Тайны Чисел Фибоначчи
Леонардо Фибоначчи – один из величайших математиков Средневековья.
Он открыл «Числа Фибоначчи» (Последовательность Фибоначчи, Ряд Фибоначчи) – числовую последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. В этой последовательности, сумма двух соседних чисел дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.).
Числа Фибоначчи имеют удивительные свойства:
•каждое третье число четно;
•каждое четвертое число кратно 3;
•каждое пятнадцатое число оканчивается нулем;
•Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), получится 1.618. Это число "ФИ".
В природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, биологии. астрономии, и многих других областях найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи, например:
•число лучей у морских звезд отвечает ряду чисел Фибоначчи 5, 8, 13.
•у комара 3 пары ног, на голове 5 усиков-антенн, брюшко делится на 8 сегментов, (3-5-8).
Закономерности Ряда Фибоначчи проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Число 1.618 проявляется в теле человека:
•Отношение длины предплечья к длине руки,
•Отношение между длиной и шириной лица,
•Отношение расстояния между губами и местом где сходятся брови к длине носа;
•Отношение размера рта к ширине носа;
•Отношение расстояния между линией плеч и верхом головы к длине головы;
•Отношение расстояния между пупком и коленями к расстоянию между коленями и ступням;
•Отношение расстояния между кончиками пальцев и локтем к расстоянию между запястьем и локтем;
•Длина каждой фаланги пальца к следующей фаланге.
Природа стремится к спиральности:
•Pаковина закручена по спирали. Отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Увеличение шага спирали всегда равномерно.
•Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев,
•Спираль в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах.
•Паук плетет паутину спиралеобразно.
•Cпиралью закручивается ураган.
•Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
•Молекула ДНK закручена двойной спиралью.
•Спирали галактик.
Пирамиды.
Пирамиды — не гробницы, а головоломки из числовых комбинаций (см. "Тайны Пирамид"). В частности, деление длины ребра основания пирамиды Хеопса на высоту, приводит к соотношению Фи — 1.618.
Космос.
Радиус Луны по отношению к радиусу Земли равен 3:11.
В паре «Венера-Марс», соотношение самого близкого расстояния к самому дальнему, равно 3:11.
Соотношение 3:11 это 27.3%. 27.3 дней — средний период активности солнечных пятен.
Если внутри пятиугольника, образованного пересечением лучей пентаграммы, изобразить еще одну маленькую пентаграмму, соединяющую его углы, она будет соотноситься с большой пентаграммой, как «ФИ» в квадрате – (0,618;0,618) = 0,382
В таком же точно соотношении находятся физические размеры Земли и Меркурия. Окружность земного экватора равна 40075 км, Меркурия — 15329 км. (15329 / 40075) = 0,38.
Среднее расстояние от Солнца до Земли и Меркурия — 0,38.
Венера совершает 13 оборотов вокруг Солнца. За это время Земля делает 8 оборотов вокруг Солнца. За 8 земных лет Земля сближается с Венерой 5 раз.
5 сближений, 8 земных лет, 13 оборотов Венеры — это 5-8-13 — числа из ряда Фибоначчи!
Если изобразить графически траекторию движения Венеры относительно Земли, получится красивый «цветок» с пятью лепестками. Соединив кончики этих лепестков прямыми линиями, мы получим пентаграмму. Венера каждые несколько лет вырисовывает вокруг нашей планеты пентаграмму.
Число Фи называют "Числом Бога", потому что все во Вселенной построено на основе этого числа.
Спираль ДНК, которая содержит "код жизни", построена из "кирпичиков", которые соединены "мостами". Без этих мостиков спираль просто развалится. "Мосты" находятся в ДНК в следующей последовательности: 10 аминокислот — "мост", 5 аминокислот — "мост", далее — 6 и 5. Итак, последовательность 10-5-6-5.
В еврейском алфавите, все буквы имеют числовое значение. Если заменить сочетание 10-5-6-5 на буквы еврейского алфавита, получится Йод-Хе-Вав-Хе. Это имя Бога-Создателя — ЯХВЕ!
Золотое сечение, построенное на основании последовательности Фибоначи, является основой всего. Это пропорция 62/38. На нем построены все сооружения и даже сам человек. Разделим 62 на 38 и получим число ФИ. Возьмем сочетание 10-5-6-5 и представим его как натуральное число 10565. Применим к нему принцип золотого сечения. Получится 105/65. В итоге получается. 1,61 — число ФИ.
Числа Фибоначчи — 3 способа нахождения
Числа Фибоначчи — это числовая последовательность где каждое следующее число, равно сумме 2 предидущих. Алгоритм их нахождения зачастую можно найти в учебниках по программированию, как пример рекурсии. Спрашивают это и на собеседованиях, чтобы проверить у Вас знание простых алгоритмов. Давайте напишем 3 метода нахождения числового ряда Фибоначии, и сравним скорость их выполнения.
Формула нахождения.
Сначала приведем пример числового ряда — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… и так до бесконечности, Чтобы найти любое число последовательности, существует формула:
Первый элемент равен нулю, второй равен еденице, третий элемент равен сумме 0 + 1 и так далее…
Метод 1: Рекурсия
Сначала, для того чтобы измерить длительность выполнения прибегнем к консоли, и в частности к ее методам: console.time(timerName) и console.timeEnd(timerName), где timerName — название(метка) таймера. Первый начинает отсчет, второй останавливает таймер. Измерятеся время в миллисекундах(ms).
Напишем метод нахождения заданного числа последователности. Главный минус тут заключается в том, что рекурсия достаточно ресурсоемкая операция.
Метод2: Перебор(итерация)
Второй способ выберем попроще — масивами. Можно конечно обойтись и без них, но так будет понятнее, ведь Числа Фибоначии это обычный числовой массив в JavaScript, работать с которым умеют даже начинащие разработчики. К тому же, можно вторым аргументом задать callback, который будет делать с этим массивом все что угодно — фильтровать, обрезать и т.д.
Метод 3: Формула Бине.
Собственно данный способ я нашел в Википедии:
Здесь нас интересует дробь до первого знака равенства. Напишем метод.
Тестирование
Мы написали 3 метода, теперь давайте сравним результаты. Заранее ясно, что рекурсия будет медленее, но вот насколько… Для более наглядного результата найдем последовательность до 45 знака. Браузером у нас будет Google Chrome последней версии.
Получаем слудующие результаты:
- Iteration: 0.999755859375ms
- Recursion: 12513ms
- Bine: 0ms
Как видим, на втором шаге барзуер серьезно “задумывается”, так как рекурсия достаточно затратная по ресурсам операция. Не стоит ее применять бездумно. Что касается методов перебора и формулы Бине, то первый немного медленее(иногда результаты получались равными), но более функциональнее. Разница меж ними невелика, особенно если сравнить с рекурсией. Для проверки можно найти последовательность Фибоначии до 300 или 500 знака.
Существует еще однин спобсоб вычисления — матрицами. Вы можете его реализовать сами. Алгоритм и формулу можно посмотреть здесь
masterok
Итак, мы выяснили с вами Кто такой Фибоначчи, а теперь давайте рассмотрим вот такой феномен.
Оказывается Фибоначчи повсюду!
На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.
Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.
Фибоначчи рассматривает гипотетическую ситуацию, когда в поле появляется пара кроликов. Они спариваются в конце месяца и в конце второго месяца самка производит еще одну пару. Кролики никогда не умирают, спариваются ровно через месяц, и самки всегда производят пару (один самец, одна самка). Вопрос, который поставил Фибоначчи был следующим: сколько пар будет через один год? Если посчитать, то окажется, что количество пар в конце N-го месяца равно Fn или N-му числу Фибоначчи. Таким образом, количество пар кроликов через 12 месяцев будет F12 или 144.
Числа Фибоначчи и золотое сечение
Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».
Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению.
Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.
Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.
Золотой прямоугольник (розовый) с длинной стороной a и короткой стороной b, и находящийся рядом с ним квадрат со стороной длиной a, создадут подобный золотой прямоугольник с длинной стороной а + b и короткой стороной a. Это изобажение иллюстрирует взаимосвязь отношений (a+b)/a = a/b.
Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.
Почему эта последовательность настолько уникальна
Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.
Числа Фибоначчи в природе
Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность.
Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.
Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.
Числа Фибоначчи в теле человека
Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.
Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.
Числа Фибоначчи в биржевой торговле
Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.
Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.
Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве
В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.
Сетка фи (красные линии) и спираль Фиббоначи в кадре.
Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.