Сколько существует граней параллельных ребру bc

Точка m принадлежит грани sbc пирамиды sabc сколько прямых параллельных ребрам

Вопрос по геометрии:

1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC . Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку М?

2) Угол ABC лежит в плоскости а, точка К не принадлежит плоскости а. Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку К?

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

1) 5 прямых, из них 4 лежат на гранях пирамиды (жирные),
а одна пересекает ребро SB (красная).
2) 2 прямых (красные).

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC?

Геометрия | 10 — 11 классы

1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC.

Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку М?

2)Угол ABC лежит в плоскости а, точка К не принадлежит плоскости а.

Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку К?

1)5прямых, из них 4 лежат на гранях пирамиды(жирные),

Сторона BC угла ABC лежит в плоскости а, точка D не принадлежит плоскости а?

Сторона BC угла ABC лежит в плоскости а, точка D не принадлежит плоскости а.

Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку D ?

Сколько можно провести через данную точку плоскостей параллельных данной плоскости?

Через сторону АС, треугольник ABC проведена плоскость aльфа?

Через сторону АС, треугольник ABC проведена плоскость aльфа.

Точка В принадлежит точке альфа.

Докажите, что прямая проходит через АВ и ВС параллельна плоскости альфа.

Пожалуйста с рисунком).

Помогите пожалуйста : Прямая (d) пересекает плоскость (а) под углом (45 градусов) в точке (О)?

Помогите пожалуйста : Прямая (d) пересекает плоскость (а) под углом (45 градусов) в точке (О).

Можно ли провести через точку (О) еще одну прямую, пересекающую плоскость (а) также под углом (45 градусов)?

Сколько можно провести прямых?

Дан треугольник абс, стороны которого принадлежат плоскости н?

Дан треугольник абс, стороны которого принадлежат плоскости н.

Также дана точка м, которая не принадлежит плоскости н.

Нужно узнать сколько прямых, параллельных сторонам треугольника абс можно провести через точку м.

Дано прямую а и точку А ?

Дано прямую а и точку А .

Сколько можно провести через точку а прямых , которые параллельны прямой а.

Даны две параллельные прямые а и в и точка М, не лежащая ни на одной из них?

Даны две параллельные прямые а и в и точка М, не лежащая ни на одной из них.

Лежит ли точка М в одной плоскости с прямыми а и в, если известно, что через точку М можно провести прямую, пересекающую только одну из данных прямых?

Точка A не принадлежит плоскости альфа?

Точка A не принадлежит плоскости альфа.

Сколько существует прямых, проходящих через точку A и параллельных плоскости альфа?

Докажите что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А не принадлежит а?

Докажите что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А не принадлежит а.

Через точку не лежащую на данной прямой, сколько параллельных прямых можно провести?

Через точку не лежащую на данной прямой, сколько параллельных прямых можно провести.

На этой странице находится вопрос 1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Обозначим точку около 60° через Н. Тогда НК — катет, лежащий против угла 30° (в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°). РН = 2 * 5 = 10см (по свойству катета против угла 30° он равен половине гипотенузы) По Пифагору РК = √(РН² — Н..

Кратко : СН = 1 / 2 nk . По теореме о соотношениях сторон и углов треугольника Следовательно : СН = 34 : 2 = 17 см.

1) 3 2) 3 3) 2 4) 1 5) A Б В 3 1 2 6) 2 7) 3.

См. фото. Объем цилиндра равен V = πR²h = 100π, по условию R = 5 см, 25πh = 100π, отсюда h = 100π / 25π = 4 см, АВ = 4см. АD = 2R = 2·5 = 10 см. Найдем площадь осевого сечения цилиндра S(АВСD) = АD·АВ = 10·4 = 40 см². Ответ 40 см².

АВМ — прямоугольный треугольник, следовательно работает теорема Пифагора : AB ^ 2 = x ^ 2 + BM ^ 2 4x ^ 2 = x ^ 2 + 507 3x ^ 2 = 507 x ^ 2 = 507 / 3 = 169 x ^ 2 = 13 x ^ 2 = — 13 (не удовлетворяет условию задачи) АМ = 13 АВ = 13 * 2 = 26.

Так как один угол в тругольнике 90 град. , другой 60 = > третий угол будет 30 В прямоугольном треугольнике, если один угол 30 градусов, то катет равен половине гипотенузы. Гипотенуза + катет = 26, 4 см Катет — х, гипотенуза 2х (так как она в два ра..

48 / 3 = 16(т. К. 3 равные прямые), 16 * 2 = 32.

Площадь равнобедренного треугольника со сторонами a b(a — боковая сторона, b — основание), находится по формуле : S = b / 4 * sqrt(4 * a ^ 2 — b ^ 2) a = 39 b = 30 S = 30 / 4 * sqrt(4 * 39 * 39 — 30 * 30) = 7, 5 * sqrt(6084 — 900) = 7, 5 * 72 = 540 О..

С = 136 — 90 = 46 В = 90 — 46 = 44 (Вроде так я делала, у меня засчитало).

1)апофема равна √((√15)² + 1²) = √16 = 4 Sбок = 4 * (3 + 5) / 2 * 4 = 4 * 4 * 4 = 64 S пол = 64 + 3 * 3 + 5 * 5 = 64 + 9 + 25 = 98 2).

Геометрия 10 Мерзляк КР-1

Контрольная работа № 1 по геометрии для 10 класса «Аксиомы стереометрии и следствия из них» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-1.

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 1.

КР-1. Вариант 1.

На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку В, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

КР-1. Вариант 2.

На рисунке 104 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АСС₁ и DCC₁.
Даны точки А, В и С такие, что АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
Прямые а и b пересекаются в точке О. На прямой а отметили точку А, на прямой b — точку B, а на прямой АВ — точку С. Докажите, что прямые а, b и точка С лежат в одной плоскости.
Точки М и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABCD (рис. 105). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
Точки М и N принадлежат соответственно рёбрам АВ и АС призмы ABCA₁B₁C₁, а точка К — грани ВВ₁С₁С (рис. 106), причём прямые MN и ВС не параллельны. Постройте сечение призмы плоскостью MNK.

ОТВЕТЫ на КР-1 Вариант 1

№ 1. На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
ОТВЕТ: AB₁.

№ 2. Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: бесконечное множество.
ОБОСНОВАНИЕ: Из аксиомы стереометрии следует, что через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит ровно 1 плоскость. Точки А, В и С могут находиться на одной прямой, так как 2 + 3 равно 5 (точка А на прямой ВС).

№ 3. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку Е, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Так как точки А, В, С не лежат на одной прямой, то существует единственная плоскость а, проходящая через эти точки (аксиома стереометрии). То есть, а = (АВС).
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая (все точки прямой) принадлежит этой плоскости. Так как точки А и В принадлежат а, то и прямая АВ принадлежит а, и точка D на прямой АВ тоже принадлежит а.
Аналогично, прямая ВС принадлежит а, и точка Е принадлежит а. Из этого следует, что прямая DE также принадлежит плоскости а. Но тогда любая точка этой прямой, в том числе точка М, принадлежит а, что и требовалось доказать.

№ 4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
ОТВЕТ: Из точки С в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью SBD. Получили прямые СК и СР.
Прямая КР — след пересечения плоскости, проходящей через прямые CK и CP с плоскостью SBD. Прямая КР принадлежит плоскости SBD, так как точки К и Р принадлежат этой плоскости.
Проводим прямую MN до пересечения с прямой КР. Точка О – это точка пересечения прямых MN и KP. Следовательно, точка О – точка пересечения с плоскостью SBD.

№ 5. Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
ОТВЕТ: Продлить отрезок МК до пересечения с продлением ребра ВС. От этой точки через точку N будет проходить линия пересечения с плоскостью основания. Далее через точки пересечения следа с рёбрами основания проводятся линии сечения.

Аналогично решаются задания Варианта 2.

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-1.

Многогранники

Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.

Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».

Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.

Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника. Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу.

Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:

На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.

Теорема Эйлера

У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?

Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:

Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:

Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.

Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Запишем теорему Эйлера:

Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?

Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:

Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?

Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:

Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?

Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:

Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:

Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.

Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.

Призма

Пусть в некоторой плос-ти α есть n-угольник с вершинами А₁, А₂, А₃,…, А_n. Пусть в другой плос-ти β, которая параллельна α, есть равный ему многоуг-к В₁В₂В₃…В_n, причем отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃…, А_nВ_n параллельны друг другу:

В результате мы получили геометрическую фигуру, которую именуют призмой. Многоуг-ки А₁А₂А₃…А_n и В₁В₂В₃…В_n именуются основаниями призмы, а все остальные грани – это боковые грани призмы. Можно доказать, что боковые грани – это параллелограммы. Действительно, в четырехуг-ке А₁А₂В₂В₁ стороны А₁В₁ и А₂В₂ параллельны по условию. Также они равны по теореме 12 из этого урока. Это и значит, что А₁А₂В₂В₁ – это параллелограмм (по одному из его признаков). Тоже самое можно доказать и для остальных боковых граней. Теперь мы можем сформулировать определение призмы:

Ребра призмы, не принадлежащие основанию, именуются боковыми ребрами призмы. Ясно, что любые два соседних ребра параллельны, ведь они являются сторонами параллелограммами. Но тогда по свойству транзитивности параллельности получается, что вообще любые два боковых ребра параллельны. Если из какой-нибудь точки основания построен перпендикуляр к противоположному основанию, то он именуется высотой призмы:

Естественно, что высота перпендикулярна обоим основаниям. Возможна ситуация, когда высота падает не на основание, а на какую-нибудь точку плос-ти основания, не находящуюся внутри него. Ясно, что все высоты призмы имеют одинаковую длину независимо от того, через какие точки они проведены, ведь высота по своей сути – это расстояние между плос-тями оснований.

Особый интерес вызывают призмы, где боковые ребра и основания перпендикулярны друг другу. Такие призмы именуются прямыми. Ясно, что у них боковые грани оказываются уже не просто параллелограммами, а уже прямоуг-ками. При этом любое боковое ребро одновременно является и высотой. Все остальные призмы именуют наклонными.

Если в основании призмы находится n-угольник, то призму называют n-угольной. В частности, в основании треугольной призмы лежит треуг-к, в основании десятиугольной призмы находится десятиугольник и т. д. Наконец, в особую группу выделяют прямые призмы, основаниями которых представляют собой правильные многоуг-ки. Их так и именуют – правильные призмы.

Читать:

Как удалить linux с ноутбука

Если сложить площадь всех граней призмы, то получится сумма, которую именуют площадью полной поверхности призмы. Обычно ее обозначают как S_полн. Если же складываются только площади боковых граней, то в сумме получается площадь боковой поверхности призмы, обозначаемая как S_бок. Если площадь основания призмы обозначить как S_осн., то справедлива будет очевидная формула:

Действительно, пусть есть прямая призма с основаниями А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n:

Так как ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, то они должны быть перпендикулярны и тем ребрам, которые образуют основания. Это значит, каждая боковая грань – это прямоуг-к. При этом боковые ребра – это одновременно и высоты призмы. Тогда площадь боковых граней вычисляется так:

Отметим наконец, что параллелепипед можно считать частным случаем призмы, а прямоугольный параллелепипед – частным случаем прямой призмы.

Типичные задачи на призмы

Призмы нередко встречаются в заданиях ЕГЭ, поэтому важно уметь решать задачи, в которых используются эти фигуры.

Задание. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?

Решение. В любом многограннике диагональ соединяет точки, не лежащие на одной грани. Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований, причем в n-угольной призме каждому основанию принадлежат n вершин.

Возьмем произвольную вершину на одном из оснований и посчитаем, сколько диагоналей из нее можно провести. Если соединять ее отрезками с другими вершинами, принадлежащему тому же основанию, то получатся диагонали грани, но не диагонали призмы (зеленые линии на рисунке):

Значит, остается только провести прямые к тем вершинами, которые лежат в другом основании. Так как в другом основании находятся n вершин, то и отрезков будет ровно n. Однако три из них не будут диагоналями (показаны на рисунке синим цветом), так как будут либо являться одним из ребер призмы либо одной из диагоналей. Получается, что из вершины можно провести (n – 3) диагоналей. Так как в основании находятся n вершин, то всего можно построить n•(n– 3) диагоналей.

Ответ: n•(n – 3) диагоналей.

Задание. Длина стороны правильной треугольной призмы составляет 8 см, а ее боковое ребро имеет длину 6 см. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает другое основание в противолежащей вершине. Какова площадь этого сечения?

Решение. Выполним построение по условию задачи:

Здесь сечение проведено через ребро В₁С₁ и противолежащую ей вершину А. Призма правильная, поэтому ее основания ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – это равносторонние треуг-ки, и все их стороны равны 8 см. По определению правильная призма обязательно ещё и прямая. Тогда боковые грани – прямоуг-ки.

∆АВВ₁ – прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить его гипотенузу АВ₁:

Аналогично можно вычислить, что и диагональ АС₁ также равна 10 см. Вообще в правильных призмах все грани – это равные друг другу прямоуг-ки, поэтому и диагонали у них одинаковы.

Длина ребра В₁С₁ составляет 8 см. Получается, нам надо вычислить площадь равнобедренного ∆АВ₁С₁ с основанием 8 см и боковыми сторонами 10 см. Это можно сделать множеством способов. Самый простой из них заключается в использовании формулы Герона. Для ее применения сначала вычислим полупериметр ∆АВ₁С₁:

Задание. В основании призмы находится равносторонний ∆АВС. Ребро АА₁ образует одинаковые углы с ребрами АС и АВ. Докажите, что ребра АА₁ и ВС перпендикулярны и что СС₁В₁В – прямоуг-к.

Решение. Выполняем построение:

По условию ∠А₁АВ и ∠А₁АС одинаковы. Проведем диагонали А₁В и А₁С. В итоге мы получим ∆А₁АВ и А₁АС. У них есть АА₁ – общая сторона, стороны АВ и АС одинаковы (ведь ∆АВС – равносторонний), а углы между ними одинаковы. Значит, ∆А₁АВ и А₁АС равны, и тогда диагонали А₁В и А₁С одинаковы.

Получается, что точка А₁ равноудалена вершин В и С. Аналогично и точка А равноудалена от В и С, ведь АВ и АС одинаковы. Это значит, что и А₁, и А лежат на серединных перпендикулярах, проведенных к отрезку ВС:

Обозначим середину ВС как Н, тогда НА₁ и НА – серединные перпендикулярны. То есть ВС⊥АН и ВС⊥А₁Н. Но это значит (по признаку перпендикулярности прямой и плос-ти), что ВС перпендикулярен всей плос-ти АНА₁. Из этого вытекает, что ВС⊥АА₁, ч. т. д.

Осталось показать, что грань СС₁В₁В – это прямоуг-к. Так как ВВ₁||АА₁, и ВС⊥АА₁, то и ВС⊥ВВ₁. Значит в параллелограмме СС₁В₁В (напомним, что в призме все боковые грани – параллелограммы) есть прямой угол. Это значит, что он является прямоуг-ком, ч. т. д.

Задание. Призма АВСА₁В₁С₁ – наклонная. Известно, что АС = АВ = 13 и ВС = 10. Боковые ребра призмы образуют с основанием АВС угол 45°. Проекция точки А₁ на плос-ть АВС совпадает с точкой пересечения медиан в ∆АВС. Какова площадь грани СС₁В₁В?

Решение. Снова выполняем построение:

Здесь О – это проекция точки А₁ и одновременно точка пересечения медиан. H– середина отрезка ВС, то есть АН – как раз одна из медиан. Заметим, что так как ∆АВС равнобедренный, и ВС – это его основание, то АН одновременно является и высотой, то есть ∠ВНА = 90°. Раз Н – середина ВС, то ВН будет вдвое короче ВС:

Напомним, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, поэтому мы можем найти ОА:

Понятно, что ОА – это проекция прямой ОА на плос-ть АВС. Тогда угол между ребром АА₁ и плос-тью АВС, по условию равный 45° – это ∠ОАА₁.

Из прямоугольного ∆АОА₁ с помощью тригонометрии мы найдем длину ребра АА₁:

Теперь покажем, что грань СС₁В₁В – прямоуг-к. Ясно, что ОА₁⊥ВН, ведь ОА₁ – перпендикуляр ко всей плос-ти АВС. Но также ВН⊥АН. Значит, ВН перпендикулярен плос-ти АОА₁, и, в частности, перпендикулярен ребру АА₁. Но тогда и ВВ₁⊥ВН, ведь ВВ₁||АА₁. Значит, грань СС₁В₁В – прямоуг-к, ведь в ней есть прямой угол. Для нахождения площади прямоуг-ка надо перемножить две его смежные стороны:

Задание. Ребро при основании правильной 6-угольной призмы имеет длину 23, а боковое ребро равно 50. Вычислите площадь поверхности призмы (и полную, и боковую).

Сначала найдем площадь и периметр основания. Формулы для правильных многоуг-ков мы уже изучали:

Здесь а – сторона шестиугольника, R и r – радиусы описанной и вписанной окружности, n– число сторон шестиугольника. Во второй формуле мы использовали известный факт, что длина стороны правильного 6-угольника совпадает с радиусом описанной около него окружности.

Далее вычисляем площадь боковой поверхности:

Добавив к этому значению удвоенную площадь поверхности основания, найдем и полную площадь призмы:

Задание. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, у которой все ребра одинаковы и равны единице, вычислите угол между гранью АВС и сечением АСВ₁:

Решение. Вспомним, что для нахождения угла между плос-тями необходимо построить в этих плос-тях перпендикуляры к линии их пересечения, причем эти перпендикуляры должны падать на одну и ту же точку.

Пересекаются плос-ти АВС и АСВ₁ по грани АС. Заметим, что и ∆АВС, и ∆АСВ₁ – равнобедренные, причем у них общее основание АС. Действительно, АВ = ВС, так как в основании правильной призмы лежит равносторонний треуг-к, а АВ₁ = СВ₁, так как это диагонали равных граней АВВ₁А₁ и ВСС₁В₁.

Если мы отметим середину отрезка АС (например, точкой Н) и соединим ее с В и В₁, то мы получим две медианы НВ и НВ₁, которые одновременно будут и высотой. Это значит, что именно ∠ВНВ₁ и будет искомым углом между плос-тями:

Осталось найти ∠ВНВ₁. Длину ВВ₁ мы уже знаем, она составляет 1.

АН вдвое короче АС:

Теперь заметим, что ∆НВВ₁ – прямоугольный, поэтому для него можно использовать тригонометрию:

Задание. Найдите угол между прямыми А₁D и СD₁ в правильной призме, показанной на рисунке:

Все ребра этой призмы равны единице.

Решение. Сначала внимательно рассмотрим верхнее основание призмы. Так как оно представляет собой правильный многоуг-к, то вокруг него можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности как О и проведем радиусы к вершинам:

Так как в правильном шестиуг-ке радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то получается, что ∆А₁ОВ₁, ∆В₁ОС₁ и ∆С₁ОD₁ – равносторонние. Тогда ∠А₁ОВ₁, ∠B₁OC₁ и ∠С₁ОD₁ составляют по 60°. Тогда ∠А₁ОD₁ равен 180°, то есть точки А₁, О и D₁ находятся на одной прямой А₁D₁. Также заметим, что эта прямая параллельна ребру В₁С₁, ведь ∠D₁OC₁и ∠ОС₁B₁ являются накрест лежащими для этих прямых (при секущей ОС₁) и при том они одинаковы. Так как отрезки А₁О и D₁O как стороны равносторонних треуг-ков равны 1, то

Теперь вернемся к призме:

Так как А₁D₁||В₁С₁ и В₁С₁||ВС, то и А₁D₁||ВС. Это значит, что через А₁D₁ и ВС можно провести плос-ть, в которой будут лежать и интересующие нас прямые А₁В и СD₁. Для нахождения угла между ними надо рассмотреть четырехуг-к А₁D₁CB. Раз А₁D₁||ВС, то этот четырехуг-к является трапецией.

Далее найдем длину А₁В. Для этого используем ∆АВА₁:

Аналогично из ∆СDD₁ можно определить, что СD₁ имеет такую же длину. Это значит, что А₁D₁CB – равнобедренная трапеция.

Теперь рассмотрим отдельно эту трапецию, чтобы найти искомый угол:

Опустим из вершин трапеции В и С перпендикуляры на А₁D₁. В итоге получим прямоуг-к ВСРН, где

Сегодня мы более детально изучили понятие многогранника и познакомились с новой геометрической фигурой – призмой. Призма довольно часто встречается в задаче С2 на ЕГЭ. Также мы узнали о теореме Эйлера, из которой вытекают некоторые важные факты. Один из них заключается в том, что не бывает выпуклых многогранников, у которых ни одна грань не является треуг-ком, четырехуг-ком или пятиуг-ком.

Параллельность прямых в пространстве

Нажмите, чтобы узнать подробности

Параллельность прямых в пространстве..10 класс Презентация составлена для изучения темы. Будет полезна учителям и учащимся.

Просмотр содержимого документа
«Параллельность прямых в пространстве»

Параллельность прямых Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Упражнение 1 Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны? Ответ: Нет.

Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

Упражнение 2 Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой Ответ: Одну.