Сколько листьев у данного дерева
Математические достижения в мире деревьев не исчерпываются тем, что некоторые из них (описанные в гл. 22) ведут счет времени. В западной тропической Африке (Гана, Сьерра-Леоне, Берег Слоновой Кости) есть дерево, которое умеет умножать и складывать. Вся его жизнь может быть выражена алгебраическим уравнением.
Это вовсе не шутка. Этот рисунок и фотография на стр. 337, сделанные Фрэнсисом Алле, ботаником, работавшим на Береге Слоновой Кости, помогут вам понять это замечательное дерево.
Научное название его зубодробительно – Schumannlophyton problematicum. Но как бы то ни было, видовое определение (problematicum – «задачное») признает за деревом его математические способности. Оно принадлежит к семейству мареновых, достигает в высоту от 6 до 12 м и имеет очень большие листья, которые располагаются группами по три на конце каждой ветки.
Западноафриканское дерево (Schumanniophyton problematicum), знающее правила арифметики.
Особенности роста этого дерева можно выразить следующей формулой:
Она показывает, сколько листьев у дерева. Их точное число обозначается буквой N. Буква Y означает возраст дерева в годах. Если решить эту формулу для данного дерева, можно определить точное число его листьев.
Почему это так, легко понять, если посмотреть на схематический рисунок этого дерева, сделанный Алле. Это только схема, потому что у реального дерева от каждого узла отходят четыре ветки, а не две, как показано на рисунке. На конце каждой ветки находится три листа, каждый длиной в метр. Таким образом, четыре ветки у каждого узла несут вместе 12 листьев; каждый год, пока дерево не достигнет своего максимального роста (от 5,5 до 6 м), оно выбрасывает по четыре ветки. Цифра 4 в конце формулы прибавляется потому, что верхний побег дерева увенчан четырьмя листьями. На следующий год эти листья превратятся в четыре ветки, а верхний побег увенчают новые четыре листа.
В этой главе рассматриваются два вида Schumanniophyton. На рисунке изображен S. magnificum, у которого очень красивые, большие листья. Листья S. problematicum вдвое меньше, но зато само дерево бывает гораздо выше. Алгебраическая формула верна для обоих видов.
Сколько листьев на деревьях?
А сколько же листьев может быть на дереве? Подсчитали, что на большом дубе их может быть около четверти миллиона. Примерно столько, сколько человек живет в небольшом городке.
Сколько листьев на земле?
В результате учёные получили первую глобальную подробную карту лесов, учитывающую не только площадь покрытой лесом земли, но и данные по плотности зарослей. Оказалось, что деревьев на планете почти в 8 раз больше, чем считалось раньше: около 3 040 000 000 000, или чуть более 3 триллионов.
Сколько листьев у ландыша?
цветочки до 20 шт,листьев 2, растение красивое, обладает удивительным ароматом , но является ядовитым растением .
Сколько деревьев во всем мире?
Оказалось, что деревьев на планете около 3040000000000 (то есть чуть более 3 триллионов). Это означает, что на каждого жителя Земли приходится 420 деревьев. Еще недавно оценка была примерно в восемь раз меньше — не более 400 миллиардов.
Какие деревья растут в наших краях?
Поэтому здесь основными представителями считаются ель, сосна, лиственница. В широколиственных лесах, которые простилаются с западной части страны до Уральских гор, произрастают дуб, клен, липа. В смешанных лесах России можно встретить все виды деревьев: тополь, сосну, ель, липу, дуб, кустарник карагач.
Сколько листьев у данного дерева
На этом шаге мы приведем основные термины, которые будут использоваться при изучении бинарных деревьев .
- имеется одна специально выделенная вершина, называемая корнем дерева ;
- остальные вершины (исключая корень) содержатся в m попарно непересекающихся множествах T1,T2. Tm , каждое из которых, в свою очередь, является деревом.
Деревья T1,T2. Tm называются поддеревьями данного дерева .
Упорядоченным деревом мы будем называть такое дерево, в котором важен порядок следования поддеревьев T1,T2. Tm .
Дуга — это ориентированная связь между двумя вершинами дерева, поэтому, например, корень можно определить как такую вершину дерева, в который не входит ни одной дуги, поэтому часто говорят, что корень — это «исходная» вершина дерева, через которую доступны остальные его вершины.
Ребро — это неориентированная связь между двумя вершинами дерева. Ясно, что ребро можно превратить в дугу, если задать на нем ориентацию (направление), а любое дерево можно превратить в ориентированное дерево, если задать ориентацию ребер.
Количество поддеревьев некоторой вершины называется степенью этой вершины. Деревья, имеющие степень больше 2, называются сильно ветвящимися деревьями .
Вершина с нулевой степенью называется листом , иначе — она называется внутренней вершиной (внутренним узлом) .
Число листьев дерева называется весом дерева.
Символы A,B,C. , которые служат для обозначения вершин, называются метками вершин .
Приведенное неформальное определение является рекурсивным (мы определили дерево в терминах деревьев). Ниже мы дадим формальное нерекурсивное определение дерева, но рекурсивное определение кажется более подходящим, так как рекурсивность является естественной характеристикой структур типа дерево.
Для удобства дальнейших рассмотрений договоримся о графическом способе изображения деревьев. Корень будем располагать выше поддеревьев (ясно, что корень при изображении будет располагаться выше всех остальных вершин дерева). Вершины дерева будем изображать точками на плоскости, а корень дерева связывать дугами (ребрами) с корнями деревьев T1,T2. Tm . Взгляните на рисунок и на комментарии, приведенные ниже его:
Рис.1. Иллюстрация основных понятий
Символы A, B, C, D, K, L, M, N, R — метки вершин , вершина А — корень , вершины C, L, R, M, N, K — листья , вес дерева равен 6 (количество листьев — 6), вершина В имеет степень 2, вершина D имеет степень 4.
Определение 2 (неформальное) Вершина Y , которая находится непосредственно под узлом X , называется (непосредственным) потомком (сыном) X , вершина X в данном случае называется (непосредственным) предком (отцом) Y .
В этом случае, если вершина X находится на уровне i , то говорят, что вершина Y находится на уровне i+1 . Мы будем считать, что корень дерева расположен на уровне 0. Максимальный уровень какой-либо вершины дерева называется его глубиной или высотой .
Максимальная степень всех вершин дерева называется степенью дерева .
- если вершина не имеет потомков, то она является листом ;
- степень внутренней вершины можно определить как число ее (непосредственных) потомков.
Максимальное число вершин в дереве заданной высоты h достигается в случае, когда все вершины имеют по d поддеревьев, кроме вершин уровня h , не имеющих ни одного. Тогда в дереве степени d нулевой уровень содержит одну вершину (корень), первый уровень содержит d ее потомков, второй уровень содержит d 2 потомков d узлов уровня 2 и т.д.
Таким образом получаем, что максимальное число вершин для дерева с высотой h и степенью d можно найти по формуле:
При d=2 мы получаем:
Определение 3 (неформальное) Количество дуг, которые нужно пройти, чтобы продвинуться от корня к вершине X , называется длиной пути к вершине X . Очевидно, что вершина, расположенная на уровне i , имеет длину пути i .
Ветвью будем называть путь от корня дерева к любому ее листу .
Длина пути дерева определяется как сумма длин путей ко всем его вершинам . Она также называется длиной внутреннего пути дерева . Длина внутреннего пути может быть определена по следующей рекурсивной формуле:
Для иллюстрации определений приведем рисунок двух деревьев, которые будем предполагать упорядоченными:
Рис.2. Упорядоченные деревья
- длина пути к вершине L равна 3,
- длина пути к вершине К равна 1,
- длина внутреннего пути равна 18,
- одно из ветвей дерева — AKDL .
Дерево II отличается от дерева I , так как в нем изменен порядок следования поддеревьев с корнями K и B . Определение 4 [1] (неформальное) Лес — это множество деревьев (обычно упорядоченное), состоящее из некоторого (быть может, равного нулю) числа непересекающихся деревьев. Часто для леса, состоящего из n деревьев пользуются термином «дерево с n-кратным корнем» .
Между лесами и деревьями есть лишь небольшое различие; если мы удалим у дерева корень, то получим лес, и наоборот, если к любому лесу добавить всего один узел, то получим дерево.
Приведем пример леса:
Рис.3. Пример леса
- либо пусто,
- либо состоит из корня (некоторая выделенная нами вершина), связанного с двумя различными бинарными деревьями, называемыми левым и правым поддеревом корня .
Важно отметить, что бинарное дерево не является частным случаем дерева, определенного выше. Оно представляет собой упорядоченное (см. в определении бинарного дерева слова «. с двумя различными бинарными деревьями. » ) дерево, у которого в каждую вершину, отличную от корня, входит только одна дуга, а выходит не более двух. При этом для каждой входящей дуги известно, является ли она правой или левой.
Каждая вершина бинарного дерева, отличная от корня, может рассматриваться как корень бинарного поддерева с вершинами, достижимыми из нее.
Изобразим несколько бинарных деревьев:
Рис.4. Примеры бинарных деревьев
Определение 6 (неформальное) Говорят, что два бинарных дерева T и T’ подобны , если они имеют одинаковую структуру ; это означает, что подобные деревья либо оба пусты, либо оба непусты и их левые и правые поддеревья соответственно подобны.
Попросту говоря, подобие означает, что графические изображения деревьев T и T’ имеют одинаковую «конфигурацию».
Говорят, что бинарные деревья T и T’ эквивалентны , если они подобны и если, кроме того, соответствующие вершины содержат одинаковую информацию.
- либо оба пусты,
- либо же оба непусты, Info (Корень(T))=Info (Корень(T’)) и их левые и правые поддеревья соответственно эквивалентны.
В качестве иллюстрации приведенных определений рассмотрим четыре бинарных дерева:
Рис.5. Бинарные деревья
Первые два из них не подобны; второе, третье и четвертое деревья подобны, причем второе и четвертое эквивалентны. (1) Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.1: Основные алгоритмы. — M.: Мир, 1976. — 736 с.
Каково общее количество узлов в полном K-арном дереве с точки зрения количества листьев?
Я делаю уникальную форму кодирования Хаффмана и строю K-ary (в данном конкретном случае 3-ary) дерево, которое заполнено (каждый узел будет иметь 0 или k детей), и я знаю, сколько листьев у него будет, прежде чем я его построю. Как рассчитать общее количество узлов в дереве с точки зрения количества листьев?
Я знаю, что в случае полного двоичного дерева (2-ary) формула для этого равна 2L — 1, где L-количество листьев. Я хотел бы продлить это принцип для случая K-арного дерева.
3 ответов
думать о том, чтобы доказать результат для полного двоичного дерева, и вы увидите как это сделать в целом. Для полного бинарного дерева, скажем, высоты h количество узлов N is
почему? Потому что первый уровень имеет 2^0 узлы, второй уровень имеет 2^1 узлы, и, в общем, k — м этаже 2^
общий количество листьев L — это просто количество узлов на последнем уровне, поэтому L = 2^h . Поэтому путем подмены получаем
на k -ary дерево, ничего не меняется, кроме 2 . Так что
и поэтому немного алгебры может сделать последний шаг, чтобы получить
формула для 2L-1, которую вы упомянули, происходит от просмотра полного, полного и сбалансированного двоичного дерева: на последнем уровне у вас есть 2^H листьев, а на других уровнях: 1+2+4+ — . . +2^(h-1) = 2^h -1 листьев. Когда вы» перепутаете » уровни в дереве и создадите несбалансированный, количество внутренних узлов, которые у вас есть, не изменится.
в 3-арном дереве та же логика: на последнем уровне у вас есть 3^h листьев, а на других уровнях: 1+3+9+ — . . +3^(h-1)= (3^h -1) /2, что означает, что на 3-арном дереве у вас 1,5*L — 0,5 листа (и это делает sence — потому что степень больше, вам нужно меньше внутренних узлов). Я думаю, что и здесь, когда вы испортите уровни в дереве, вам все равно понадобится такое же количество внутренних узлов.
надеюсь, что это поможет вам
для любого K-арного дерева общее число узлов n = [(k^(h+1))-1]/(h-1), где h-высота K-арного дерева.
Ex: — для полного двоичного дерева (k=2) всего нет. узлов = [(2^(h+1)) -1]/(h-1).
Итак, для высоты 3 общее число нет. узлов будет 15.
для полного троичного дерева дерева (k=3) всего нет. узлов = [(3^(h+1)) -1]/(h-1).