n-угольника

  Формулы длины стороны правильного n-угольника

  Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

  a = 2 · r · tg 180° n (через градусы),

  a = 2 · r · tg π n (через радианы)

  Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

  a = 2 · R · sin 180° n (через градусы),

  a = 2 · R · sin π n (через радианы)

  Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

  Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

  r = a : 2 · tg 180° n (через градусы),

  r = a : 2 · tg π n (через радианы)

  Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

  Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

  R = a : 2 · sin 180° n (через градусы),

  R = a : 2 · sin π n (через радианы)

  Формулы площади правильного n-угольника

  Формула площади n-угольника через длину стороны

  Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

  Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

  Формула периметра правильного многоугольника

  Формула периметра правильного n-угольника

  Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

  Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

  Формула угла между сторонами правильного n-угольника

  Правильный треугольник

  Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

  Формулы правильного треугольника

  Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

  Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

  Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

  Формула площади правильного треугольника через длину стороны

  Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

  Углы между сторонами правильного треугольника

  Правильный четырехугольник

  Правильный четырехугольник — это квадрат.

  Формулы правильного четырехугольника

  Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

  Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

  Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

  Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

  Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

  Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

  Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

  Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

  Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

  Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

  Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

  Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

  Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

  Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

  Углы между сторонами правильного четырехугольника

  Правильный шестиугольник

  Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

  Формулы правильного шестиугольник

  Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

  Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

  Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

  Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

  Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

  Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

  Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

  Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

  Углы между сторонами правильного шестиугольника

  Правильный восьмиугольник

  Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

  Похожие публикации:

  1. Как поменять датчик холла на стиральной машине lg
  2. Как посмотреть серийный номер на коммутаторе huawei
  3. Почему вай фай есть а интернета нет на телефоне
  4. 2 dhcp сервера в одной сети как правильно настроить