Множество которое содержит все свои граничные точки называется открытым

от admin 14.03.2023

14.03.2023

Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]

Содержание

Евклидово пространство

Пусть ^n» width=»» height=»» /> есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда называется открытым, если $\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,$ такое что $V_<\varepsilon>(x_0) \subset U» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть $(X,\rho)$ — некоторое метрическое пространство, и $U \subset X$ . Тогда называется открытым, если $\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,$ такое что $V_<\varepsilon>(x_0) \subset U» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ относительно метрики $\rho$ .

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство $(X,\mathcal<T>)» width=»» height=»» /> по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств <img decoding=$ . Подмножество $U \subset X$ , такое, что оно является элементом топологии (то есть $U \in \mathcal<T>» width=»» height=»» />), называется открытым множеством <i>относительно топологии <img decoding=$ . (Иначе,).

Пример 1. Любоеn-мерный интеграл – открытое множество. Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 2. Пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым. МножествоRдействительных чисел одновременно является и замкнутым, и открытым.

Множество Qрациональных чисел ни замкнуто, ни открыто. Линейный полуинтервал — ни замкнутое, ни открытое множество.

Теорема 3. Любой шарS(a,r)— открытое множество.

Доказательство:

Пусть . Возьмём. Докажем, что шар(это будет означать, что любая точка шара— внутренняя, то есть— открытое множество). Возьмём. Докажем, что, для этого оценим расстояние:

Следовательно, , то есть, то естьS(a,r)— открытое множество.

Теорема 4.Производное множество любого множестваEзамкнуто.

Доказательство:

Пусть . Тогдав любой окрестноститочкисуществует хотя бы одна точкамножества, отличная от. Так как— предельная точка множестваE, то в любой её окрестности (в том числе сколь угодно малой, содержащейся в) существует хотя бы одна точкамножестваE, отличная от точки. Таким образом, по определению точкаявляется предельной точкой для множестваE.Итак,, что по определению означает замкнутость множестваE.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оказаться пустым.

Свойства открытых и замкнутых множеств

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — замкнутые множества. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда— предельная точка хотя бы одного из множеств(доказывается от противного). Так как— замкнутое множество, то. Но тогда. Итак, любая предельная точка множестваему принадлежит, то естьзамкнуто.

Теорема 6.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — любая совокупность замкнутых множеств. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда по теореме 1 в любой окрестностисодержится бесконечно много точек из. Но все точки множестваявляются и точками множеств. Следовательно, всодержится бесконечно много точек из. Но все множествазамкнуты, поэтомуи, то естьзамкнуто.

Теорема 7. Если множествоFзамкнуто, то его дополнениеCFоткрыто.

Доказательство:

Пусть . Так какзамкнуто, тоне является его предельной точкой (). Но это означает, что существует окрестностьточки, не содержащая точек множестваF, то есть. Тогдаи поэтому— внутренняя точка множества_.Так как— произвольная точка множестваCF,то все точки этого множества являются внутренними, то естьCFоткрыто.

Теорема 8. Если множествоGоткрыто, то его дополнениеCGзамкнуто.

Доказательство:

Пусть вместе с некоторой окрестностью. Следовательно,не является предельной точкой множестваCG. Итак, />не является предельной точкой для, то естьсодержит все свои предельные точки. По определению,замкнуто.

Теорема 9.Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — произвольная совокупность открытых множестви. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 6 их пересечениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Теорема 10.Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — пересечение любого конечного числа открытых множеств. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 5 их объединениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Открытое множество

Откры́тое мно́жество в математическом анализе, геометрии — это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием

Содержание

Евклидово пространство

Пусть $<\displaystyle U\subset \mathbb <R>^<n>>» width=»» height=»» /> есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда <img decoding=$

Читать:

Как соединить листы в excel

5.02 Сегмент, интервал, окрестность

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству , называется сегментом или отрезком (обозначается ), а удовлетворяющих строгому неравенству – интервалом (обозначается ). Числа и называются концами, а число – длиной как сегмента , так и интервала .

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству или , называется полусегментом или полуинтервалом и обозначается соответственно или .

Интервалы и полуинтервалы могут быть и бесконечными. Для обозначения множества вещественных чисел пользуются символом . Знаки и не являются числами, (а являются только символами) и для них нельзя указать соответствующих точек прямой. Поэтому в обозначениях интервалов со стороны таких знаков квадратные скобки не ставят. Сегменты, интервалы и полуинтервалы (конечные и бесконечные) объединяют под общим названием – промежутки.

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Часто рассматривают симметричную окрестность точки , то есть интервал , при этом называют радиусом окрестности.

Изобразим на прямой окрестность точки 5 радиуса 3:

Для того, чтобы показать, что точка находится в этой окрестности, воспользуемся неравенством . В общем случае – окрестность точки может быть задана неравенством .

Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки называется внешность некоторого отрезка. Симметричной окрестностью точки называется внешность любого отрезка, симметричного относительно нуля.

С помощью неравенств – окрестность бесконечно удаленной точки записывается в виде , или, объединяя в одно неравенство, .

Определение. Точка />называется предельной точкой множества, если в любой ее окрестности содержится, по крайней мере, одна точка данного множества, отличная от />.

Из определения следует, что в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек данного множества. Предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Определение. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит этому множеству вместе со своей окрестностью.

Определение. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Сама граничная точка может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Совокупность граничных точек множества называется его границей.

Определение. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым, в противном случае – открытым.

Примеры: 1) для множества рациональных чисел граничными являются все точки отрезка как рациональные, так и иррациональные;

2) для множества точек граничными являются сами точки этого множества и нуль.

Если каждому натуральному числу сопоставить вещественное число , тем самым зададим некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: имеет номер 1, – номер 2 и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность:

, (1)

Которая кратко обозначается .

Числа, составляющие последовательность, называются ее членами, а – общим или -м членом последовательности. В отличие от числового множества, у которого все элементы различны, последовательность может иметь среди своих членов одинаковые, например: или Числовое значение зависит от , то есть является функцией от , поэтому числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента.

Пример 1. Последовательность задана общим членом . Написать члены последовательности.

Решение. , , , .

Для сокращения записей в дальнейшем будем использовать логические символы: квантор общности и квантор существования . Запись означает: любой (всякий) , а – существует (найдется) .

Определение. Последовательность (1) называется ограниченной, если , такое, что выполняется неравенство .

Пример 2. Доказать, что последовательности и – ограниченные, а последовательность — не ограничена.

Решение. Очевидно, что для любого справедливо неравенство . Умножая на 3, получим .

Оценим по модулю общий член последовательности : .

Предположим, что последовательность ограничена сверху, то есть существует число такое, что , тогда или , т. е. неравенство выполняется не для всех , а только для , удовлетворяющих условию , следовательно, не ограничена.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности при , если для всякого можно указать номер , такой, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Обозначают или и говорят, что последовательность сходится к . Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся. Заметим, что величина зависит от , которое выбирается произвольно. Чем меньше , тем , вообще говоря, будет больше (за исключением случая, когда последовательность состоит из одинаковых членов). Очевидно, что если и неравенство выполняется при , то оно подавно будет выполняться при .

Пример 3. Показать, что последовательность имеет своим пределом число 1.

Решение. По определению предела числовой последовательности , .

Будем решать последнее неравенство относительно : . Таким образом, получили, что неравенство выполняется не для всех номеров , а только для тех, которые больше , следовательно, за можно взять целую часть числа , то есть . Если окажется, что , то можно взять равным 1. В определении говорится, что может быть любым положительным числом, в частности, если , то , если , то и т. д.

Пример 4. Показать, что последовательность, заданная общим числом , имеет своим пределом число .

Решение. Возьмем любое . Так как , то из неравенства получим , то есть достаточно взять и тогда при .

Пример 5. Показать, что числовая последовательность с общим членом не имеет предела.

Решение. В подробной записи эта последовательность имеет вид:

Будем рассуждать от противного. Пусть последовательность имеет своим пределом некоторое число . Тогда по определению предела для любого , в том числе и для , найдется , что для . Так как принимает попеременно значения 1 и –1, то должно быть и . Тогда получим , то есть , чего быть не может.

Для доказательства того, что некоторое число не является пределом последовательности, достаточно убедиться, что не все требования, сформулированные в определении предела, выполнены. Допустим, что не является пределом данной последовательности. Это значит, что Нельзя для Любого найти соответствующий , о котором говорится в определении, то есть существует хотя бы одно , для которого невозможно найти такого , чтобы неравенство выполнялось бы для всех . Иначе говоря, найдется хотя бы одно значение , для которого .

Пример 6. Доказать, пользуясь определением предела, что число не является пределом последовательности с общим членом .

Решение. Оценим снизу абсолютную величину разности : , так как при любом . Следовательно, если взять в качестве , то и искать в соответствии с определением бессмысленно.

Дадим геометрическое истолкование предела числовой последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как последовательность точек прямой и о пределе можно говорить как о точке на прямой. Так как неравенство равносильно неравенству , то определение предела можно сформулировать так: точка будет пределом последовательности точек если, какую бы окрестность точки мы ни задали, найдется такое, что все точки последовательности с номерами попадут в заданную окрестность.

Вне этой окрестности может оказаться лишь Конечное число точек .

Общий член последовательности можно рассматривать как переменную, принимающую эту последовательность значений, поэтому предел последовательности (1) называют также и пределом переменной .

Вопросы для самопроверки и упражнения.

1. Дана последовательность точек Все точки этой последовательности, начиная с пятой, находятся в окрестности нуля . Почему из этого, однако, не следует, что точка нуль является пределом данной последовательности?