Как называется совпадение хэш кодов двух различных строк

Хэширование в строковых задачах

Хэш — это какая-то функция, сопоставляющая объектам какого-то множества числовые значения из ограниченного промежутка.

Быстро считается — за линейное от размера объекта время;
Имеет не очень большие значения — влезающие в 64 бита;
«Детерминированно-случайная» — если хэш может принимать $n$ различных значений, то вероятность того, что хэши от двух случайных объектов совпадут, равна примерно $\frac<1>$ .

Обычно хэш-функция не является взаимно однозначной: одному хэшу может соответствовать много объектов. Такие функции называют сюръективными.

Для некоторых задач удобнее работать с хэшами, чем с самими объектами. Пусть даны $n$ строк длины $m$ , и нас просят $q$ раз проверять произвольные две на равенство. Вместо наивной проверки за $O(q \cdot n \cdot m)$ , мы можем посчитать хэши всех строк, сохранить, и во время ответа на запрос сравнивать два числа, а не две строки.

Применения в реальной жизни

Чек-суммы. Простой и быстрый способ проверить целостность большого передаваемого файла — посчитать хэш-функцию на стороне отправителя и на стороне получателя и сравнить.
Хэш-таблица. Класс unordered_set из STL можно реализовать так: заведём $n$ изначально пустых односвязных списков. Возьмем какую-нибудь хэш-функцию $f$ с областью значений $[0, n)$ . При обработке .insert(x) мы будем добавлять элемент $x$ в $f(x)$ -тый список. При ответе на .find(x) мы будем проверять, лежит ли $x$ -тый элемент в $f(x)$ -том списке. Благодаря «равномерности» хэш-функции, после $k$ добавлений ожидаемое количество сравнений будет равно $\frac$ = $O(1)$ при правильном выборе $n$ .
Мемоизация. В динамическом программировании нам иногда надо работать с состояниями, которые непонятно как кодировать, чтобы «разгладить» в массив. Пример: шахматные позиции. В таком случае нужно писать динамику рекурсивно и хранить подсчитанные значения в хэш-таблице, а для идентификации состояния использовать его хэш.
Проверка на изоморфизм. Если нам нужно проверить, что какие-нибудь сложные структуры (например, деревья) совпадают, то мы можем придумать для них хэш-функцию и сравнивать их хэши аналогично примеру со строками.
Криптография. Правильнее и безопаснее хранить хэши паролей в базе данных вместо самих паролей — хэш-функцию нельзя однозначно восстановить.
Поиск в многомерных пространствах. Детерминированный поиск ближайшей точки среди $m$ точек в $n$ -мерном пространстве быстро не решается. Однако можно придумать хэш-функцию, присваивающую лежащим рядом элементам одинаковые хэши, и делать поиск только среди элементов с тем же хэшом, что у запроса.

Хэшируемые объекты могут быть самыми разными: строки, изображения, графы, шахматные позиции, просто битовые файлы.

Сегодня же мы остановимся на строках.

Полиномиальное хэширование

Лайфхак: пока вы не выучили все детерминированные строковые алгоритмы, научитесь пользоваться хэшами.

Будем считать, что строка — это последовательность чисел от $1$ до $m$ (размер алфавита). В C++ char это на самом деле тоже число, поэтому можно вычитать из символов минимальный код и кастовать в число: int x = (int) (c — ‘a’ + 1) .

Определим прямой полиномиальный хэш строки как значение следующего многочлена:

\[ h_f = (s_0 + s_1 k + s_2 k^2 + \ldots + s_n k^n) \mod p \]

Здесь $k$ — произвольное число больше размера алфавита, а $p$ — достаточно большой модуль, вообще говоря, не обязательно простой.

Его можно посчитать за линейное время, поддерживая переменную, равную нужной в данный момент степени $k$ :

Можем ещё определить обратный полиномиальный хэш:

\[ h_b = (s_0 k^n + s_1 k^ + \ldots + s_n) \mod p \]

Его преимущество в том, что можно написать на одну строчку кода меньше:

Автору проще думать об обычных многочленах, поэтому он будет везде использовать прямой полиномиальный хэш и обозначать его просто буквой $h$ .

Зачем это нужно?

Используя тот факт, что хэш это значение многочлена, можно быстро пересчитывать хэш от результата выполнения многих строковых операций.

Например, если нужно посчитать хэш от конкатенации строк $a$ и $b$ (т. е. $b$ приписали в конец строки $a$ ), то можно просто хэш $b$ домножить на $k^<|a|>$ и сложить с хэшом $a$ :

Удалить префикс строки можно так:

А суффикс — ещё проще:

В задачах нам часто понадобится домножать $k$ в какой-то степени, поэтому имеет смысл предпосчитать все нужные степени и сохранить в массиве:

Как это использовать в реальных задачах? Пусть нам надо отвечать на запросы проверки на равенство произвольных подстрок одной большой строки. Подсчитаем значение хэш-функции для каждого префикса:

Теперь с помощью этих префиксных хэшей мы можем определить функцию, которая будет считать хэш на произвольном подотрезке:

Деление по модулю возможно делать только при некоторых k и mod (а именно — при взаимно простых). В любом случае, писать его долго, и мы это делать не хотим.

Для нашей задачи не важно получать именно полиномиальный хэш — главное, чтобы наша функция возвращала одинаковый многочлен от одинаковых подстрок. Вместо приведения к нулевой степени приведём многочлен к какой-нибудь достаточно большой — например, к $n$ -ной. Так проще — нужно будет домножать, а не делить.

Теперь мы можем просто вызывать эту функцию от двух отрезков и сравнивать числовое значение, отвечая на запрос за $O(1)$ .

Упражнение. Напишите то же самое, но используя обратный полиномиальный хэш — этот способ тоже имеет право на существование, и местами он даже проще. Обратный хэш подстроки принято считать и использовать в стандартном виде из определения, поскольку там нет необходимости в делении.

Лайфхак. Если взять обратный полиномиальный хэш короткой строки на небольшом алфавите с $k=10$ , то числовое значение хэша строки будет наглядно соотноситься с самой строкой:

Этим удобно пользоваться при дебаге.

Примеры задач

Количество разных подстрок. Посчитаем хэши от всех подстрок за $O(n^2)$ и добавим их все в std::set . Чтобы получить ответ, просто вызовем set.size() .

Поиск подстроки в строке. Можно посчитать хэши от шаблона (строки, которую ищем) и пройтись «окном» размера шаблона по тексту, поддерживая хэш текущей подстроки. Если хэш какой-то из этих подстрок совпал с хэшом шаблона, то мы нашли нужную подстроку. Это называется алгоритмом Рабина-Карпа.

Сравнение строк (больше-меньше, а не только равенство). У любых двух строк есть какой-то общий префикс (возможно, пустой). Сделаем бинпоиск по его длине, а дальше сравним два символа, идущие за ним.

Палиндромность подстроки. Можно посчитать два массива — обратные хэши и прямые. Проверка на палиндром будет заключаться в сравнении значений hash_substring() на первом массиве и на втором.

Количество палиндромов. Можно перебрать центр палиндрома, а для каждого центра — бинпоиском его размер. Проверять подстроку на палиндромность мы уже умеем. Как и всегда в задачах на палиндромы, случаи четных и нечетных палиндромов нужно обрабатывать отдельно.

Хранение строк в декартовом дереве

Если для вас всё вышеперечисленное тривиально: можно делать много клёвых вещей, если «оборачивать» строки в декартово дерево. В вершине дерева можно хранить символ, а также хэш подстроки, соответствующей её поддереву. Чтобы поддерживать хэш, нужно просто добавить в upd() пересчёт хэша от конкатенации трёх строк — левого сына, своего собственного символа и правого сына.

Имея такое дерево, мы можем обрабатывать запросы, связанные с изменением строки: удаление и вставка символа, перемещение и переворот подстрок, а если дерево персистентное — то и копирование подстрок. При запросе хэша подстроки нам, как обычно, нужно просто вырезать нужную подстроку и взять хэш, который будет лежать в вершине-корне.

Если нам не нужно обрабатывать запросы вставки и удаления символов, а, например, только изменения, то можно использовать и дерево отрезков вместо декартова.

Вероятность ошибки и почему это всё вообще работает

У алгоритмов, использующих хэширование, есть один неприятный недостаток: недетерминированность. Если мы сгенерируем бесконечное количество примеров, то когда-нибудь нам не повезет, и программа отработает неправильно. На CodeForces даже иногда случаются взломы решений, использующих хэширование — можно в оффлайне сгенерировать тест против конкретного решения.

Событие, когда два хэша совпали, а не должны, называется коллизией. Пусть мы решаем задачу определения количества различных подстрок — мы добавляем в set $O(n^2)$ различных случайных значений в промежутке $[0, m)$ . Понятно, что если произойдет коллизия, то мы какую-то строку не учтем и получим WA. Насколько большим следует делать $m$ , чтобы не бояться такого?

Выбор констант

Практическое правило: если вам нужно хранить $n$ различных хэшей, то безопасный модуль — это число порядка $10 \cdot n^2$ . Обоснование — см. парадокс дней рождений.

Не всегда такой можно выбрать один — если он будет слишком большой, будут происходить переполнения. Вместо этого можно брать два или даже три модуля и считать много хэшей параллельно.

Можно также брать модуль $2^<64>$ . У него есть несколько преимуществ:

Он большой — второй модуль точно не понадобится.
С ним ни о каких переполнениях заботиться не нужно — если все хранить в unsigned long long , процессор сам автоматически сделает эти взятия остатков при переполнении.
С ним хэширование будет быстрее — раз переполнение происходит на уровне процессора, можно не выполнять долгую операцию % .

Всё с этим модулем было прекрасно, пока не придумали тест против него. Однако, его добавляют далеко не на все контесты — имейте это в виду.

В выборе же $k$ ограничения не такие серьезные:

Она должна быть чуть больше размера словаря — иначе можно изменить две соседние буквы и получить коллизию.
Она должна быть взаимно проста с модулем — иначе в какой-то момент всё может занулиться.

Главное — чтобы значения $k$ и модуля не знал человек, который генерирует тесты.

Парадокс дней рождений

В группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух людей превышает 50%.

Более общее утверждение: в мультимножество нужно добавить $\Theta(\sqrt)$ случайных чисел от 1 до n, чтобы какие-то два совпали.

Первое доказательство (для любителей матана). Пусть $f(n, d)$ это вероятность того, что в группе из $n$ человек ни у кого не совпали дни рождения. Будем считать, что дни рождения распределены независимо и равномерно в промежутке от $1$ до $d$ .

\[ f(n, d) = (1-\frac<1>) \times (1-\frac<2>) \times . \times (1-\frac) \]

Попытаемся оценить $f$ :

Из последнего выражения более-менее понятно, что вероятность $\frac<1><2>$ достигается при $n \approx \sqrt$ и в этой точке изменяется очень быстро.

Второе доказательство (для любителей теорвера). Введем $\frac<2>$ индикаторов — по одному для каждой пары людей $(i, j)$ — каждый будет равен единице, если дни рождения совпали. Ожидание и вероятность каждого индикатора равна $\frac<1>$ .

Обозначим за $X$ число совпавших дней рождений. Его ожидание равно сумме ожиданий этих индикаторов, то есть $\frac <2>\cdot \frac<1>$ .

Отсюда понятно, что если $d = \Theta(n^2)$ , то ожидание равно константе, а если $d$ асимптотически больше или меньше, то $X$ стремится нулю или бесконечности соответственно.

Примечание: формально, из этого явно не следует, что вероятности тоже стремятся к 0 и 1.

Бонус: «мета-задача»

Дана произвольная строка, по которой известным только авторам задачи способом генерируется ответ yes/no. В задаче 100 тестов. У вас есть 20 попыток отослать решение. В качестве фидбэка вам доступны вердикты на каждом тесте. Вердиктов всего два: OK (ответ совпал) и WA. Попытки поделить на ноль, выделить терабайт памяти и подобное тоже считаются как WA.

Хеширование

Хеширование (иногда «хэширование», англ. hashing ) — преобразование по детерменированному алгоритму входного массива данных произвольной длины в выходную битовую строку фиксированной длины. Такие преобразования также называются хеш-функциями или функциями свёртки, а их результаты называют хешем, хеш-кодом или сводкой сообщения (англ. message digest ). Если у двух строк хеш-коды разные, строки гарантированно различаются, если одинаковые — строки, вероятно, совпадают.

Хеширование применяется для построения ассоциативных массивов, поиска дубликатов в сериях наборов данных, построения достаточно уникальных идентификаторов для наборов данных, контрольное суммирование с целью обнаружения случайных или намеренных ошибок при хранении или передаче, для хранения паролей в системах защиты (в этом случае доступ к области памяти, где находятся пароли, не позволяет восстановить сам пароль), при выработке электронной подписи (на практике часто подписывается не само сообщение, а его хеш-образ).

В общем случае однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов входного массива; существует множество массивов с разным содержимым, но дающих одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.

Существует множество алгоритмов хеширования с различными свойствами (разрядность, вычислительная сложность, криптостойкость и т. п.). Выбор той или иной хеш-функции определяется спецификой решаемой задачи. Простейшими примерами хеш-функций могут служить контрольная сумма или CRC.

Содержание

История

Дональд Кнут относит первую систематическую идею хеширования к сотруднику IBM Хансу Петеру Луну (нем. Hans Peter Luhn ), предложившему хеш-кодирование в январе 1953 года.

В 1956 году Арнольд Думи (англ. Arnold Dumey ) в своей работе «Computers and automation» первым представил концепцию хеширования таковой, какой её знает большинство программистов сейчас. Думи рассматривал хеширование, как решение «Проблемы словаря», а также предложил использовать в качестве хеш-адреса остаток деления на простое число. [1]

Первой серьёзной работой, связанной с поиском в больших файлах, была статья Уэсли Питерсона (англ. W. Wesley Peterson ) в IBM Journal of Research and Development 1957 года, в которой он определил открытую адресацию, а также указал на ухудшение производительности при удалении. Спустя шесть лет был опубликована работа Вернера Бухгольца (нем. Werner Buchholz ), в которой проведено обширное исследование хеш-функций. В течение нескольких последующих лет хеширование широко использовалось, однако не было опубликовано никаких значимых работ.

В 1967 году хеширование в современном значении упомянуто в книге Херберта Хеллермана «Принципы цифровых вычислительных систем» [2] . В 1968 году Роберт Моррис (англ. Robert Morris ) опубликовал в Communications of the ACM большой обзор по хешированию, эта работа считается ключевой публикацией, вводящей понятие о хешировании в научный оборот и закрепившей ранее применявшийся только в жаргоне специалистов термин «хеш».

До начала 1990-х годов в русскоязычной литературе в качестве эквивалента термину «хеширование» благодаря работам Андрея Ершова использовалось слово «расстановка», а для коллизий использовался термин «конфликт» (Ершов использовал «расстановку» с 1956 года, в русскоязычном издании книги Вирта «Алгоритмы и структуры данных» 1989 года также используется термин «расстановка»). Предлагалось также назвать метод русским словом «окрошка». Однако ни один из этих вариантов не прижился, и в русскоязычной литературе используется преимущественно термин «хеширование». [3]

Виды хеш-функций

Хорошая хеш-функция должна удовлетворять двум свойствам:

Быстро вычисляться;
Минимизировать количество коллизий

Предположим, для определённости, что количество ключей , а хеш-функция h(K) имеет не более различных значений:

0<h(k)<M

В качестве примера «плохой» хеш-функции можно привести функцию с M=1000 , которая десятизначному натуральном числу сопоставляет три цифры выбранные из середины двадцатизначного квадрата числа . Казалось бы значения хеш-кодов должны равномерно распределиться между «000» и «999», но для реальных данных такой метод подходит лишь в том случае, если ключи не имеют большого количества нулей слева или справа. [3]

Однако существует несколько более простых и надежных методов, на которых базируются многие хеш-функции.

Хеш-функции основанные на делении

Первый метод заключается в том, что мы используем в качестве хеша остаток от деления на alt=»M» width=»» height=»» />, где alt=»M» width=»» height=»» />это количество всех возможных хешей:

$h(K)= K \mod M$

При этом очевидно, что при чётном значение функции будет чётным, при чётном , и нечётным — при нечётном, что может привести к значительному смещению данных в файлах. Также не следует использовать в качестве степень основания счисления компьютера, так как хеш-код будет зависеть только от нескольких цифр числа , расположенных справа, что приведет к большому количеству коллизий. На практике обычно выбирают простое — в большинстве случаев этот выбор вполне удовлетворителен.

Ещё следует сказать о методе хеширования, основанном на делении на полином по модулю два. В данном методе также должна являться степенью двойки, а бинарные ключи ( K=k_<n-1>k_<n-2>. k_<0>» width=»» height=»» />) представляются в виде полиномов. В этом случае в качестве хеш-кода берутся значения коэффциентов полинома, полученного как остаток от деления <img decoding= на заранее выбранный полином степени :

$K(x) \mod P(x) = h_<m-1>x^<m-1>+h_<1>x+h_ <0>» width=»» height=»» /> <img decoding=$

При правильном выборе такой способ гарантирует отсутствие коллизий между почти одинаковыми ключами. [3]

Мультипликативная схема хеширования

Второй метод состоит в выборе некоторой целой константы , взаимно простой с , где — количество представимых машинным словом значений (в компьютерах IBM PC 2^<32>» width=»» height=»» />). Тогда можем взять хеш-функцию вида:</p>
<p><img decoding= является степенью двойки и h(K) будет состоять из старших битов правой половины произведения A*K .

Среди преимуществ этих двух методов стоит отметь, что они выгодно используют то, что реальные ключи неслучайны, например в том случае если ключи представляют собой арифметическую прогрессию (допустим последовательность имён «ИМЯ1», «ИМЯ2», «ИМЯ3»). Мультипликативный метод отобразит арифметическую прогрессию в приближенно арифметическую прогрессию различных хеш-значений, что уменьшает количество коллизий по сравнению со случайной ситуацией. [3]

Одной из вариаций данного метода является хеширование Фибоначчи, основанное на свойствах золотого сечения. В качестве здесь выбирается ближайшее к $\varphi^<-1>*w» width=»» height=»» /> целое число, взаимно простое с <img decoding=$ [3]

Хеширование строк переменной длины

Вышеизложенные методы применимы и в том случае, если нам необходимо рассматривать ключи, состоящие из нескольких слов или ключи переменной длины. Например можно скомбинировать слова в одно при помощи сложения по модулю или операции «исключающее или». Одним из алгоритмов, работающих по такому принципу является хеш-функция Пирсона.

Хеширование Пирсона (англ. Pearson hashing ) — алгоритм, предложенный Питером Пирсоном (англ. Peter Pearson ) для процессоров с 8-битными регистрами, задачей которого является быстрое вычисление хеш-кода для строки произвольной длины. На вход функция получается слово , состоящее из символов, каждый размером 1 байт, и возвращает значение в диапазоне от 0 до 255. Причем значение хеш-кода зависит от каждого символа входного слова.

Алгоритм можно описать следующим псевдокодом, который получает на вход строку и использует таблицу перестановок

Среди преимуществ алгоритма следует отметить:

Простоту вычисления;
Не существует таких входных данных, для которых вероятность коллизии наибольшая;
Возможность модификации в идеальную хеш-функцию. [4]

В качестве альтернативного способа хеширования ключей, состоящих из символов ( K=x_<1>x_<2>. x_<l>» width=»» height=»» />), можно предложить вычисление</p>
<p><img decoding=

Идеальной хеш-функцией (англ. Perfect hash function ) называется такая функция, которая отображает каждый ключ из набора в множество целых чисел без коллизий. В математических терминах это инъективное отображение.

Описание

Функция $h(k)\colon U\to [m]$ называется идеальной хеш-функцией для $S\subseteq U$ , если она инъективна на ;
Функция $h(k)\colon U\to [m]$ называется минимальной идеальной хеш-функцией для $S\subseteq U$ , если она является ИХФ и ;
Для целого , функция называется -идеальной хеш-функцией (k-PHF) для если для каждого имеем в числа . На входе алгоритм получает некоторый набор данных и размерностью , причем неизвестный заранее. Как правило целью хеширования является получение наименьшего числа коллизий, чего трудно добиться используя какую-то определенную хеш-функцию.

В качестве решения такой проблемы можно выбирать функцию случайным образом из определенного набора, называемого универсальным семейством $H = \< h : U \to [m] \>» width=»» height=»» />. [6] </p> <h3>Методы борьбы с коллизиями</h3> <p>Как уже говорилось выше, коллизией (иногда конфликтом [1] или столкновением) хеш-функции называются такие два входных блока данных, которые дают одинаковые хеш-коды.</p> <h4>В хеш-таблицах</h4> <p>Большинство первых работ описывающих хеширование было посвящено методам борьбы с коллизиями в хеш-таблицах, так как хеш-функции применялись для поиска в больших файлах. Существует два основных метода используемых в хеш-таблицах:</p> <ol> <li>Метод цепочек(метод прямого связывания)</li> <li>Метод открытой адресации</li> </ol> <p>Первый метод заключается в поддержке <img decoding=$ связных списков, по одному на каждое значение хеш-функции. В списке хранятся ключи, дающие одинаковое значение хеш-кодов. В общем случае, если мы имеем ключей и списков, средний размер списка будет $\frac<N><M>» width=»» height=»» /> и хеширование приведет к уменьшению среднего количества работы по сравнению с последовательным поиском примерно в <img decoding=$ раз.

Второй метод состоит в том, что в массиве таблицы хранятся пары ключ-значение. Таким образом мы полностью отказываемся от ссылок и просто просматриваем записи таблицы, пока не найдем нужный ключ или пустую позицию. Последовательность, в которой просматриваются ячейки таблицы называется последовательностью проб. [3]

Криптографическая соль

Существует несколько способов для защиты от подделки паролей и подписей, работающих даже в том случае, если криптоаналитику известны способы построения коллизий для используемой хеш-функции. Одним из таких методов является добавление криптографической соли (строки случайных данных) к входным данным (иногда «соль» добавляется и к хеш-коду), что значительно затрудняет анализ итоговых хеш-таблиц. Данный метод, к примеру, используется для хранения паролей в UNIX-подобных операционных системах.

Применение хеш-функций

Хеш-функции широко используются в криптографии, а также во многих структурах данных — хеш-таблицаx, фильтрах Блума и декартовых деревьях.

Криптографические хеш-функции

Среди множества существующих хеш-функций принято выделять криптографически стойкие, применяемые в криптографии, так как на них накладываются дополнительные требования. Для того чтобы хеш-функция считалась криптографически стойкой, она должна удовлетворять трем основным требованиям, на которых основано большинство применений хеш-функций в криптографии:
- Необратимость: для заданного значения хеш-функции m должно быть вычислительно неосуществимо найти блок данных , для которого .
- Стойкость к коллизиям первого рода: для заданного сообщения M должно быть вычислительно неосуществимо подобрать другое сообщение N, для которого .
- Стойкость к коллизиям второго рода: должно быть вычислительно неосуществимо подобрать пару сообщений , а хеш-функция имеет не более различных значений:
  
  $0<h(k)<M$
  
  В качестве примера «плохой» хеш-функции можно привести функцию с $M=1000$ , которая десятизначному натуральном числу $K$ сопоставляет три цифры выбранные из середины двадцатизначного квадрата числа $K$ . Казалось бы значения хеш-кодов должны равномерно распределиться между «000» и «999», но для реальных данных такой метод подходит лишь в том случае, если ключи не имеют большого количества нулей слева или справа. [3]
  
  Однако существует несколько более простых и надежных методов, на которых базируются многие хеш-функции.
  
  Хеш-функции, основанные на делении
  
  Первый метод заключается в том, что мы используем в качестве хеша остаток от деления на alt=»M» />, где alt=»M» />- это количество всех возможных хешей:
  
  $h(K)= K \mod M$
  
  При этом очевидно, что при чётном $M$ значение функции будет чётным, при чётном $K$ , и нечётным — при нечётном, что может привести к значительному смещению данных в файлах. Также не следует использовать в качестве $M$ степень основания счисления компьютера, так как хеш-код будет зависеть только от нескольких цифр числа $K$ , расположенных справа, что приведет к большому количеству коллизий. На практике обычно выбирают простое $M$ — в большинстве случаев этот выбор вполне удовлетворителен.
  
  Ещё следует сказать о методе хеширования, основанном на делении на полином по модулю два. В данном методе $M$ также должна являться степенью двойки, а бинарные ключи ( $K=k_<n-1>k_<n-2>. k_<0>» />) представляются в виде полиномов. В этом случае в качестве хеш-кода берутся значения коэффциентов полинома, полученного как остаток от деления <img decoding=$ на заранее выбранный полином $P$ степени $m$ :
  
  При правильном выборе $P(x)$ такой способ гарантирует отсутствие коллизий между почти одинаковыми ключами. [3]
  
  Мультипликативная схема хеширования
  
  Второй метод состоит в выборе некоторой целой константы $A$ , взаимно простой с $w$ , где $w$ — количество представимых машинным словом значений (в компьютерах IBM PC $2^<32>» />). Тогда можем взять хеш-функцию вида:</p> <p>В этом случае, на компьютере с двоичной системой счисления, <img decoding=$ является степенью двойки и $h(K)$ будет состоять из старших битов правой половины произведения $A*K$ .
  
  Среди преимуществ этих двух методов стоит отметь, что они выгодно используют то, что реальные ключи неслучайны, например в том случае если ключи представляют собой арифметическую прогрессию (допустим последовательность имён «ИМЯ1», «ИМЯ2», «ИМЯ3»). Мультипликативный метод отобразит арифметическую прогрессию в приближенно арифметическую прогрессию различных хеш-значений, что уменьшает количество коллизий по сравнению со случайной ситуацией. [3]
  
  Одной из вариаций данного метода является хеширование Фибоначчи, основанное на свойствах золотого сечения. В качестве $A$ здесь выбирается ближайшее к $\varphi^<-1>*w» /> целое число, взаимно простое с <img decoding=$
  
  Хеширование строк переменной длины
  
  Вышеизложенные методы применимы и в том случае, если нам необходимо рассматривать ключи, состоящие из нескольких слов или ключи переменной длины. Например можно скомбинировать слова в одно при помощи сложения по модулю $w$ или операции «исключающее или». Одним из алгоритмов, работающих по такому принципу является хеш-функция Пирсона.
  
  Хеширование Пирсона (англ. Pearson hashing ) — алгоритм, предложенный Питером Пирсоном (англ. Peter Pearson ) для процессоров с 8-битными регистрами, задачей которого является быстрое вычисление хеш-кода для строки произвольной длины. На вход функция получает слово $W$ , состоящее из $n$ символов, каждый размером 1 байт, и возвращает значение в диапазоне от 0 до 255. Причем значение хеш-кода зависит от каждого символа входного слова.
  
  Алгоритм можно описать следующим псевдокодом, который получает на вход строку $W$ и использует таблицу перестановок $T$
  
  Среди преимуществ алгоритма следует отметить:
  - Простоту вычисления;
  - Не существует таких входных данных, для которых вероятность коллизии наибольшая;
  - Возможность модификации в идеальную хеш-функцию.
  В качестве альтернативного способа хеширования ключей, $K$ состоящих из $l$ символов ( $K=x_<1>x_<2>. x_<l>» />), можно предложить вычисление</p> <h4>Идеальное хеширование</h4> <p>Идеальной хеш-функцией (англ. <i>Perfect hash function</i> ) называется такая функция, которая отображает каждый ключ из набора <img decoding=$ в множество целых чисел без коллизий. В математических терминах это инъективное отображение.
  
  Описание
  1. Функция $h(k)\colon U\to [m]$ называется идеальной хеш-функцией для $S\subseteq U$ , если она инъективна на $S$ ;
  2. Функция $h(k)\colon U\to [m]$ называется минимальной идеальной хеш-функцией для $S\subseteq U$ , если она является ИХФ и $m = n = |S|$ ;
  3. Для целого $k\ge 1$ , функция $h(k)\colon U\to [m]$ называется $k$ -идеальной хеш-функцией (k-PHF) для $S\subseteq U$ если для каждого $j\in [m]$ имеем $|\<x\in S | h(x) = j\>|\le k» />.</li> </ol> <p>Идеальное хеширование применяется в тех случаях, когда мы хотим присвоить уникальный идентификатор ключу, без сохранения какой-либо информации о ключе. Одним из наиболее очевидных примеров использования идеального (или скорее k-идеального) хеширования является ситуация, когда мы располагаем небольшой быстрой памятью, где размещаем значения хешей, связанных с данными хранящимися в большой, но медленной памяти. Причем размер блока можно выбрать таким, что необходимые нам данные, хранящиеся в медленной памяти, будут получены за один запрос. Подобный подход используется, например, в аппаратных маршрутизаторах. Также идеальное хеширование используется для ускорения работы алгоритмов на графах, в тех случаях, когда представление графа не умещается в основной памяти.</p> <h4>Универсальное хеширование</h4> <p>Универсальным хешированием (англ. <i>Universal hashing</i> ) называется хеширование, при котором используется не одна конкретная хеш-функция, а происходит выбор из заданного семейства по случайному алгоритму. Использование универсального хеширования обычно обеспечивает низкое число коллизий. Универсальное хеширование имеет множество применений, например, в реализации хеш-таблиц и криптографии.</p> <h5>Описание</h5> <p>Предположим, что мы хотим отобразить ключи из пространства <img decoding=$ в числа $[m]$ . На входе алгоритм получает некоторый набор данных $S\in U$ и размерностью $n$ , причем неизвестный заранее. Как правило целью хеширования является получение наименьшего числа коллизий, чего трудно добиться используя какую-то определенную хеш-функцию.
    
    В качестве решения такой проблемы можно выбирать функцию случайным образом из определенного набора, называемого универсальным семейством $H = \< h : U \to [m] \>» />.</p> <div style=$
    Читать:
    Как обновить версию c в visual studio