Пятиугольник авсде вписан в окружность известно что

Пятиугольник авсде вписан в окружность известно что

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE , площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE , площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD , а 3 AC + 2 BD = 5.

Подсказка

Докажите, что AC — диаметр окружности.

Решение

Поскольку DE — общее основание равновеликих треугольников ADE и CDE , то их высоты, опущенные из вершин A и C , равны, поэтому AC DE . Аналогично BC AD . Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому

Значит, CA — биссектриса угла BCE и AB = AE , а прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BE . Следовательно, отрезок AC — диаметр окружности, а четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Поэтому AC = BD и по условию задачи 3 AC + 2 BD = 5 CD = 5. Значит, диаметр окружности равен , а её длина равна .

Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АВ=АЕ. Отрезок ВЕ пересекает Ас в точке М, а отрезок4 АД в точке Т.1Докажите ,что точки СДМН лежат на одной окружности 2.Точка О — центр описанной вокруг треугольника СМД окружности. Найдите радиус этой окружности ,если АО равен 12,АВ=4

2. Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.

Пошаговое объяснение:

Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АB = АЕ. Отрезок ВЕ пересекает АC в точке М, а отрезок АD в точке Т.

1. Докажите ,что точки СDМT лежат на одной окружности;

2. Точка О — центр описанной около треугольника СМD окружности. Найдите радиус этой окружности, если АО равен 12, АВ = 4.

Дано: АВСДЕ — пятиугольник;

Окр.I — описана около АВСДЕ;

ВЕ ∩ АЕ = М; ВЕ ∩ AD = T.

Окр.О — описана около ΔСМD.

Доказать: что точки С, D, М, T лежат на одной окружности.

Найти: R — радиус Окр.О

1. Доказательство:

• Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

Докажем, что в четырехугольнике СDTМ:

∠АСD + ∠MTD = 180°.

• Равные хорды стягивают равные дуги.

⇒ ◡АВ = ◡АЕ

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

Сложим эти углы:

Заменим ◡АЕ равной ей дугой ◡АВ:

Заметим, что сумма дуг в числителе составляют окружность.

• Градусная мера окружности равна 360°.

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒ ∠ТМС + ∠СDT = 360° — (∠АCD + ∠BTD) = 180°

В четырехугольнике СDМT сумма противоположных углов равна 180°.

Значит около четырехугольника СDМT можно описать окружность.

⇒ Точки С, D, М, T лежат на одной окружности.

2. Решение:

Опишем окружность с центром О около треугольника СМD.

Рассмотрим ΔАТЕ и ΔAED.

⇒ ∠АЕВ = ∠ADE (вписанные, опираются на равные дуги)

ΔAЕD (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

АЕ = АВ = 4 (условие)

AT · AD = 16

AР и AD — секущие Окр.О.

• Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

⇒ АK · АP = AT · AD = 16

Пусть радиус Окр.О равен R.

Тогда АK = АО — R; AP = AO + R;

Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.

Задача 46143 .

[red]a)[/red]
Δ ABD вписан в окружность.
По теореме синусов:

По условию
AB=sqrt(2)
R=1

Значит,
[m]sin\angle ADB=\frac <\sqrt<2>><2>[/m] ⇒ [m]\angle ADB=45^[/m]

[m]\angle ABE= \angle ADE=45^[/m], как углы, опирающиеся на

одну и ту же дугу AE

∠ BDE= ∠ ADB+ ∠ ADE=45 ° +45 ° =90 °

BE-[i] диаметр окружности.[/i]

Центр окружности О лежит на диагонали BD пятиугольника

По теореме синусов для Δ BED

BE-[i] диаметр окружности.[/i] ⇒ ВЕ=2

По теореме Пифагора

⇒ sin ∠ BCD=sqrt(3)/2; ∠ BCD=120 °

Четырехугольник ABDE вписан в окружность.

Сумма противолежащих углов равна 180 °

⇒ ∠ BAE + ∠ BDE=180 ° ⇒ ∠ BAE =90 °

Δ BAE — прямоугольный равнобедренный, АВ=АЕ=[b]sqrt(2)[/b]

S_(пятиугольника)=S_( Δ АВЕ)+S_( Δ BDE)+S_( Δ BCD)=

=[m]\frac<1><2>AB\cdot AE +\frac<1><2>BD\cdot DE + \frac<1><2>1\cdot 1\cdot sin \angle BCD=[/m]

О т в е т. [m]1+\frac<3\sqrt<3>><4>[/m]

планиметрия — Радиус окружности

Пятиугольник $%ABCDE$% вписан в окружность. Известно, что $%AB=AE$%. Отрезок $%BE$% пересекает $%AC$% в точке $%M$%, а отрезок $%AD$% в точке $%N$%. Пусть точка $%O$% $%-$% центр описанной вокруг треугольника $%CMD$% окружности. Найдите радиус этой окружности, если $%AO = 12$%, $%AB =4$%.

задан 27 Апр ’22 21:18

а зачем в условии точка N.

@all_exist, там был еще один пункт, но я его доказал. «Докажите, что точки $%C$%, $%D$%, $%M$%, $%N$% лежат на одной окружности.»