5. Выводы
В результате проделанной работы были определены средние значения <t> прохождения грузом пути h с занесением в таблицу измерений времени прохождения груза (таблица 4.1).
Определены случайная, приборная и общая погрешности измерений t и рассчитаны погрешности величин t 2 .
Был построен линеаризованный график зависимости и рассчитан коэффициент t 2 , все точки укладываются в пределах погрешностей.
Определены момент инерции блока экспериментально и момент инерции блока аналитический. При сравнивании результатов получена разница в 1,358 %
6. Ответы на контрольные вопросы
1.Что такое момент сил и момент инерции?
Момент силы – это векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы. Характеризует вращательное действие силы на твердое тело.
Момент инерции – скалярная физическая величина мера инертности во вращательном движении вокруг оси, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении, и характеризуется распределением масс в теле, равным сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества.
2.Моменты каких сил действуют на блок?
На блок действуют: момент инерции тела, момент сил натяжения нитей, момент инерции оси вращения.
3.Как рассчитать момент инерции блока? Сформулировать теорему Штейнера.
Рассчитать момент инерции блока можно по формуле:
I=
mб
R 2
Где mб – масса блока;
R – радиус блока.
Теорема Штейнера:
Момент инерции тела I0 относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Ic относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:
I0=Ic+ma 2
Ic – известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
I0 – искомый момент инерции относительно параллельной оси,
a – расстояние между осями.
4.Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.
Неточность вычислений; физические допущения при анализе движения грузов; погрешности измерения величин, колебания параметров среды, параметров измерительной установки.
Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Классические примеры решения некоторых типовых задач
Чему равен момент инерции цилиндра с диаметром основания d и высотой Н относительно оси совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра .
Решение: Согласно теоремы Штейнера момент инерции цилиндра относительно оси равен сумме его момента инерции относительно оси симметрии , проходящей через центр цилиндра С, и произведения массы цилиндра на квадрат расстояния между осями и :
Момент инерции цилиндра относительно оси определяется формулой , где , поэтому
Массу цилиндра выразим через его плотность и объем :
, где , поэтому ; площадь основания цилиндра и, следовательно,
Расстояние между осями и . (4)
Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем
Пример 2
Два маленьких шарика массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой каждая и вращающихся вокруг оси на расстоянии .
2 . 10 -4 кгм 2 .
Пример 3
Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна а30 см.
а30 см0,3 м.
Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси . Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой (один из них выделен на рис. 4).
где — поверхностная плотность пластины;
Так как участок массой можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси
После подстановки выражения (1) в (2) получаем
Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:
Подставив численные значения, найдем
Пример 4
Обруч массой 1 кг и радиусом 0,2 м вращается равномерно с частотой 3 с -1 относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча .
Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела и его угловой скорости :
Момент инерции обруча относительно оси по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча относительно оси , проходящей через его центр С, и произведения массы обруча на квадрат расстояния между осями и , которое, как следует из рисунка, равно
Угловая скорость обруча связана с его частотой вращения соотношением
Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем
Пример 5
Вал в виде сплошного цилиндра массой 12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 4 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?
Решение: Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением вала соотношением
где радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
где вращающий момент, действующий на вал; — момент инерций вала.
Рассмотрим вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен
Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура на радиус вала:
(Учитывая, что шнур невесомый и нерастяжимый, ).
Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести , направленная вниз, и сила натяжения шнура, направленная вверх; равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона , откуда
Таким образом, вращающий момент равен
Подставив в (2) выражения (3) и (6), получаем
Ускорение гири найдем из (1) после подстановки туда выражения (7) , откуда
Пример 6
Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени даётся уравнением где С=2 рад/с 2 . Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 1 Нм. Определить величину касательной силы , приложенной к ободу диска.
Решение: Касательная сила , приложенная к ободу диска, создает вращающий момент сил , который по определению момента сил равен произведению величины этой силы и её плеча; плечом силы в нашем случае является радиус диска, поэтому
Вращающему моменту сил противодействует момент сил трения .
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска и его углового ускорения равно векторной сумме моментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О.
Поскольку векторы моментов сил и антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид
Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле
Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:
Решая совместно (1) — (5), получаем
После подстановки в (6) численных значений
Пример 7
Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время 100 лет на 10 -3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 610 24 кг и радиусом 6,410 6 м.
Решение: Из основного уравнения динамики вращательного движения изменение момента импульса Земли равно произведению момента приливной силы на время его действия :
Момент инерции Земли (однородный шар массой и радиусом )
Изменения угловой скорости Земли равно
где — период вращения Земли (24 ч=8,6410 4 с); .
Момент приливной силы трения
После подстановки (2), (3) и (4) в выражение (1), получаем
После подстановки в (5) численных значений получаем
Пример 8
Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кгм 2 , вращается с частотой 20 с -1 . В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1 мин остановилось. Радиус колеса 0,2 м. Найти величину тормозящего момента силы и число полных оборотов , сделанных колесом до остановки.
Решение: Поскольку, кроме тормозящей силы, на колесо не действуют другие силы, создающие момент сил, то согласно основному закону динамики вращательного движения
Движение колеса равнозамедленное и, следовательно, угловое ускорение колеса равно
где начальная угловая скорость колеса, а =0 — его конечная угловая скорость. Следовательно,
После подстановки выражения (3) в (1) получаем
Полное число оборотов можно определить, умножив его среднюю частоту вращения , т.е. среднее число оборотов за единицу времени, на все время вращения :
Средняя частота вращения колеса есть среднее арифметическое начальной и конечной частот вращения (это справедливо только при равнопеременном вращении твердого тела):
Пример 9
Два груза массами 2 кг и 1 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через неподвижный цилиндрический блок массой 0,8 кг. Найти ускорение грузов и силы натяжения нитей и . Трением пренебречь.
Решение: Запишем уравнения движения грузов и блока в отдельности. Груз массой движется вниз поступательно с ускорением . На него действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах с учетом выбранной системы координат
Груз массой движется вверх тоже поступательно с таким же, как и груз , ускорением .
На него действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити .
Поскольку массой блока, а значит и его моментом инерции пренебречь нельзя, момент силы натяжения , направленный согласно правилу правого винта влево, больше момента силы натяжения , направленного вправо.
По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах
Блок движется вращательно, поэтому применим к нему основное уравнение динамики вращательного движения
Подставим в (3) основные параметры , , , . Момент инерции однородного цилиндра
Момент инерции ступенчатого блока J=1 кг∙м2, радиусы R=2 м и r=1 м (рис.3.12). Массы грузов m1=10 кг, m2=2 кг.
Готовое решение: Заказ №10191
Тип работы: Задача
Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)
Предмет: Физика
Дата выполнения: 16.11.2020
Цена: 227 руб.
Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.
Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!
Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:
Момент инерции ступенчатого блока J=1 кг∙м 2 , радиусы R=2 м и r=1 м (рис.3.12). Массы грузов m1=10 кг, m2=2 кг. Коэффициент трения груза m2 о горизонтальную плоскость равен k=0,1. Найти ускорения грузов.
Запишем основное уравнение динамики для трех тел системы: — для первого груза, -для второго груза, -для блока.
В проекции на оси x и y:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.