Что такое евклидово расстояние между векторами

Расстояние Евклида (Euclid distance)

Расстояние Евклида — это геометрическое расстояние в многомерном пространстве. Оно вычисляется по теореме Пифагора.

Пусть в n-мерном пространстве заданы две точки: p ( p 1 , p 2 , . . . p n ) и q ( q 1 , q 2 , . . . q n ) . Тогда евклидово расстояние между ними вычисляется по следующей формуле:

d p q = √ n ∑ i = 1 ( p i − q i ) 2 ,

Например, расстояние Евклида между двумя точками a ( x a , y a , z a ) и b ( x b , y b , z b ) в 3-мерном пространстве ( X Y Z ) рассчитывается по формуле:

d a b = √ ( x a − x b ) 2 + ( y a − y b ) 2 + ( z a − z b ) 2 .

Евклидово расстояние является наиболее понятной и интерпретируемой мерой различия или близости объектов, представленных векторами признаков в многомерном пространстве, отражая интуитивные свойства расстояния между точками. Поэтому оно широко используется в анализе данных в качестве критерия для объединения наблюдений в классы и кластеры, оценки ошибок в предсказательной аналитике, а также в инструментах визуализации (например, картах Кохонена).

Русские Блоги

Машинное обучение — сравнение нескольких методов измерения расстояния

1. Евклидово расстояние

Евклидово расстояние — это самый простой метод измерения расстояния для интуитивного понимания.Расстояние в пространстве между двумя точками, которые наша начальная школа, средняя школа и средняя школа, в общем, относится к евклидову расстоянию.

Евклидово расстояние между точками a (x1, y1) и b (x2, y2) на двумерной плоскости:

Евклидово расстояние между точками a (x1, y1, z1) и b (x2, y2, z2) в трехмерном пространстве:

Евклидово расстояние (два n-мерных вектора) между n-мерными точками пространства a (x11, x12, . x1n) и b (x21, x22, . x2n):

Matlab рассчитывает евклидово расстояние:

Matlab рассчитывает расстояние, используя функцию pdist. Если X является матрицей m × n, то pdist (X) принимает каждую строку матрицы X как n-мерный вектор строк, а затем вычисляет расстояние между этими m векторами.

2. Манхэттен Расстояние

Как видно из названия, проезд от одного перекрестка до другого в блоке Манхэттен, очевидно, не является прямым расстоянием между двумя точками. Это фактическое расстояние вождения — «Манхэттенское расстояние». Расстояние до Манхэттена также называется «Расстояние городского квартала».

Манхэттенское расстояние между двумя точками a (x1, y1) и b (x2, y2) в двумерной плоскости:

Манхэттенское расстояние между a (x11, x12, . x1n) и b (x21, x22, . x2n) в n-мерном пространстве:

Matlab рассчитывает манхэттенское расстояние:

3. Чебышевское расстояние

В шахматах король может двигаться прямо, вбок и по диагонали, поэтому король может перейти на любой из восьми соседних квадратов за один шаг. Сколько шагов королю нужно пройти от сетки (x1, y1) до сетки (x2, y2)? Это расстояние называется расстоянием Чебышева.

Расстояние Чебышева между двумя точками a (x1, y1) и b (x2, y2) в двумерной плоскости:

Расстояние Чебышева между n-мерными точками пространства a (x11, x12, . x1n) и b (x21, x22, . x2n):

Матлаб вычисляет чебышевское расстояние:

4. Минковский Расстояние

Минимальное расстояние — это не расстояние, а набор определений расстояний, общее выражение нескольких формул измерения расстояния.

Определение минимального расстояния:
Расстояние Минковского между двумя n-мерными переменными a (x11, x12, . x1n) и b (x21, x22, . x2n) определяется как:

Где p — переменный параметр:

Когда p = 1, это манхэттенское расстояние;

Когда р = 2, это евклидово расстояние;

При p → ∞ это расстояние Чебышева.

Следовательно, согласно различным параметрам, расстояние Мин может представлять собой расстояние определенного типа / вида.

Минимальное расстояние, включая расстояние до Манхэттена, евклидово расстояние и расстояние Чебышева, имеет очевидные недостатки.
например, двумерные образцы (рост [единица измерения: см], вес [единица измерения: кг]), существует три образца: a (180, 50), b (190, 50), c (180, 60). Тогда минимальное расстояние a и b (будь то расстояние до Манхэттена, евклидово или чебышевское расстояние) равно минимальному расстоянию a и c. Но на самом деле 10 см в высоту не может сравниться с 10 кг в весе.
Недостатки расстояния Мин:
(1) одинаково относиться к размерам каждого компонента (шкалы), то есть к «единице»;

(2) Распределение (ожидание, дисперсия и т. Д.) Каждого компонента, не учитываемого, может отличаться.

Matlab вычисляет расстояние Мин (на примере Евклидова расстояния p = 2):

5. Стандартизированное евклидово расстояние

Определение: стандартизированное евклидово расстояние является улучшением по сравнению с недостатками евклидова расстояния. Идея стандартного евклидова расстояния: поскольку распределение компонентов в каждом измерении данных не одинаково, прежде всего «нормализуйте» каждый компонент к среднему значению и дисперсии. Предположим, что среднее значение выборочного набора X равно m, стандартное отклонение равно s, а «стандартизированная переменная» X выражается как:

Стандартизированная евклидова формула расстояния:

Если обратная величина дисперсии рассматривается как вес, ее также можно назвать взвешенным евклидовым расстоянием.

Matlab вычисляет стандартизированное евклидово расстояние (при условии, что стандартные отклонения двух компонентов равны 0,5 и 1 соответственно):

6. Махаланобис Расстояние

Вывод расстояния Махаланобиса:

На приведенном выше рисунке есть две нормально распределенные группы населения, их средние значения a и b, но различия отличаются, поэтому какая группа населения ближе к точке A на рисунке? Или для кого A имеет большую вероятность? Очевидно, что A ближе к левому краю, и A, скорее всего, принадлежит левой популяции, хотя A имеет большее евклидово расстояние от a. Это интуитивное объяснение расстояния Махаланобиса.

Концепция: расстояние Махаланобиса — это расстояние, основанное на распределении выборки. Физический смысл — евклидово расстояние в нормализованном пространстве главных компонент. Так называемое стандартизированное пространство главных компонентов состоит в том, чтобы использовать анализ главных компонентов для выполнения декомпозиции главных компонентов на некоторых данных. Затем нормализуйте все оси разложения главных компонентов, чтобы сформировать новую координатную ось. Пространство, образованное этими осями координат, является нормализованным пространством главных компонент.

Расстояние Махаланобиса между векторами Xi и Xj определяется как:

Если ковариационная матрица является единичной матрицей (выборочные векторы независимо и одинаково распределены), то расстояние Махаланобиса между Xi и Xj равно их евклидову расстоянию:

Если ковариационная матрица является диагональной матрицей, это стандартизированное евклидово расстояние.

Европейское расстояние и расстояние Махаланобиса:

Особенности расстояния Махаланобис:
Размерность не имеет значения, и вмешательство корреляции между переменными исключено;
Расчет расстояния Махаланобиса основан на общей выборке.Если вы берете те же две выборки и помещаете их в две разные популяции, расстояние Махаланобиса между двумя расчетными выборками обычно отличается Если ковариационная матрица двух популяций не совпадает;
При расчете расстояния Махаланобиса общее количество выборок должно быть больше размера выборки, в противном случае обратная матрица ковариационной матрицы полученной общей выборки не существует.

Матлаб вычисляет расстояние Махаланобиса:

7. Косинус Расстояние

В геометрии угол косинуса может использоваться для измерения разницы между двумя направлениями вектора, а в машинном обучении эта концепция используется для измерения разницы между векторами выборки.

Формула косинуса угла между вектором A (x1, y1) и вектором B (x2, y2) в двумерном пространстве:

Угловой косинус двух n-мерных точек выборки a (x11, x12, . x1n) и b (x21, x22, . x2n) составляет:

Диапазон угла косинуса составляет [-1,1]. Чем больше косинус, тем меньше угол между двумя векторами, и чем меньше косинус, тем больше угол между двумя векторами. Когда направления двух векторов совпадают, косинус принимает максимальное значение 1, а когда направления двух векторов полностью противоположны, косинус принимает минимальное значение -1.

Matlab вычисляет косинус включенного угла (pdist (X, «косинус») в Matlab получает значение 1 минус включенный косинус угла):

8. Расстояние Хэмминга

Определение: Расстояние Хэмминга между двумя символьными строками одинаковой длины s1 и s2: минимальное количество замен символов, необходимое для замены одной на другую. Например:

Вес Хэмминга: это расстояние Хэмминга строки относительно нулевой строки той же длины, то есть это число ненулевых элементов в строке: для двоичной строки это число 1, поэтому Вес Хэмминга 11101 равен 4. Следовательно, если расстояние Хемминга между элементами a и b в векторном пространстве равно разности a-b их весов Хэмминга.

Применение: анализ веса Хэмминга имеет приложения в таких областях, как теория информации, теория кодирования и криптография. Например, в процессе кодирования информации, чтобы повысить отказоустойчивость, минимальное расстояние Хемминга между кодировками должно быть как можно большим. Однако, если вы хотите сравнить две строки разной длины, в этом случае обычно используются не только операции замены, но и операции вставки и удаления, в которых используются более сложные алгоритмы, такие как расстояние редактирования.

Matlab вычисляет расстояние Хемминга (расстояние Хемминга между двумя векторами в Matlab определяется как процентное соотношение различных компонентов двух векторов):

9. Джекард Расстояние

Коэффициент подобия Жакара (коэффициент сходства Жакара): доля пересечения двух множеств A и B в объединении A и B, называемая коэффициентом сходства Жакара двух множеств с символом J (A, Б) означает:

Расстояние Жакара: В отличие от коэффициента сходства Жакара, отношение разных элементов в двух наборах ко всем элементам используется для измерения разницы между двумя наборами:

Matlab вычисляет расстояние Джакарты (Matlab определяет расстояние Джакарты как отношение числа различных измерений к «ненулевому измерению»):

10. Корреляционное расстояние

Коэффициент корреляции: это метод измерения корреляции между случайными переменными X и Y. Диапазон коэффициента корреляции составляет [-1,1]. Чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции, тем выше корреляция между X и Y. Когда X и Y линейно коррелируют, коэффициент корреляции равен 1 (положительная линейная корреляция) или -1 (отрицательная линейная корреляция):

Связанное расстояние:

Matlab рассчитывает коэффициент корреляции и расстояние корреляции:

11. Информационная энтропия

Все вышеперечисленные методы измерения расстояния измеряют расстояние между двумя образцами (векторами), а информационная энтропия описывает расстояние между образцами во всей системе или концентрацию распределения образцов в системе (степень согласованности) ), Степень дисперсии, степень смешения (степень несоответствия). Чем более рассредоточено распределение выборки в системе (или чем оно более равномерно распределено), тем выше энтропия информации. Чем более упорядочено распределение (или чем более сконцентрировано распределение), тем меньше энтропия информации.

Происхождение информационной энтропии: пожалуйста, обратитесь к блогу: XXXXXXXX.

Формула для расчета информационной энтропии заданного выборочного набора X:

n: количество классификаций выборочного набора X

pi: вероятность появления i-го элемента в X

Чем больше информационная энтропия, тем более рассредоточено распределение выборочного набора S (распределенное равновесие) и чем меньше информационная энтропия, тем более концентрированное распределение выборочного набора X (несбалансированное распределение). Когда вероятность появления n категорий в S одинакова (все 1 / n), информационная энтропия принимает максимум log2 (n). Когда X имеет только одну категорию, информационная энтропия принимает минимальное значение 0.

Интеллектуальная рекомендация

Реализация JavaScript Hashtable

причина Недавно я смотрю на «Структуру данных и алгоритм — JavaScript», затем перейдите в NPMJS.ORG для поиска, я хочу найти подходящую ссылку на библиотеку и записывать его, я могу исполь.

MySQL общие операции

jdbc Транзакция: транзакция, truncate SQL заявление Transaction 100 000 хранимая процедура mysql msyql> -определить новый терминатор,Пробелов нет mysql>delimiter // mysql> -создание хранимой .

Используйте Ansible для установки и развертывания TiDB

жизненный опыт TiDB — это распределенная база данных. Настраивать и устанавливать службы на нескольких узлах по отдельности довольно сложно. Чтобы упростить работу и облегчить управление, рекомендуетс.

Последняя версия в 2019 году: использование nvm под Windows для переключения между несколькими версиями Node.js.

С использованием различных интерфейсных сред вы можете переключаться между разными версиями в любое время для разработки. Например, развитие 2018 года основано наNode.js 7x версия разработана. Тебе эт.

Шаблон проектирования — Создать тип — Заводской шаблон

Заводская модель фабрикиPattern Решать проблему: Решен вопрос, какой интерфейс использовать принципСоздайте интерфейс объекта, класс фабрики которого реализуется его подклассом, чтобы процесс создания.

Расстояние между 2 векторами

Одной из важнейших задач геометрии является задача измерения расстояния между двумя объектами. В произвольном линейном пространстве мы пока не можем определить насколько «близки» между собой объекты. В настоящем разделе понятие расстояния между двумя векторами — элементами линейного пространства — будет вводиться посредством скалярного произведения векторов. Насколько обоснован такой порядок введения понятий:

$ \mbox<> \qquad $ скалярное произведение $ \to $ длина ?

Ведь в аналитической геометрии последовательность кажется более «естественной»: скалярное произведение двух векторов $ X_<> $ и $ Y_<> $ определялось как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: $ \langle X,Y \rangle = |X| \cdot |Y| \cdot \cos (\widehat ) $. Тем не менее, формально непротиворечива и обратная схема: если допустить, что скалярное произведение любых двух векторов может быть как-то вычислено (например, в $ \mathbb R^ $ по формуле $ \langle X,Y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $ при заданных прямоугольных координатах $ (x_1,x_2,x_3) $ и $ (y_1,y_2,y_3) $ векторов $ X_<> $ и $ Y_<> $), то и длину векторов и угол между ними можно выразить через подходящие скалярные произведения: $$ |X|=\sqrt ,\qquad \widehat =\arccos \frac > \ .$$

Определения

Вещественное линейное пространство $ \mathbb E_<> $ называется евклидовым 1) , если в этом пространстве определена функция, ставящая в соответствие паре векторов $ \ \subset \mathbb E $ вещественное число, называемое скалярным произведением векторов 2) $ X_<> $ и $ Y_<> $, и обозначаемое $ \langle X,Y \rangle_<> $ или $ (X,Y)_<> $; при этом фцнкция подчиняется аксиомам:

1. $ \langle X,Y \rangle= \langle Y,X \rangle $ для $ \ \subset \mathbb E $;
2. $ \langle X_1+X_2,Y \rangle = \langle X_1,Y \rangle + \langle X_2,Y \rangle $ для $ \ \subset \mathbb E $;
3. $ \langle \lambda\, X,Y\rangle=\lambda\, \langle X,Y\rangle $ для $ \ \subset \mathbb E,\ \lambda \in \mathbb R $;
4. $ \langle X,X \rangle>0 $ для $ \forall X\ne \mathbb O $, $ \langle \mathbb O,\mathbb O \rangle =0 $.

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору:

2′. $ \langle X,Y_1+Y_2 \rangle = \langle X,Y_1 \rangle + \langle X,Y_2 \rangle $ для $ \ \subset \mathbb E $.

Пример 1. Пространство $ \mathbb R_<>^ $, рассматриваемое как пространство вещественных векторов-столбцов. Для векторов

Зачем нужна такая возможность в неоднозначности определения скалярного произведения в одном и том же пространстве? — Ответ на этот вопрос откладывается до следующего пункта. А пока приведу одно замечание 3) .

Пример 2. Пространство $ \mathbb P_ $ полиномов одной переменной степеней $ \le n_<> $ с вещественными коэффициентами. Скалярное произведение полиномов

$$ p(x)=a_ x^n+a_1x^ +\dots + a_n \quad \mbox \quad q(x)=b_ x^n+b_1x^ +\dots + b_n $$ введем формулой $$ \langle p(x), q(x) \rangle = \sum_ ^n a_j b_j. $$ Легко проверить справедливость всех аксиом.

В том же пространстве $ \mathbb P_ $ можно ли определить скалярное произведение формулой

$$ \langle p(x),q(x) \rangle = \sum_ ^m p(x_k) q(x_k) \quad npu \ \ _ ^m \subset \mathbb R \ ? $$

Пример 3. Линейное пространство $ \mathbb R^ $ вещественных квадратных матриц порядка $ n_<> $. Скалярное произведение введем формулой

Вторая интерпретация формулы связана с операцией $ \operatorname $ нахождения следа матрицы, т.е. суммы элементов ее главной диагонали: $$ \langle A,B \rangle = \operatorname \left(A\cdot B^ \right) \, . $$ Эквивалентность последнего представления определению устанавливается непосредственной проверкой.

С помощью матрицы Грама формула скалярного произведения записывается в виде $$ \langle X,Y \rangle =[x_1,\dots,x_n] G(X_1,\dots,X_n) \left[ \begin y_1 \\ \vdots \\ y_n \end \right]\ . $$

Пример 4. В пространстве $ \mathbb R^ $ столбцов из $ n_<> $ элементов при стандартном способе задания скалярного произведения

Свойства

Теорема. Имеет место неравенство Коши–Буняковского:

$$ \langle X,Y \rangle ^2 \le \langle X,X \rangle \langle Y,Y \rangle \quad npu \ \forall \ \ \subset \mathbb E \ . $$

Доказательство для случая $ \mathbb R^ _<> $ приведено ☞ ЗДЕСЬ. Для доказательства общего случая используем одну вспомогательную конструкцию. Из аксиомы 4 следует, что для $ \forall \lambda \in \mathbb R $ будет выполнено $ \langle \lambda\, X — Y,\, \lambda\, X — Y \rangle \ge 0 $. Имеем: $$ 0 \le \langle \lambda\, X — Y,\, \lambda\, X — Y \rangle \le \lambda^2 \langle X,X \rangle — 2\,\lambda \langle X,Y \rangle +(Y,Y) \ . $$ Квадратное относительно $ \lambda_<> $ неравенство будет выполнено при всех вещественных значениях этого параметра тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена будет отрицателен: $$ \mathcal D=\langle X,Y \rangle^2 — \langle X,X \rangle \langle Y,Y \rangle \le 0 \ . $$ ♦

С помощью скалярного произведения, введенного в предыдущем пункте, можно доказать справедливость интегральной формы неравенства:

$$ \left( \int_a^b p(t)q(t) d\,t \right)^2 \le \int_a^b p^2(t) d\,t \cdot \int_a^b q^2(t) d\,t $$ для произвольных полиномов 6) $ \

\subset \mathbb R [x] $.

Длиною вектора $ X_<> $ в евклидовом пространстве $ \mathbb E_<> $ называется число $$ |X| = \sqrt \ ; $$ здесь квадратный корень понимается как корень арифметический: $ |X| \ge 0 $. Расстоянием между векторами $ X_<> $ и $ Y_<> $ называется число $ |X-Y| $.

В $ \mathbb R^ _<> $ при скалярном произведении, заданном стандартным способом формулой

$$ \langle X,Y \rangle = \sum_ ^n x_jy_j \quad npu \quad X=[x_1,\dots,x_n] >,\ Y=[y_1,\dots,y_n] > \ , $$ длина вектора $ X_<> $ определяется естественным (с точки зрения геометрии) способом: $ |X|=\sqrt $.

Теорема. Имеет место неравенство треугольника

$$ |X+Y| \le |X|+|Y| \quad npu \ \forall \ \subset \mathbb E \ . $$

Доказательство. На основании неравенства Коши-Буняковского, имеем: $$ 0 \le \langle X+Y,\, X+Y \rangle=\langle X,X \rangle+2\langle X,Y \rangle+\langle Y,Y \rangle \le |X|^2+2\, |X| \cdot |Y| +|Y|^2=\left(|X|+|Y| \right)^2 \ . $$ ♦

Углом между векторами $ X_<> $ и $ Y_<> $ называется угол $$\varphi = \widehat = \arccos \frac \ .$$ Ввиду неравенства Коши-Буняковского это определение непротиворечиво: дробь под знаком арккосинуса не превосходит 1 по абсолютной величине. Векторы $ X_<> $ и $ Y_<> $ называются ортогональными: $ X \bot Y $ если угол между ними равен $ \pi/2 $, или, что то же, $ \langle X,Y \rangle=0 $.

Введенное таким определением понятие является естественным обобщением понятия угла на плоскости и в трехмерном пространстве. Хотя в пространствах размерностей больших $ 3_<> $ человеческие мозги думать не приучены, тем не менее, абстракция находит практическое применение в задаче информационного поиска.

Пусть задача заключается в сравнении двух текстовых документов «на похожесть». Имеются некоторые наборы ключевых слов, описывающих каждый из этих документов. Составим объединение этих наборов, упорядочим получившийся набор (пронумеруем слова), посчитаем частоты вхождений каждого из слов в каждый из документов. Получим два вектора: $$ X_1=(f_ ,f_ ,\dots), \ X_2=(f_ ,f_ ,\dots) \ , $$ описывающие каждый из документов. Здесь $ f_ \in \ $ — количество вхождений $ k_<> $-го слова в $ j_<> $-й документ. Для оценки близости векторов, на первый взгляд, кажется естественным вычислить расстояние между ними стандартным способом: $$ |X_1-X_2| = \sqrt (f_ -f_ )^2> \ . $$ Однако, по здравому размышлению, понимаем, что при таком способе, документы различные по объему (общему количеству слов) будут слишком сильно отличаться друг от друга, при том, что могут оказаться близкими по сути (как будет отличаться большая статья от собственного реферата). Поэтому имеет смысл усреднить частоты в обоих текстах, т.е. рассматривать расстояние между векторами $ X_1/|X_1| $ и $ X_2/|X_2| $ единичной длины: $$ \left|\frac -\frac \right| = \sqrt \right)> \ ; $$ скалярное произведение под знаком корня вычисляется стандартным способом: $ \langle X_1,X_2 \rangle=\sum_ f_ f_ $. Отсюда и возникает понятие косинусного расстояния: величина $$ \frac $$ неотрицательна (поскольку компоненты векторов $ X_1,X_2 $ неотрицательны), и чем ближе она к $ 1_<> $ тем меньше расстояние между между нормированными векторами. Эта величина называется также похожестью или cходством 8) векторов (документов) $ X_ $ и $ X_ $.

Теорема [Пифагор]. Если $ X \bot Y $, то $ |X+Y|^2=|X|^2+|Y|^2 $.

Если векторы $ X_1,\dots,X_k $ попарно взаимно ортогональны, то

Пример. Найти расстояние между полиномами

$$p(x)=x^ -1/2\,x^ -1/2\,x^ +5\,x^ -5\,x^ +5\,x^2+1 \quad u \quad q(x)=5\,x^2+1 $$ если скалярное произведение задается формулой а) $ \displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \sum_ ^ a_j b_j $ ; б) $ \displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \int_ ^1 p(t)q(t) d\, t $.

Решение. Для случая а) нам достаточно просто вычислить сумму квадратов коэффициентов разности $ p(x)-q(x) $: расстояние равно $ \sqrt $.

Для случая б) нам придется иметь дело с интегралом $$ \int_ ^1 \left(p(t)-q(t) \right)^2 d\, t = \int_ ^1 \left(t^ -1/2\,t^ -1/2\,t^ +5\,t^ -5\,t^ \right)^2 d\, t \ , $$ который, несмотря на свой громоздкий вид, может быть вычислен элементарными приемами математического анализа. В этом случае расстояние будет равно $ \sqrt $.

Ответ. а) $ \approx 7.176 $ ; б) $ \approx 0.076 $.

Теперь прокомментируем последний пример. В разделе, посвященном полиному одной переменной, имеется теорема о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов. Смысл этого результата в следующем: если коэффициенты полиномов

$$f(x)=x^n+a_1x^ +\dots+a_n \quad u \quad (x)=x^n+ _1x^ +\dots+ _n$$ из $ \mathbb C[x] $ близки, то и корни этих полиномов (при соответствующей нумерации) будут близки на комплексной плоскости. В этой теореме мера близости полиномов оценивается по формуле $$ \sqrt[n] ^n|a_k- _k| \gamma^ > \quad npu \quad \gamma = \max_ > \left( \sqrt[j] \ , \sqrt[j] _j|> \right) \ , $$ которая, хоть и не совпадает с формулой $$ \sqrt ^n \left(a_k- _k \right)^2> \ , $$ определяющей расстояние в пространстве полиномов, но идейно ей близка. Вычисленное в предыдущем примере расстояние между полиномами $ p_<>(x) $ и $ q_<>(x) $ по формуле а) оказывается достаточно большим в том смысле, что если для полинома $ p_<>(x) $ искать полином, имеющий почти такое же расположение корней на $ \mathbb C_<> $, то полином $ q_<>(x) $ окажется неподходящим кандидатом. 9)

Другое дело, если ставится задача приближения полинома $ p_<>(x) $ только на интервале $ [-1,1] $ — тогда полином $ q_<>(x) $ может оказаться вполне полезным. Выясним сначала природу интеграла, возникшего при решении. Пусть сначала $ p_<>(x) $ и $ q_<>(x) $ — произвольные, но (для простоты рассуждений) неотрицательные на интервале $ [a_<>,b] $ полиномы. Геометрический смысл интеграла $ \int_a^b p(t) d\, t $ — площадь криволинейной трапеции на плоскости $ (x_<>,y) $, ограниченной прямыми $ x=a_<>,\,x=b,\,y=0 $ и графиком $ y=p(x) $. Следовательно, геометрический смысл интеграла $$ \int_a^b \left| p(t)-q(t) \right| d\, t $$ — площадь фигуры, ограниченной прямыми $ x=a,\,x=b_<> $ и графиками $ y=p(x), y=q(x) $ (заштрихована коричневым на рисунке). Чем меньше эта площадь, тем «теснее» друг к другу на отрезке $ [a_<>,b] $ расположены графики $ y=p(x) $ и $ y=q(x) $. Величина $$ \sqrt \ , $$ вообще говоря, не совпадает с предыдущей, но смысл ее тот же: она позволяет оценивать близость графиков на всем отрезке $ [a_<>,b] $. Ответ в примере для варианта б) позволяет заключить, что на отрезке $ [-1,1] $ полином $ p_<>(x) $ неплохо приближается своими младшими одночленами, т.е. на указанном отрезке график $ y=p(x) $ не должен слишком сильно отличаться от параболы $ y=5\,x^2+1 $.

Подводя итог приведенным рассуждениям, можно только повторить: метод, выбираемый для оценки близости между объектами, может зависеть от поставленной задачи. Микроскоп не пригоден для наблюдения за большими объектами, а телескоп — за малыми.

Следующий результат также имеет название, взятое из планиметрии, где он формулируется так: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

Теорема. В евклидовом пространстве имеет место равенство параллелограмма

$$ |X+Y|^2+|X-Y|^2 =2(|X|^2+|Y|^2) \quad npu \ \forall \ \subset \mathbb E \ . $$

Ортогонализация

Пусть $ \dim \mathbb E=n $ и векторы $ \ $ составляют базис $ \mathbb E_<> $. Этот базис называется ортогональным если векторы попарно ортогональны: $ X_j\bot X_k $; базис называется нормированным если каждый его вектор имеет единичную длину: $ |X_j|=1 $; базис называется ортонормированным если он ортогонален и нормирован, т.е. $$\langle X_j,X_k \rangle=\delta_ ,\quad npu \quad \ \subset \ \ .$$ Здесь $ \delta_ ^<> $ — символ Кронекера.

Ортогональный базис будем обозначать $ _1,\dots, _n $.

Чему равно расстояние между двумя векторами ортонормированного базиса?

В пространстве $ \mathbb R_<>^ $ стандартным ортогональным базисом является базис, состоящий из векторов $$ _j = \big[\underbrace _ ,0,\dots,0\big]^ \quad npu \quad j \in \ \ . $$ Существование же ортогонального базиса в произвольном евклидовом пространстве еще требует доказательства. Предварительно установим следующий результат.

Теорема. Если ненулевые векторы $ X_1,\dots, X_ $ попарно ортогональны, то они линейно независимы.

Доказательство. В самом деле, если $$ \lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n = \mathbb O \ , $$ то, домножив это равенство скалярно на $ X_ $, получим $$ \lambda_1 \langle X_1,X_1 \rangle + \dots + \lambda_n \langle X_1,X_n \rangle = 0 \ . $$ Поскольку $ \langle X_1,X_j \rangle=0 $ для $ j\in \ $, то $ \lambda_1 \langle X_1,X_1 \rangle=0 $, откуда $ \lambda_1=0 $. Аналогично показывается, что и все остальные $ \lambda_j $ равны 0. ♦

Задача. Пусть имеется произвольная система $ \ $ линейно независимых векторов. Требуется построить систему ортогональных векторов $ \left\ _1,\dots, _k \right\> $ такую, чтобы линейные оболочки любых подсистем совпадали: $$ \left(X_1,\dots,X_m \right) = \left( _1,\dots, _m \right) \quad npu \quad m\in \ \ . $$ Иными словами, вектор $ _1 $ должен линейно зависеть от $ X_ $, вектор $ _2 $ должен линейно выражаться через $ X_1,X_2 $, $ _3 $ — через $ X_1,X_2,X_3 $ и т.д.

Алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта 10)

В случае $ m_<>=1 $ возьмем $ _1=X_1 $: поскольку вектор $ X_ $ входит в линейно независимую систему , то $ _1 \ne \mathbb O $. Далее, будем искать $ _2 $ в виде $$ _2=X_2 + \alpha_ _1 $$ при пока неопределенном коэффициенте $ \alpha_ $. Очевидно, что при таком выборе $ _2 $ условие $ (X_1,X_2)= ( _1, _2) $ будет выполнено. Подберем $ \alpha_ $ так, чтобы выполнялось $ _2 \bot _1 $. $$0=\langle _1, _2 \rangle=\langle _1,X_2 \rangle+\alpha_ \langle _1, _1 \rangle \ \Rightarrow \ \alpha_ =-\langle _1,X_2 \rangle \big/ \langle _1, _1 \rangle \ . $$ Таким образом, коэффициент $ \alpha_ $, а вместе с ним и вектор $ _2 $ определяются единственным образом. При этом $ _2\ne \mathbb O $, ибо, в противном случае, векторы $ X_2 $ и $ _1=X_1 $ были бы л.з., что противоречит предположению о линейной независимости системы $ \ $. Продолжаем процесс далее: вектор $ _3 $ ищем в виде $$ _3=X_3 + \alpha_ _1 + \alpha_ _2 $$ при пока неопределенных коэффициентах $ \alpha_ $ и $ \alpha_ $. Условие $ (X_1,X_2,X_3)= ( _1, _2, _3) $ выполняется поскольку $$\alpha_ _1 + \alpha_ _2 \in (X_1,X_2) \subset (X_1,X_2,X_3) \ .$$ Подберем скаляры $ \alpha_ $ и $ \alpha_ $ так, чтобы выполнялось $ _3 \bot _1 $ и $ _3 \bot _2 $. Два этих условия задают систему линейных уравнений $$\left\ \langle X_3, _1 \rangle + \alpha_ \langle _1, _1 \rangle + \alpha_ \langle _2 , _1 \rangle &=0 ,\\ \langle X_3, _2 \rangle + \alpha_ \langle _1, _2 \rangle + \alpha_ \langle _2 , _2 \rangle &=0 , \end \right. \ \iff \begin \alpha_ =-\langle X_3, _1 \rangle \big/ | _1|^2 \\ \alpha_ =-\langle X_3, _2 \rangle \big/ | _2|^2 \end $$

Процесс продолжается далее аналогично. Допустим, что векторы $ _1,\dots, _ $ уже построены, они ненулевые, попарно ортогональные и $$ \left(X_1,\dots,X_ \right)= \left( _1,\dots, _ \right) \ .$$ Вектор $ _ $ ищем в виде: $$ _ =X_k+\alpha_ _1 + \alpha_ _2 +\dots + \alpha_ _ $$ при пока неопределенных коэффициентах $ \alpha_ ,\dots ,\alpha_ $. Условие $ \left(X_1,\dots,X_ ,X_k \right)= \left( _1,\dots, _ , _ \right) $ выполнено и, кроме того, $ _ \ne \mathbb O $ (в противном случае $ X_k \in \left( _1,\dots, _ \right) = \left(X_1,\dots,X_ \right) $, т.е. система $ \ ,X_k \> $ линейно зависима. Коэффициенты $ \alpha_ , \dots ,\alpha_ $ подбираются из условий $ _ \bot _1,\dots, _ \bot _ $. Получающаяся система линейных уравнений имеет единственное решение $$\alpha_ =- \langle X_k, _1 \rangle \big/ | _1|^2 ,\dots, \alpha_ =-\langle X_k, _ \rangle \big/ | _ |^2 \ , $$ и это решение определяет единственный вектор $ _ $. ♦

Пример. Ортогонализовать систему векторов

$$ X_1=\left[1,0,0,0,1 \right],\ X_2=\left[1,1,0,1,1 \right],\ X_3=\left[1,1,1,1,1 \right] $$ при стандартном способе задания скалярного произведения в $ \mathbb R^5 $.

Пример. Пусть в пространстве полиномов скалярное произведение задается формулой

$$ \langle p(x),q(x) \rangle=\int_ ^ p(t)q(t) d\, t \ .$$ Построить ортогональный базис этого пространства.

Решение. Искомый базис строится ортогонализацией канонического базиса $ 1,x,x^2,\dots, x^n $. В результате получаем систему полиномов: $$1,\ x,\ x^2-\frac ,\ x^3-\frac \, x,\ x^4-\frac \, x^2+\frac ,\dots $$ Полиномы, получающиеся из этих нормированием: $$P_0(x)=1,\ P_1(x)= x,\ P_2(x)=\frac (3\,x^2-1),\ P_3(x)= \frac ( 5\,x^3-3\, x),\ $$ $$ P_4(x)= \frac (35\,x^4-30\, x^2+3),\dots $$ $$ P_n(x)=\frac \sum_ ^ \frac x^ \ $$ известны как полиномы Лежандра. Здесь $ \lfloor \mbox \rfloor $ означает целую часть числа. Рекуррентное соотношение $$kP_ (x)-(2k-1)\,xP_ (x)+(k-1)\,P_ (x) \equiv 0, \quad k\ge 2 \ ;$$ позволяет найти полином $ P_ (x) $ если уже вычислены $ P_ (x) $ и $ P_ (x) $. ♦

Следующая теорема устанавливает связь между двумя ортонормированными базисами в одном и том же пространстве.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

В пространстве $ \mathbb R^ _<> $ матрица, составленная из столбцов произвольного ортонормированного базиса, является ортогональной.

Матричный формализм алгоритма Грама-Шмидта: QR-разложение

Теперь обдумаем полученный результат. Матрицы, на которые производились домножения матрицы $ A_<> $ имеют довольно специфическую форму: они — либо диагональные, либо же отличаются от единичной матрицы в одном их своих столбцов. Эти матрицы могут быть отнесены к типу матриц элементарных преобразований системы столбцов произвольной матрицы $ A_<> $. Все они являются верхнетреугольными, и их произведение $ R_<> $ относится к тому же типу. Обратная к верхнетреугольной также является верхнетреугольной. В результате, можно получить разложение матрицы $ A_<> $ в произведение $$ A=Q_ R^ \, , $$ где вторая матрица в произведении является верхнетреугольной, а первая имеет свои столбцы ортонормированными.

Теорема [о QR-разложении]. Для любой вещественной матрицы $ A_ ^<> $ ранга $ n 11) $ \tilde R_ $, такие, что $$ A=Q \tilde R \, . $$

Пример. Для матрицы из предыдущего примера имеем:

Для квадратной неособенной вещественной матрицы $ A_<> $ матрица $ Q_<> $ в QR-разложении будет ортогональной.

Последний результат имеет уже самостоятельное значение, не относящееся к материалам настоящего раздела. Например, его можно использовать для обращения матрицы $ A_<> $. Дело в том, что ортогональная матрица обращается достаточно просто: $ Q^ = Q^ $.

Расстояние от точки до многообразия

Задача. Найти расстояние от заданного вектора $ X_<> $ до заданного множества $ \mathbb S\subset \mathbb E $.

Такая постановка требует немедленного уточнения: что такое расстояние от вектора до множества? Обратясь за помощью к геометрии, мы можем ввести это понятие, основываясь на понятии расстояния между точками: например, расстояние от точки $ X\in \mathbb R^2 $ до множества $ \mathbb S \subset \mathbb R^2 $ определить как минимальное из возможных расстояний между точками $ X_<> $ и $ Y_<> $, где $ Y\in \mathbb S $. Следующий пример показывает, что наше определение оказывается ущербным.

Пример. Множество

Доказать следующие свойства операции $ \perp $:

а) $ \left(\mathbb E_1^ > \right)^ >=\mathbb E_1 $; б) $ \left(\mathbb E_1 +\mathbb E_2 \right)^ >=\mathbb E_1^ > \cap \mathbb E_2^ > $; в) $ \left(\mathbb E_1 \cap \mathbb E_2 \right)^ >=\mathbb E_1^ >+\mathbb E_2^ > $.

Доказать, что в пространстве квадратных матриц со скалярным произведением, заданным формулой

$$ \langle A,B \rangle = \operatorname \left(A\cdot B^ \right) = \sum_ ^n a_ b_ \ , $$ подпространство кососимметричных матриц является ортогональным дополнением подпространства симметричных матриц.

Вычисление расстояния

Теорема $ 2 $ из предыдущего пункта позволяет сформулировать результат, на котором и будет основано решение задачи вычисления расстояния.

Теорема 1. Для любого вектора $ X\in \mathbb E $ существует единственное представление его в виде $$ X=X^ >+X^ > \quad npu \ X^ >\in \mathbb E_1, X^ > \in \mathbb E_1^ > . $$

В этом разложении вектор $ X^ > $ называется ортогональной проекцией вектора $ X_<> $ на $ \mathbb E_1 $, а вектор $ X^ > $ — ортогональной составляющей вектора $ X_<> $ относительно $ \mathbb E_1 $ или же перпендикуляром, опущенным из точки $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb E_1 $.

Теорема 2. Длина перпендикуляра, опущенного из точки $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb E_1 $ , равна расстоянию от этой точки до подпространства: $$\left|X^ >\right|=\min_ |X-Y| \ . $$

Итак, задача, поставленная в начале ☞ ПУНКТА, решается вычислением $ \left|X^ > \right| $. Для нахождения последнего числа сначала найдем базис $ \ $ подпространства $ \mathbb E_1 $. Далее, ищем $ X^ > $, принадлежащий $ \mathbb E_1 $, в виде линейной комбинации базисных векторов: $$ X^ >=\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k \ . $$ Для нахождения скаляров $ \alpha_1,\dots , \alpha_k $ используем тот факт, что вектор $ X^ >=X-X^ > $ должен быть ортогонален $ \mathbb E_1 $, а значит, ортогонален каждому $ X_j $: $$\langle X-X^ >, X_j \rangle =0 \ \iff \ \langle X^ >, X_j \rangle=\langle X,X_j \rangle \ . $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \left\ \alpha_1 \langle X_1,X_1 \rangle &+ \alpha_2 \langle X_1,X_2 \rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_1,X_k \rangle &= \langle X,X_1 \rangle, \\ \alpha_1 \langle X_2,X_1 \rangle & + \alpha_2 \langle X_2,X_2 \rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_2,X_k \rangle &= \langle X,X_2 \rangle, \\ \dots & & & & \dots \\ \alpha_1 \langle X_k,X_1 \rangle & + \alpha_2 \langle X_k,X_2 \rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_k,X_k \rangle &= \langle X,X_k \rangle. \end \right. $$ с матрицей, которая нам уже известна как матрица Грама системы векторов: $ G(X_1,\dots,X_k) $. Для однозначной разрешимости относительно $ \alpha_1,\dots , \alpha_k $ необходимо и достаточно (см. ☞ теорема Кронекера-Капелли ), чтобы определитель этой матрицы — т.е. определитель Грама $ \mathfrak G(X_1,\dots,X_k) $ — был отличен от нуля.

Матрица Грама обращается в единичную если векторы $ X_1,\dots,X_k $ входят в состав ортонормированного базиса пространства $ \mathbb E_<> $. Следовательно, по крайней мере в этом частном случае, система уравнений будет иметь единственное решение. В одном из последующих ☟ ПУНКТОВ будет установлен и более общий факт: $$ \mathfrak (Y_1,\dots,Y_k)=0 \ \iff \quad \mbox \quad \ \quad \mbox $$ Этот факт позволяет нам заключить, что, поскольку векторы $ \ $ — базисные для подпространства $ \mathbb E_1 $, то система уравнений имеет единственное решение относительно $ \alpha_1,\dots , \alpha_k $: $$\alpha_1=\alpha_1^ ,\dots , \alpha_k=\alpha_k^ \ .$$ Теперь может быть найдена проекция вектора $ X_<> $ на $ \mathbb E_1 $: $$ X^ >=\alpha_1^ X_1 + \dots + \alpha_k^ X_k \ , $$ а затем и составляющая: $ X^ >=X-X^ > $.

Пример. Найти расстояние от точки $ X=[1,1,2,2,2] $ до подпространства

Ответ. $ 1/\sqrt $.

Альтернативный способ вычисления расстояния от точки до линейного многообразия, заданного системой линейных уравнений ☞ ЗДЕСЬ.

Расстояние от точки $ X_<> $ до линейного подпространства, базисными векторами которого являются $ X_1,\dots,X_k $, вычисляется по формуле: $$ d=\sqrt (X_1,\dots,X_k, X)> (X_1,\dots,X_k)>> \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами степеней не выше $ 5_<> $ со скалярным произведением, заданным формулой

$$\langle p(x),q(x) \rangle = \int_ ^1 p(t)q(t) d\,t $$ найти расстояние от полинома $ p(x)= -x^5+x^3-3\,x+1 $ до линейного подпространства четных полиномов.

Подводя итог: определители Грама полностью решают задачу о вычислении расстояния от точки до линейного подпространства в любом евклидовом пространстве; этот результат легко обобщается на произвольное линейное многообразие.

Теорема 3. Расстояние от точки $ X_<> $ до линейного многообразия $ \mathbb M=X_0+\mathbb E_1 $ равно длине ортогональной составляющей вектора $ X-X_0 $ относительно подпространства $ \mathbb E_1 $.

Доказательство. Геометрический смысл понятен из рисунков, иллюстрирующих решение проблемы в $ \mathbb R^ $: надо свести задачу к случаю из предыдущей теоремы с помощью сдвига всей конструкции на вектор $ (-X_0) $.

Формальности: $$ \min_ |X-Y| =\min_ |X-(X_0+Z)|= \min_ |(X-X_0)-Z)| \ . $$ Последняя величина — это расстояние от точки $ X-X_0 $ до $ \mathbb E_1 $ ; согласно теореме $ 2 $ оно равно длине ортогональной составляющей вектора $ X-X_0 $ относительно $ \mathbb E_1 $. ♦

Расстояние от точки $ X_<> $ до линейного многообразия, заданного параметрически

Вычисление расстояния между линейными многообразиями (и некоторыми другими объектами, заданными алгебраическими уравнениями) ☞ ЗДЕСЬ.

Угол между вектором и линейным многообразием

Углом между вектором $ X\in \mathbb E $ и линейным подпространством $ \mathbb E_1 \subset \mathbb E $ назовем число — точную нижнюю грань множества углов между $ X_<> $ и всевозможными векторами $ Y \in \mathbb E_1 $. Углом между вектором $ X\in \mathbb E $ и линейным многообразием $ \mathbb M=X_0+\mathbb E_1 $ называется угол между $ X_<> $ и $ \mathbb E_1 $.

Теорема. Угол между вектором $ X\in \mathbb E $ и линейным подпространством $ \mathbb E_1 \subset \mathbb E $ равен углу между этим вектором и его ортогональной проекцией $ X^ > $ на $ \mathbb E_1 $.

Эта теорема сводит задачу к решенной в предыдущих пунктах задаче вычисления расстояния от вектора до подпространства, только теперь интерес смещается от ортогональной составляющей вектора к его ортогональной проекции.

Пример. Определить угол между вектором $ X_0=[1,0,3,0] $ и линейной оболочкой

Свойства матрицы Грама

Теорема. $ (X_ ,\dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ \ ,\dots,X_m \> $ линейно зависима.

Обратно, если определитель Грама равен нулю, то предыдущая система имеет нетривиальное решение относительно $ \alpha_ ,\dots,\alpha_m $. Пусть $ \alpha_1=\alpha_1^ ,\dots,\alpha_m=\alpha_m^ $ — какое-то из этих решений. Составим вектор $$X^ = \alpha_1^ X_1+\alpha_2^ X_2+\dots+\alpha_ ^ X_ $$ и вычислим скалярное произведение его на самого себя: $$ \langle X^ ,X^ \rangle = $$ $$ = (\alpha_1^ ,\alpha_2^ ,\dots,\alpha_m^ ) \underbrace \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end \right) \left(\begin \alpha_1^ \\ \alpha_2^ \\ \vdots \\ \alpha_m^ \end\right)>_ >=0 \ . $$ Таким образом длина вектора $ X^ $ равна нулю, и, следовательно, по аксиоме 4 , сам вектор $ X^ $ — нулевой. Но тогда система векторов $ \ ,\dots,X_m\> $ линейно зависима. ♦

Ранг матрицы Грама совпадает с рангом системы порождающих ее векторов:

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Теорема. $ (X_ ,\dots,X_m) \ge 0 $ для любого набора векторов $ \ ,\dots,X_m \> $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной. Матрица Грама произвольной системы векторов является положительно полуопределенной.

Дальнейшие свойства матрицы и определителя Грама ☞ ЗДЕСЬ

Задачи

Источник

Материалы этого раздела составлены на основе книги

Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

Расчет евклидова расстояния с помощью NumPy

В этом руководстве мы рассмотрим, как рассчитать евклидово расстояние между двумя точками в Python с помощью Numpy.

Что такое евклидово расстояние?

Евклидово расстояние — это фундаментальная метрика расстояния, относящаяся к системам в евклидовом пространстве.

Евклидово пространство — это классическое геометрическое пространство, с которым вы знакомитесь на уроке математики, обычно связанное с 3 измерениями. Хотя его также можно приписать к любой неотрицательной целочисленной размерности.

Евклидово расстояние — кратчайшая прямая между двумя точками в евклидовом пространстве.

Название происходит от Евклида, который широко известен как «отец геометрии», так как это было единственное пространство, которое люди в то время обычно задумывали. Со временем в физике и математике наблюдались различные типы пространства, такие как пространство Аффин.

В 3-мерном евклидовом пространстве кратчайшая прямая между двумя точками всегда будет прямой линией между ними.

Учитывая этот факт, евклидово расстояние не всегда является наиболее полезной метрикой для отслеживания при работе со многими размерностями, мы сосредоточимся на 2D и 3D евклидовом пространстве для расчета евклидова расстояния.

Вообще говоря, евклидова расстояние широко используется в разработке 3D-миров, а также алгоритмов машинного обучения, которые включают в себя метрики расстояния, такие как K-ближайшие соседи. Как правило, евклидово расстояние будет представлять, насколько похожи две точки данных, предполагая, что некоторая кластеризация на основе других данных уже была выполнена.

Математическая формула

Математическая формула расчета евклидова расстояния между 2 точками в 2D пространстве:

Формула легко адаптируется к 3D-пространство, а также к любому размеру:

Общая формула может быть упрощена до:

Острый глаз может заметить сходство между евклидовым расстоянием и теоремой Пифагора:

На самом деле существует связь между ними — евклидовое расстояние рассчитывается с помощью теоремы Пифагора, учитывая декартовы координаты двух точек.

Из-за этого евклидова расстояние иногда называют расстоянием Пифагора, хотя прежнее название гораздо более известно.

Примечание: Две точки являются векторами, но выход должен быть скалярным.

Мы будем использовать NumPy для расчета этого расстояния для двух точек, и один и тот же подход используется для 2D и 3D пространств:

Расчет евклидова расстояния в Python с помощью NumPy

Во-первых, нам нужно будет установить библиотеку NumPy:

Теперь давайте импортируем его и настроим две наши точки с декартовыми координатами (0, 0, 0) и (3, 3, 3):

Вместо того, чтобы выполнять расчет вручную, мы будем использовать вспомогательные методы NumPy, чтобы сделать его еще проще!

Операции и математические функции, необходимые для расчета евклидова расстояния, довольно просты: сложение, вычитание, а также функция квадратного корня. Несколько слагаемых также можно заменить суммой:

NumPy предоставляет нам функцию np.sqrt(), представляющую функцию квадратного корня, а также функцию np.sum(), которая представляет собой сумму. При этом расчет евклидова расстояния в Python прост и интуитивно понятен:

Данная формула дает нам довольно простой результат:

Что равно 27. Осталось все, что получить квадратный корень из этого числа:

В истинном питоновом духе это можно сократить до одной строки:

И вы даже можете вместо этого использовать встроенные методы pow() и sum() математического модуля Python, хотя они требуют, чтобы вы немного поработали с вводом, который удобно абстрагируется с помощью NumPy, так как функция pow() работает только со скалярами (каждый элемент в массиве индивидуально) и принимает аргумент — в какой степени вы увеличиваете число.

Этот подход, однако, интуитивно больше похож на формулу, которую мы использовали раньше:

Это также приводит к:

np.linalg.norm()

Функция np.linalg.norm() представляет математическую норму. По сути, нормой вектора является его длина. Эта длина не обязательно должна быть евклидовым расстоянием, а может быть и другими расстояниями. Евклидово расстояние-это норма L2 вектора (иногда известная как евклидова норма), и по умолчанию функция norm() использует L2 — параметр ord имеет значение 2.

Если бы вы установили для параметра ord какое-то другое значение p, вы бы рассчитали другие p-нормы. Например, норма L1 вектора-это расстояние Манхэттена!

Имея это в виду, мы можем использовать функцию np.linalg.norm() для легкого и гораздо более чистого вычисления евклидова расстояния, чем использование других функций:

Это приводит к печати расстояния L2/евклида:

Нормализация L2 и нормализация L1 широко используются в машинном обучении для нормализации входных данных.

Мы также можем использовать точечное произведение для расчета евклидова расстояния. В математике точечное произведение является результатом умножения двух векторов равной длины, а результатом является единственное число — скалярное значение. Из-за возвращаемого типа его иногда также называют «скалярным продуктом». Эту операцию часто называют внутренним произведением для двух векторов.

Для расчета точечного произведения между 2 векторами вы можете использовать следующую формулу:

С помощью NumPy мы можем использовать функцию np.dot(), передавая два вектора.

Если мы вычислим точечное произведение разницы между обеими точками с той же разницей — мы получим число, которое находится в зависимости от евклидова расстояния между этими двумя векторами. Извлечение квадратного корня из этого числа дает нам расстояние, которое мы ищем:

Конечно, вы также можете сократить это до однострочного:

Использование встроенной системы math.dist()

В Python есть встроенный метод в математическом модуле, который вычисляет расстояние между 2 точками в трехмерном пространстве. Однако это работает только с Python 3.8 или более поздней версии.

math.dist()принимает два параметра, которые являются двумя точками, и возвращает евклидово расстояние между этими точками.

Примечание: Обратите внимание, что две точки должны иметь одинаковые размеры (т.е. оба в 2d или 3d пространстве).

Теперь, чтобы вычислить Евклидово расстояние между этими двумя точками, мы просто заправляем их в метод thedistdist():

Заключение

Данная метрика используется во многих контекстах в интеллектуальном анализе данных, машинном обучении и ряде других областей и является одной из фундаментальных метрик расстояния.

Длина вектора Расстояние между двумя точками в пространстве

Длина вектора в пространстве

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Длина вектора a выражается через его координаты следующей формулой:

Пример
Длина вектора $a\left\ \right\>$ равна

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние d между точками в пространстве A₁ , A₂ представляется формулой

Пример
Расстояние между точками A₁ и A₂

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 8

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

3 комментария

найти расстояние между точками с(-2;1;-2) д (-1;2;1) м (-1;0;2) н (1;-1;2) найти 3 вектора сд — 2 вектора мн

Евклидова, L1 и Чебышёва — 3 основные метрики, которые пригодятся в Data Science

Не важно, начинаете вы осваивать Data Science или работаете в этой сфере не первый год, вам наверняка пригодятся эти метрики. Разбираемся, что они из себя представляют и чем отличаются друг от друга.

Евклидово расстояние (расстояние по прямой)

Евклидово расстояние самое интуитивное для понимания: именно Евклидову метрику мы представляем, когда кто-то просит нас измерить расстояние между точками.

Евклидово расстояние — это прямая линия между двумя точками с координатами X и Y. Например, одной из таких точек может быть город на карте с его координатами долготы и широты.

Евклидово расстояние характеризуется прямой линией. Допустим, вам нужно измерить расстояние по прямой между точками A и B на карте города, приведённой ниже.

Евклидово расстояние между двумя точками считается по теореме Пифагора

Для расчёта Евклидового расстояния вам понадобятся лишь координаты этих двух точек. Дистанцию между ними можно будет рассчитать по формуле Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что можно рассчитать длину «диагональной стороны» (гипотенузы) прямого треугольника, зная длины его горизонтальной и вертикальной стороны (катетов). Формула выглядит так: a² + b² = c².

Пример расчёта Евклидового расстояния

Прим. ред. В четвёртой строке вычислений допущена ошибка: (-260)^2 = 67 600, а не 76 600. Тогда результат будет равен

Расстояние L1 (расстояние городских кварталов)

Расстояние L1 также известно как расстояние городских кварталов, манхэттенское расстояние, расстояние такси, метрика прямоугольного города — оно измеряет дистанцию не по кратчайшей прямой, а по блокам. Расстояние L1 измеряет дистанцию между городскими блоками: это расстояние всех прямых линий пути.

На следующем изображении показано расстояние L1 между двумя точками.

Расстояние L1 между двумя точками по блокам

Кроме показанного пути существует несколько альтернативных способов. Например, от точки A можно подняться на два блока вверх, а потом на три блока вправо, либо же на три блока вправо и два блока вверх.

Но расстояние L1 — это всё же просто дистанция, а поэтому траектория здесь не имеет значения. Единственное, что нужно понимать, это примерный путь: нужно пройти какое-то количество X блоков на восток и Y блоков на север. Сумма расстояний этих блоков и будет расстоянием L1 от точки A до точки B.

Пример расчёта расстояния L1 между двумя точками

Расстояние Чебышёва (метрика шахматной доски)

Расстояние Чебышёва известно ещё как расстояние шахматной доски. Чтобы понять принцип такой метрики, нужно представить короля на шахматной доске — он может ходить во всех направлениях: вперёд, назад, влево, вправо и по диагонали.

Расстояние Чебышёва между двумя точками

Разница расстояния L1 и расстояния Чебышёва в том, что при переходе на одну клетку по диагонали в первом случае засчитывается два хода (например вверх и влево), а во втором случае засчитывается всего один ход.

Ещё эти оба расстояния отличаются от Евклидового расстояния тем, что у Евклидового движение по диагонали рассчитывается по теореме Пифагора.

Сравнение путей 3 метрик

Расстояние Чебышёва можно представить как проход по шахматной доске.

Вот ещё один пример представления расстояния Чебышёва. Допустим, у вас есть дрон с двумя независимыми моторами: первый мотор тянет дрон вперёд, второй — в сторону. Оба мотора могут работать одновременно и равномерно на максимуме своей мощности.

Поэтому дрон может передвинуться на одну клетку по диагонали так же быстро, как по горизонтали или вертикали.

Посмотрите ещё раз на карту города по расстоянию Чебышёва. Первый шаг — оба мотора работают одновременно, второй шаг идентичен первому, а на третьем шаге мотор, тянущий дрон вперёд, отключается, и дрон смещается в сторону.

Таким образом, расстояние Чебышёва определяется как самая большая дистанция на одной оси.

Пример расчёта расстояния Чебышёва между двумя точками

Прим. ред. Полученный результат является условным и некорректно сравнивать его с другими результатами.

Читать:
Не уменьшать ttl zyxel keenetic что это