Why is Zero Factorial 1?
Beginning with the definition of factorials we can work our way to a proof where 0! = 1 is mathematically proven. In the field of combinations and permutations, the explanation given is usually that there is only one way to arrange 0 objects, or that mathematicians found the convention that 0! = 1 as opposed to 0! = 0 is more convenient and useful.
Let’s start with the quick definition of what a factorial is:
The factorial of a non-negative integer n, denoted by n! (n with an exclamation mark), is the product of all the positive integers less than or equal to n:
0! = 1? или почему факториал нуля равен единице
Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.
Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂
Для начала вспомним общую теорию:
Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
На самом же деле факториал нуля вполне вычислим!
Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.
Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)
-
Сначала берем последовательность из n + (1 или больше) чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на 1.
На выходе получаем ряд чисел количество которых меньше на 1:
50 110 194
(110 — 50) (194 — 110)
60 84
(84 — 60)
Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)
Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)
1 3 2 3 3 3 4 3
1 8 27 64
(8 — 1) (27 — 8) (64 — 27)
7 19 37
(19 — 7) (37 — 19)
12 18
(18 — 12)
Ну и для 1 попробуем (1! = 1)
Вы уже догадались? 🙂
Все очень просто и для нуля:
Берем n + 1 чисел в степени 0, тоесть достаточно и одного
Вуaля! Любое число в степени 0 равно 1. В этом, кстати, слабость моего способа, он использует определение.
Почему нулевой фактор равен единице?
Нулевой факториал – это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, равный единице. В общем, факториал числа – это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения справа от факториала (четыре) используется восклицательный знак.
Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все умножается нулем равно нулю?
Определение факториала утверждает, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.
Определение нулевого факториала
Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что по определению должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным). Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала – это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал – это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но все же сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован : оно не может. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Для лучшего понимания того, как это имеет математический смысл, важно отметить что факториалы, подобные этим, используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известных как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что даже если в пустом или нулевом наборе нет значений, все же существует один способ упорядочения набора .
Перестановки и факториалы
Перестановка – это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок набора <1, 2, 3>, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, что является факториальным представлением полного набора перестановок. Аналогично есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Таким образом, альтернативный способ подумать о факториале – позволить n быть натуральным числом и сказать, что n ! – это количество перестановок для набора с n элементами.
Рассматривая факториал таким образом, давайте посмотрим еще пара примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки:
Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.
Формулы и другие проверки
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 – хорошая идея.
Комбинация – это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор <1, 2, 3>, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Независимо от того, как мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией из трех элементов, взятых по три за один раз и увидим, что 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), и если мы обработаем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.
Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, указанные выше, наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что при построении новых идей и определений они остаются согласованными с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.
Почему 0 = 1
Равен ли ноль еденице, казалось бы нет! Но, вспомним, что говорилось на школьных курсах математики: не существует одного факториала у двух чисел. Так же нам говорили, что 0! = 1 и 1! = 1, это парадокс. Но парадокс ли это? Или это просто одно и тоже число? А представим, что вы ковбой и у вас есть одна лошадь. Сколько у вас лошадей? Одна. Вы проиграли свою лошадь . Сколько у вас лошадей? Ноль. Вы задолжали еще одну лошадь. Сколько у вас лошадей? У вас минус одна лошадь или ноль. Значит -1 = 0, следовательно -2 = 0 и т. д. 0 это отрицательное число и следовательно все такие числа равны. Положительные же, это те же числа, что и отрицательные, только без знака минус. Следуя аналогии, мы можем понять, что положительные тоже равны между собой. Вопрос: равны ли числа со знаком минус с числами без знака? Да! Числа равны, если при вы читаете одного из другого получается ноль. 1 — -1 = 0 . И того, у нас 2 доказательства того, 1 = 0. Первое, это, что у них равны факториалы. Второе, это то, что все числа равны. Следовательно, 1 = 0.
191 пост 1.4K подписчика
Правила сообщества
Уважайте оппонентов и аргументируйте свои доводы. Ссылки на соответствующую литературу приветствуются.
>»говорилось на школьных курсах математики: не существует одного факториала у двух чисел»
Вот не надо, вообще никогда такого не говорилось. А если где-то говорилось — уволить нафиг такого учителя.
А дальше вообще полная бредятина написана, даже комментировать не хочу.
Сейчас всё это и проверим на твоем рейтинге. Уже 88. Скоро будет 0, а там и минуса пойдут
>> Вы задолжали еще одну лошадь. Сколько у вас лошадей? У вас минус одна лошадь или ноль
С какого хуя долг в минус одну лошадь будет равен нулю? Несешь хуйню на голубом глазу
Советские короткометражки "Геометрия для малышей". Просто чудо!
На советском телевидении выходило много образовательных программ и телефильмов для младшего поколения — дошкольников и школьников, которые раскрывали молодому поколению основы различных наук. Причём всегда — в доступной форме, с юмором, наглядно и очень увлекательно! Вот и цикл короткометражных телефильмов «Геометрия для малышей» в лёгкой игровой форме, на простых примерах объясняет малышам основные понятия геометрии, потому что в действительности она присутствует повсеместно.
Предлагаемый вам фильм цикла состоит из двух игровых сюжетов. «История с ромбами» знакомит не только с ромбами, но и с подобием и равенством фигур, а также с устройством пантографа – прибора, с помощью которого можно скопировать изображение и нарисовать равные фигуры. «Кино и зеркала» рассказывает о симметрии и о применении зеркал в киносъёмке.
Новосибирсктелефильм, 1983 г. Источник: канал на YouTube «Советские фильмы, спектакли и телепередачи. Гостелерадиофонд», https://www.youtube.com/channel/UC7FDlGcSUqeSZHh1LRMM1OQ?sub_confirmation=1
Ответ на математический пример
случайно увидел тему, где люди спорили. Вот ответ
Помогите решить задачу за 2 класс
Работаю учителем в старшей школе. Одна из коллег обратилась за помощью к нашим математикам, с просьбой решить задачу, заданную внуку — второкласснику. Пытливые математические умы решить задачу не смогли.
Коллеги, учителя начальных классов, сжальтесь, расскажите как это решать!
Школьный учебник 1957г. против 2020г
Маша, это конкотенация или котангенс?
Один. О математике
О, математика! Сколько слёз пролито над задачами про бассейны с какой-то идиотской системой из труб в которые вливается-выливается вода. Сколько трёхбуквенных слов сказано в адрес трёхбуквенных же cos и sin! Словом, я помнил какая она — математика для большинства людей. Какая-то непонятная абракадабра из странных символов с которыми нужно действовать по каким-то магическим правилам для того чтобы получить результат. И правила эти вроде бы логичные (царица наук же!), но вот понять их умом как-то не выходит. Как обычно решается эта дилемма? Или зубрёжкой, или забиванием болта. Какой вариант преобладает упоминать будет излишне.
И вот меня попросили довести семестр в одной из школ моего города. Меня — это студента четвёртого курса одного из технических факультетов нашей необъятной Родины. Дело было так: как-то раз знакомый замдекана попросил доработать семестр в одной из школ. Мол, администрация ему знакома, давно с ней работают и они очень попросили помочь с заменой. Так и началось моё путешествие в мир педагогики, во время которого я поменял три школы и два университета (во втором работаю до сих пор). И как-то во мне зрела-зрела да назрела необходимость поделиться своим опытом работы в сфере образования, да поотвечать на вопросы, буде такие возникнут.
Я, конечно, был молод, горяч, идеалистичен и намерен подарить хотя бы каким-то детям не занудное заучивание формул, а понимание и осознание красоты и стройности математики. Ко мне самому это осознание, кстати, пришло только ближе к университету. До этого в школе я просто шпарил по алгоритмам, изложенным в учебнике. Просто у меня это получалось лучше, чем у большинства одноклассников. Ну и ещё, наверное, сыграло свою роль увлечения научной фантастикой: я примерно представлял зачем все эти ваши тангенсы нужны. А в выпускных классах я уже учился в профильном лицее, где учителя были гораздо сильнее и компетентнее. Тогда я духом настоящей математики проникся окончательно (Сканави! Как много в этом имени!). В общем, я был убеждён что математика — это клёво, просто об этом почему-то обычно не рассказывают в школах. Но ведь в моих силах было это исправить. По крайней мере так мне казалось.
Так что на предложение взять да поработать я ответил уверенным согласием. Наверное, важную роль в этом сыграла и семья: мама и бабушка у меня тоже преподавали, и я видел это как продолжение славной династии педагогов. Мы с замдекана ударили по рукам. Я отправился в свою первую школу.
Достались мне классы с седьмого по, кажется, девятый. Самое то, чтобы войти в профессию, как мне кажется. Уже не надо складывать две картошки с тремя и ещё не надо рассказывать всякую заумь про пределы (с самими пределами у меня проблем не было; проблемы были бы с тем как это всё доступно изложить). И вот — началось. Я захожу в школьный класс, но теперь не в качестве ученика, а в качестве учителя.
И спустя буквально неделю ведения уроков я понял, почему всё работает так как работает. Почему учителя не пытаются заинтересовать учеников, а со скоростью пулемёта выдают формулы и алгоритмы решений. Причин, конечно, несколько.
Во-первых, большинству учеников, как бы это помягче, по барабану. Вообще, конечно, математика большинству людей по барабану и это нормально. Но ученикам по барабану не пассивно, а активно. То есть эти мелкие черти не способны просто посидеть на месте да позаниматься своими делами. Им нужно пообщаться с друзьями, поплевать в кого-то, покачаться на стуле. Читатели, конечно, скажут, что в этом и есть задача педагога: заинтересовать учеников да дисциплину в классе поддерживать. Так-то оно, конечно, так, но. Но.
Видит бог, я пытался их заинтересовать. Я рассказывал про древних египтян, которые под палящим солнцем размечали участки вдоль Нила и мало-помалу вместо того чтобы двинуть древнеегипетским кирпичом древнеегипетского соседа, который не согласен с правками в кадастре участков, придумали геометрию. Я красочно описывал пифагорейцев, которые мочили людей, которые к своему несчастью придумали рисовать прямоугольные треугольники с гипотенузами, не выражающимися в рациональных числах. Но их это не интересовало. Древние мужики и их бытовые проблемы совершенно никакого отклика в сердцах и умах не вызывали.
«Хорошо» — подумал я — «древние мужики не слишком интересны». Я обратился к их интересам. Пытался рассказать, как и где математика используется в компьютерных играх; как с помощью статистики футбольные команды пытаются улучшить свои результаты; где может пригодиться геометрия в решении бытовых задач. Но и здесь я успеха не достиг.
Может быть я плохой учитель. Может я быстро сдался и мне остался всего один шаг до того, как обнаружить их интересы и через их призму изложить материал. А может быть они просто ничем не интересовались. Всего понемногу, я думаю. Кроме того, пришло осознание того, что
Во-вторых, (вы ещё помните что я тут описываю причины, по которым математика преподаётся так, как преподаётся?) есть рабочая программа дисциплины. Документ, который определяет, что и в каком порядке должен рассказать учитель. И есть уроки, которые длятся по сорок пять минут.
В школе, конечно, кажется, что эти самые уроки идут целую вечность. Но смею вас заверить: по обратную сторону баррикад, с точки зрения учителя они проносятся с невероятной скоростью. И хорошо если на тему выделяется несколько уроков: на одном ты можешь в более-менее спокойном темпе рассказать новый материал и разобрать типичные задания, на другом — вызвать кого-нибудь к доске и проверить знания, на третьем — провести в начале матдиктант, а по его мотивам разобрать непонятные вещи. В идеале оно, конечно так.
Но на деле выясняется, что люди учатся с разной скоростью. А когда с разной скоростью учатся от двадцати до тридцати человек в голове учителя происходит абсолютный ад и Израиль. Нельзя топтаться на месте, потому что программа должна быть освоена в полном объёме. Но и не отвечать на вопросы тоже нельзя, ведь что ж это за учитель такой, который на вопросы не отвечает? А ещё есть несколько человек в классе, которые схватывают всё быстрее и их тоже надо чем-то озадачить чтобы они не считали мух. Словом, это всё напоминает, как сказал бы Фольтест, пожар в борделе. Только вам ещё надо организовать из него эвакуацию, учитывая, что среди девочек есть и старушенции, которые еле ноги переставляют, и чемпионки по лёгкой атлетике. И не просто организовать, а сделать это так, чтобы все стартовали и закончили (гусары, молчать!) примерно в одно и то же время. Дурдом.
Всё это, а также неизбывно присутствующий призрак разных проверок и аттестаций вынуждает учителей вместо интересного и подробного изложения материала брать со вздохом напильник и быстро-быстро (как я напильником-то учить буду?) обрабатывать весь класс шаблонными заданиями и методами их решения.
В-третьих, подготовка детей оставляет желать лучшего. Я подозреваю, что в младших классах проблемы примерно те же, да ещё и помноженные на подвижную психику младшеклассников, но обычно ко мне приходили умственно отсталые не вполне подготовленные дети. Один из основных принципов преподавания — «от простого к сложному». И вот ты объясняешь, скажем, как раскрывать квадрат суммы (сколько из вас вздрогнуло на этих словах?), приводишь примеры и просишь выйти кого-то к доске. И спустя пару минут грустных вздохов выясняется, что человек не умеет умножать. Ну то есть пять на шесть он худо-бедно умножит, но вот раскрыть скобки — это всё, полный ступор и отказ главной машины. Что делать? Двигаться дальше и махнуть рукой, мол, раньше должны были научить? Или остановиться и попытаться объяснить?
Я, конечно, старался объяснять. Но обучение это ведь процесс основанный в том числе и на повторении. Если человек не придёт домой и не попытается что-то порешать самостоятельно, то я могу хоть обрассказываться о том, как и что делать. Эффект будет колебаться в районе нуля.
Вот и выходит так, что ученики год за годом накапливают непонимание, а учителя на фундаменте этого непонимания пытаются возвести новые этажи с новыми знаниями. И новый этаж получается. Только не знаний, а отвращения к математике.
На сегодня всё. Домашнее задание: написать в комментариях своё мнение о прочитанном и задать интересующие вопросы.