Где находится 2пи на окружности

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac<π><2>\), \(-\frac<π><2>\), \(\frac<3π><2>\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac<π><2>\) . \(\frac<π><2>\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac<π><2>\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac<3π><2>\) . Для этого дробь \(\frac<3><2>\) переведем в смешанный вид \(\frac<3><2>\) \(=1\) \(\frac<1><2>\) , т.е. \(\frac<3π><2>\) \(=π+\) \(\frac<π><2>\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac<3π><2>\) .

Обозначаем числа \(\frac<π><4>\), \(\frac<π><3>\), \(\frac<π><6>\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) и \(\frac<π><6>\) .
\(\frac<π><4>\) – это половина от \(\frac<π><2>\) (то есть, \(\frac<π><4>\) \(=\) \(\frac<π><2>\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac<π><4>\) – это половина четверти окружности.

\(\frac<π><4>\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac<π><3>\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac<π><3>\) – это треть от полукруга.

\(\frac<π><6>\) – это половина \(\frac<π><3>\) (ведь \(\frac<π><6>\) \(=\) \(\frac<π><3>\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac<π><6>\) – это половина от расстояния \(\frac<π><3>\) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac<π><2>\) ,\(π\), \(\frac<3π><2>\) , \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) , \(\frac<π><6>\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа \(\frac<7π><6>\), \(-\frac<4π><3>\), \(\frac<7π><4>\)

Обозначим на окружности точку \(\frac<7π><6>\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac<7π><6>\) \(=\) \(\frac<6π + π><6>\) \(=\) \(\frac<6π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=π+\) \(\frac<π><6>\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac<π><6>\) .

Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac<4π><3>\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac<4π><3>\) \(=-\) \(\frac<3π><3>\) \(-\) \(\frac<π><3>\) \(=-π-\) \(\frac<π><3>\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac<π><3>\) .

Нанесем точку \(\frac<7π><4>\) , для этого преобразуем \(\frac<7π><4>\) \(=\) \(\frac<8π-π><4>\) \(=\) \(\frac<8π><4>\) \(-\) \(\frac<π><4>\) \(=2π-\) \(\frac<π><4>\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac<7π><4>\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac<π><4>\) .

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac<7π><2>\) ,\(\frac<16π><3>\), \(-\frac<21π><2>\), \(-\frac<29π><6>\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac<7π><2>\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac<7π><2>\) \(=\) \(\frac<6π><2>\) \(+\) \(\frac<π><2>\) \(=3π+\) \(\frac<π><2>\) \(=2π+π+\) \(\frac<π><2>\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac<7π><2>\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><2>\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac<16π><3>\) . Вновь преобразования: \(\frac<16π><3>\) \(=\) \(\frac<15π + π><3>\) \(=\) \(\frac<15π><3>\) \(+\) \(\frac<π><3>\) \(=5π+\) \(\frac<π><3>\) \(=4π+π+\) \(\frac<π><3>\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><3>\) – и мы найдем место точки \(\frac<16π><3>\) .

Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac<21π><2>\) .
\(-\) \(\frac<21π><2>\) \(= -\) \(\frac<20π><2>\) \(-\) \(\frac<π><2>\) \(=-10π-\) \(\frac<π><2>\) . Значит, место \(-\) \(\frac<21π><2>\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac<π><2>\) .

Обозначим \(-\) \(\frac<29π><6>\) .
\(-\) \(\frac<29π><6>\) \(=-\) \(\frac<30π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=-5π+\) \(\frac<π><6>\) \(=-4π-π+\) \(\frac<π><6>\) . Для обозначение \(-\) \(\frac<29π><6>\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac<π><6>\) .

Тригонометрическая окружность и графики функций

Люди пользуются тригонометрией с древнейших времен. Добывая еду с помощью лука и стрел, человек уже применял знания, которые мы разберем в этой статье.

Единичная тригонометрическая окружность

Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1

Так как длина всей окружности равна 2π, сделаем вывод, что половина окружности — это π, а четверть — это π2.

Теперь разделим окружность сначала на восемь частей, а потом ту же окружность на двенадцать частей. Рассчитаем значения полученных точек.

Заметим, что точка 0 совпадает с точкой 2π. Это означает, что мы сделали один оборот по окружности. Но мы можем продолжать идти так и дальше: тогда эта же точка будет принимать значения 4π, 6π, 8π.

Движение по тригонометрической окружности можно сравнить с движением по числовой прямой, закрученной в спираль.

Аналогично можно двигаться и против движения часовой стрелки, но это уже будет отрицательная спираль.

Как записать множество точек, находящихся в одной точке окружности, но на разных витках спирали?

Так как тригонометрические функции — это периодические функции, то и значения в точках будут повторяться с определенным интервалом: то есть с интервалом 2πk, где k принадлежит множеству целых чисел.

Пример: π + 2πk, k ∈ Z

Теперь рассмотрим значения синусов и косинусов, определенных на окружности точек.

На положительных частях осей они представлены как \(\frac<1><2>\), \(\frac<\sqrt<2>><2>\), \(\frac<\sqrt<3>><2>\), а на отрицательных — \(-\frac<1><2>\), \(-\frac<\sqrt<2>><2>\), \(-\frac<\sqrt<3>><2>\).

Для нахождения значения синуса или косинуса известного угла нужно провести перпендикулярную прямую к прямой, предназначенной этой функции. Значение, в котором она пересечет прямую функции будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример:
Нужно узнать чему равно \(sin \frac<\pi><3>\)

Сначала найдем \(\frac<\pi><3>\) на окружности, затем проведем перпендикулярную прямую к прямой синусов. Ответом является значение в точки пересечения.

Теперь проведём ещё две прямые для обозначения прямых тангенса и котангенса. Отметим на них значения для точек окружности.

Для нахождения значения тангенса или котангенса известного угла нужно провести прямую через точку (0; 0) и это число на окружности. Значение, в котором она пересечет прямую данной функции, будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример:

Нужно узнать чему равно \(ctg \frac<2 \pi><3>\)

Сначала найдем \(\frac<2 \pi><3>\) на окружности, затем проведём прямую через (0; 0) и эту точку на окружности. Ответом является значение в точки пересечения проведенной прямой и прямой котангенсов.

Примеры тригонометрии можно найти и в жизни. Например: когда мы режем морковку, нож находится под углом \(\frac<\pi><2>\) к поверхности доски.

Графики тригонометрических функций

Как уже было сказано ранее, тригонометрические функции — это периодические функции.

То есть, значения этих функций повторяются через определенный период. Теперь рассмотрим подробнее графики таких функций.

Находя значения у для разных значений х и соединяя точки, можно получить следующие графики функций.

График y = sin x — синусоида.

График y = cos x — косинусоида.

График y = tgx — тангенсоида.

Важно: тангенсоида никогда не может принимать значения \(\frac<\pi><2>\); \(\frac<3 \pi><2>\); \(\frac<5 \pi><2>\) и т. д. Так как тангенс — это синус делить на косинус, а делить на ноль нельзя, следовательно, косинус не равен нулю. Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

График y = ctgx — котангенсоида.

Важно: котангенсоида никогда не может принимать значения 0; π; 2π и т. д., так как котангенс — это косинус делить на синус. Делить на ноль нельзя, значит синус не равен нулю. Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

Каждую из рассмотренных выше функций можно сдвигать по осям Х и Y и растягивать по оси Y. Давайте рассмотрим такие растяжения и сдвиги.

Коэффициент перед тригонометрической функцией

Чем больше коэффициент перед тригонометрической функцией, тем сильнее она вытягивается по вертикали.

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида растягиваются по аналогии.

Сдвиг по оси Y

График тригонометрической функции сдвигается по оси Y на прибавленную к значению y константу.

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Сдвиг по оси Х

График тригонометрической функции сдвигается по оси Х на прибавленную к значению х константу.

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Важно: при прибавлении положительной константы — сдвиг влево, при вычитании положительной константы — сдвиг вправо.

Косинусоида, она такая. Сказала — и подвинулась на 2 вверх и вправо. Как она это сделала?

Рассмотрим сдвиг косинусоиды по двум осям сразу

Фактчек

• Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1.
• Один проход по окружности — это 2π.
• Двигаться по окружности можно как в положительную, так и в отрицательную сторону.
• График функции — это представление функции на координатной плоскости.
• Коэффициент перед функцией отвечает за растяжение графика функции вдоль оси Y.
• Константа, прибавляемая к х или y, отвечает за сдвиг функции относительно изначального значения.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно \(sin \frac<5 \pi><4>\)?

1. \(\frac<\sqrt<3>><2>\)
2. \(\frac<\sqrt<2>><2>\)
3. \(-\frac<\sqrt<2>><2>\)
4. 1

Задание 2.
Чему равно \(cos \frac<\pi><3>\)?

1. 1
2. \(\frac<1><2>\)
3. \(-\frac<1><2>\)
4. \(\frac<\sqrt<3>><2>\)

Задание 3.
Чему равно \(ctg \frac<\pi><2>\)?

1. 0
2. 1
3. \(\sqrt<3>\)
4. \(\frac<\sqrt<2>><2>\)

Задание 4.
Куда будет сдвиг \(sin(x + \frac<4 \pi><3>)\)?

1. Вправо
2. Влево
3. Вверх
4. Вниз

Задание 5.
Куда будет сдвиг ctg x + 2?

1. Вправо
2. Влево
3. Вниз
4. Вверх

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 2; 5. — 4.

Тригонометрическая окружность

В этой статье мы поговорим об основах тригонометрии — о тригонометрической окружности. С нее начинается изучение тригонометрии в 10-м классе.

Именно тригонометрические уравнения, как правило, попадаются в самом легком задании второй части ЕГЭ по профильной математике. А умение преобразовывать тригонометрические выражения часто бывают и в первой части. Без этой важной темы на ЕГЭ никак не обойтись.

Тригонометрия очень непривычная тема для школьников. А единичная окружность — это основа, если вы разберетесь с ней, то все остальное не будет казаться таким сложным.

Единичная окружность

Чтобы начать пользоваться тригонометрической окружностью, ее нужно построить.

Для начала нарисуем обычную прямоугольную декартову систему координат — ту, в которой вы должны были в младших классах строить различные графики прямых, парабол и т.д. Горизонтальную ось (ось абсцисс), как обычно, обозначим за \(x\), а вертикальную (ось ординат) за \(y\). И нарисуем в этой системе координат обыкновенную окружность единичного радиуса с центром в точке с координатами \((0;0)\) — начало координат.

Пусть наша единичная окружность пересекает оси абсцисс и ординат в точках \(A,B,C,D\), как показано на рисунке. Центр окружности обозначим за точку \(O\).

Сразу обратите внимание, что оси \(x\) и \(y\) делят наш круг на четыре части, их называют четвертями. А еще каждой четверти присвоили свой номер так же, как пронумеровано римскими цифрами на рисунке. В школе часто мучают этими четвертями.

Как считать углы на единичной окружности

А теперь мы подобрались к самому главному: будем рисовать углы на окружности. Все углы отсчитываются, начиная с отрезка \(OA\) ПРОТИВ часовой стрелки. Например, давайте повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на угол \(30^o\) (как стрелку часов) и получим некоторую точку \(M\), лежащую на окружности. На рисунке хорошо видно, как мы получили угол \(\angle\).

Таким образом, можно получать любые углы, просто поворачивая отрезок \(OA\). На рисунке 3 кроме угла \(\angle=30^o\) я нарисовал углы: \(\angle=45^o\), \(\angle=60^o\), \(\angle=90^o\), \(\angle=120^o\), \(\angle=135^o\), \(\angle=150^o\), \(\angle=180^o\).

Обратите внимание на углы \(\angle=90^o\) и \(\angle=180^o\): прямой и развернутый углы соответственно. Они нам понадобятся чуть позже.

Но и это еще не все! Оказывается, бывают углы больше чем \(180^o\). Например, на нашей окружности такими углами будут \(\angle=210^o\), \(\angle=315^o\).

Есть даже угол, который соответствует полному обороту \(\angle=360^o\) (см. Рис. 4)

Обратите внимание, что абсолютно все углы отсчитываются от отрезка \(OA\). И каждому углу соответствует своя точка на окружности. В тригонометрии принято все углы на единичной окружности обозначать просто точками. Например, точка \(K\) на рисунке 3 соответствует углу в \(60^o\), точка \(W\) соответствует углу \(210^o\).

Любознательный читатель может спросить: а существуют ли углы большие \(360^o\)? И ответом будет – конечно, да. Нам ничто не мешает повернуть отрезок \(OA\) на \(360^o\), а потом продолжить поворачивать его, например, еще градусов на \(30^o\). И тогда мы получим прекрасный угол, соответствующий точке \(V=390^o\).

Кстати, точка \(V\) совпадет с точкой \(M\), соответствующей углу в \(30^o\). Получается, одна и та же точка может соответствовать сразу нескольким углам!

Действительно, если к любому углу прибавить \(360^o\), то вы попадете опять в ту же самую точку. Аналогично можно обратить внимание, что точка \(A\) одновременно соответствует как минимум двум углам: \(0^o\) и \(360^o\).

Угол в \(720^o\) будет соответствовать двум полным оборотам.

А ведь можно к любому углу прибавить не \(360^o\), а \(720^o\), что соответствует сразу 2-м полным оборотам. И так добавлять обороты можно до бесконечности. Значит, любой точке на единичной окружности соответствует бесконечное количество углов с шагом в \(360^o\). Например, углы \(60^o, \, 420^o, \, 780^o, \, 1140^o\) и т.д. все лежат в одной и той же точке на окружности, так как они все отличаются на один полный оборот – на \(360^o\). Это важная мысль, в дальнейшем она нам пригодится.

В общем, можно отсчитывать углы от отрезка \(OA\) сколько угодно большие и можно накручивать круги до бесконечности. Причем каждой точке соответствует бесконечное количество углов.

А еще существуют отрицательные углы! Оказывается, если повернуть отрезок \(OA\) ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то мы получим отрицательный угол. Например, на рисунке показан угол в \(-30^o\).

Любой угол, получившийся поворотом по часовой стрелке, будет отрицательным.

Кстати, точка \(M\) на окружности, соответствующая углу в \(-30^o\), отсчитанному по часовой стрелке, совпадает с точкой, соответствующей углу в \(330^o\), отсчитанным против часовой.

Как переводить радианы в градусы?

Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в \(30^o\) или \(90^o\).

Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.

Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться — это иррациональное число Пи: $$\pi=3,14…;$$ Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в \(\pi\) радиан это тоже самое, что и угол равный \(180^o\). $$\pi \, рад=180^o;$$ Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот: $$ \frac<\pi><2>=\frac<180><2>^o=90^o;$$ $$ \frac<\pi><3>=\frac<180><3>^o=60^o;$$ $$ \frac<\pi><4>=\frac<180><4>^o=45^o;$$ $$ \frac<\pi><6>=\frac<180><6>^o=30^o;$$

Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем \(\frac<5\pi><6>\) радиан: $$\pi \, рад=180^o;$$ $$\frac<5\pi> <6>\, рад=x^o;$$ Пропорции решаются перемножением крест на крест: $$\pi*x=\frac<5\pi><6>*180;$$ $$x=\frac<\frac<5\pi><6>*180><\pi>=\frac<5><6>*180=150^o.$$

Теперь отметим на тригонометрической окружности углы в радианах так же, как мы отмечали углы в градусах:

Чтобы интуитивно воспринимать радианы, важно помнить, что \(\pi \, рад=180^o;\) – это равно половине окружности. Тогда \(2\pi=360^o\) – это полный круг. Представьте, что перед вами пирог или пицца, которую вы режете на части. Тогда, помня, что \(\pi\) это ровно половина пирога, легко представить, что, например, \(\frac<\pi><6>\) – это мы половину пирога поделили на 6 одинаковых частей и взяли одну. А \(\frac<5*\pi><6>\) – это опять делим половину пирога на 6 частей, только в этот раз берем 5 частей из 6-ти, считая от 0.

Можно пользоваться такой аналогией, а можно решать пропорции, как вам удобнее.

Мы научились отмечать на единичной окружности углы и познакомились с радианами.

Теперь приступаем к самому важному: какое отношение имеет этот круг единичного радиуса к тригонометрическим функциям?

Синус и косинус на тригонометрической окружности

Кратко напомню: Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

И из этих формул и теоремы Пифагора следует одна из самых важных тригонометрических формул: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.$$

Раз эти определения вводились для прямоугольного треугольника, то у них есть большой недостаток. Они работают только в прямоугольном треугольнике, а значит только для острых углов. (В прямоугольном треугольнике, один угол прямой, а два другие обязательно острые).

Но синус и косинус можно посчитать на калькуляторе от абсолютно любого угла. Тогда определение из 9-го класса нам не годится.

И вот здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность. При помощи нее мы сейчас постараемся определить синус и косинус.

Нарисуем единичную окружность (единичного радиуса) и отметим на ней какой-нибудь острый угол \(\angle=\alpha\). Точка \(M\) лежит на дуге этой окружности и соответствует углу в \(30^o\). Посмотрите внимательно на рисунок: у точки \(M\) мы можем определить координаты. Пусть по оси \(x\) координата точки \(M\) будет \(M_\), а по оси \(y\) — \(M_\). Точка \(M\): $$(M_;M_);$$

Опустим из точки \(M\) перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси \(x\) попадет в точку \(M_\), а перпендикуляр к оси \(y\) попадет в \(M_\). Строго говоря, в математике \(M_\) и \(M_\) называются проекциями точки \(M\) на оси координат.

Мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle_\). По определению из 9-го класса синус \(\angle<\alpha>\) – это отношение противолежащего катета \(MM_\) к гипотенузе \(MO\) в \(\triangle>\): $$\sin(\alpha)=\frac>;$$ Обратите внимание, что \(MO\) это радиус нашей единичной окружности, значит он равен единице: $$\sin(\alpha)=\frac>=MM_;$$ Из рисунка видно, что \(MM_=OM_\) или, другими словами, длина отрезка \(MM_\) – это координата точки \(M\) по оси \(y\).

Это важный момент! Получается, что \(\sin(\alpha)\) равен координате точки \(M\) по оси \(y\).

Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Косинус по определению в прямоугольном треугольнике \(\triangle>\) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos(\alpha)=\frac>=OM_=M_;$$ Косинус \(\angle<\alpha>\), оказывается, будет равен координате точки \(M\) по оси \(x\).

Точно такие же рассуждения можно сделать для любого другого угла \(\beta\). Из рисунка ниже видно, что синус \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(y\). А косинус угла \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(x\). (Показано фиолетовым цветом).

Данная логика будет справедлива и для тупых углов. Посмотрите на угол \(\gamma\). Значение синуса \(\angle<\gamma>\) будет соответствовать координате точки \(K\) по оси \(y\), а косинуса – по оси \(x\).

Можно сделать вывод, что значения синуса любого угла на окружности лежат на оси \(y\), а значения косинуса на \(x\).

А раз такие дела, то давайте обзовем наши оси координат не \(x\) и \(y\), а осями \(cos\) и \(sin\) соответственно. На этих осях будут лежать значения косинуса и синуса всех углов на окружности. И в дальнейшем на всех рисунках оси мы будем обозначать \(cos\) и \(sin\) соотвественно.

Обратите внимание еще на один факт: координаты любой точки на окружности обязательно будут больше минус единицы и меньше единицы. Это значит, что значения синуса и косинуса лежат в этом же промежутке. Синус и косинус – это ограниченные функции.

Пример 1 Изобразить на тригонометрической окружности синус и косинус \(\frac<\pi><3>=60^o\).

Повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на \(\frac<\pi><3>\), получим точку \(W\) на окружности, которая соответствует этому углу. Если выполнять все это на миллиметровке и строить очень точно, то вы увидите, что координата точки \(W\) по \(y\) будет \(W_=\frac<\sqrt<3>><2>\approx0,87\), а по оси \(x\) координата будет \(W_=\frac<1><2>\).

Исходя из сказанного выше, мы делаем вывод: $$\sin(\frac<\pi><3>)=\frac<\sqrt<3>><2>;$$ $$\cos(\frac<\pi><3>)=\frac<1><2>;$$ Посмотрев в таблицу стандартных углов тригонометрических функций, понимаем, что мы сделали все правильно.

Вам, конечно, не придется сидеть с миллиметровкой и высчитывать значения тригонометрических функций, вы будете пользоваться таблицей стандартных углов. А тригонометрическая окружность нужна как большой помощник. При дальнейшем изучении тригонометрии вы в этом не раз убедитесь.

Кстати, интересно и очень важно отметить, что значение, например, синуса \(\frac<\pi><2>=(90^o)\) будет равно 1, а косинус \(\frac<\pi><2>\) будет равен 0. Чтобы это понять, необязательно смотреть в таблицу стандартных углов, такой вывод можно сделать при помощи тригонометрической окружности.

Действительно, обратите внимание: угол в \(\frac<\pi><2>=(90^o\) соответствует на окружности точке \(B\). Координата точки \(B\) по оси \(x\) будет \(0\), а по оси \(y\) \(1\). А так как координаты точек на окружности, согласно сказанному выше, и есть значения косинуса и синуса угла, то: $$\sin(\frac<\pi><2>)=1;$$ $$\cos(\frac<\pi><2>)=0;$$

Знаки синуса и косинуса в зависимости от угла

В самом начале мы не просто так разбивали нашу окружность на четверти. Дело в том, что в каждой из этих четвертей тригонометрические функции имеют разные знаки. В школе обычно заставляют учить в какой четверти какой знак. Но мы, как всегда, постараемся вникнуть в суть и понять, как это работает. Тем более, что ничего сложного здесь нет, если разобраться в материале выше.

Мы с вами выяснили, что координаты любой точки на окружности – это и есть значения синуса и косинуса. Рассмотрим первую четверть: возьмем произвольную точку \(M\), лежащую на дуге в этой четверти, координата точки \(M\) по \(x\) будет \(M_\) и она будет обязательно положительной, так как лежит между нулем и единицей! А это значит, что косинус угла, соответствующего точке \(M\) тоже будет положительным. Аналогично координата точки \(M\) по оси \(y\) тоже лежит от 0 до 1, а значит синус \(\angle\) тоже положительный.

И какой бы угол мы не нарисовали в первой четверти, у него будут положительные координаты, а значит, и положительные значения косинуса и синуса!

Рассмотрим теперь вторую четверть. Руководствуясь той же логикой: координаты произвольной точки \(K\), лежащей на дуге из второй четверти по \(x\) будут отрицательны, а по \(y\) положительны. Делаем вывод, что косинус любого угла из второй четверти будет отрицательным, а синус положительным.

Точно так же в третьей четверти и косинус, и синус будут отрицательными.

В четвертой четверти косинус положительный, а синус отрицательный.

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Теперь разберемся, как пользоваться тригонометрической окружностью в случае тангенса и котангенса.

Тангенс на окружности и его знаки

Чтобы на окружности можно было пользоваться тангенсом, нам понадобится дополнительная ось. Проведем ее перпендикулярно оси \(x\) (теперь это у нас ось косинусов) через точку \(A\):

Эта ось параллельна оси \(y\) и полностью ее дублирует. В точке \(A\) будет координата \(0\). Отметим на окружности в первой четверти произвольную точку \(L\). Соединим точку \(L\) с центром окружности и продлим прямую до пересечения с новой осью в точке \(F\).

Мы получили прямоугольный треугольник \(FOA\). В этом прямоугольном треугольнике можем расписать тангенс по определению:

$$tg(\angle)=\frac;$$ А так как \(OA\) это ни что иное, как радиус единичной окружности: $$tg(\angle)=FA;$$ А \(FA\) – это координата точки \(F\) по нашей новой оси. Значит \(tg(\angle)=tg(\angle)\) будет равен координате точки \(F\) по новой оси.

Аналогичным образом я могу выбрать другую произвольную точку \(P\) на окружности в первой четверти, продлить до пересечения с новой осью, получить некоторую точку \(T\). И опять, тангенс получившегося угла \(\angle=\angle\) будет равен координате точки \(T\) на новой оси.

Тут все ясно, но возникает справедливый вопрос: а что, если угол лежит не в первой четверти?

Логика рассуждений сохраняется: произвольному углу \(\angle\) соответствует своя точка на окружности \(Q\), соединим точку \(Q\) с центром окружности и продлим до пересечения с новой осью в точке \(H\). Оказывается, тангенс \(\angle\) будет равен координате точки \(H\) по новой оси.

Общая логика простая – берем точку на окружности, соответствующую некоторому углу \(\alpha\), соединяем ее с центром окружности и продляем до пересечения с осью тангенса. Координата точки пересечения с осью тангенса и будет значением тангенса угла \(\alpha\).

Эта ось называется осью тангенсов, так как на ней лежат значения тангенсов всех углов на окружности.

Стоит обратить внимание на знаки тангенса. Если соединять точки на окружности, лежащие в первой и третьей четвертях с центром окружности, то пересекать ось тангенсов эти прямые будут всегда выше \(0\). Значение тангенса любых углов из первой и третьей четвертей будет положительно.

А если углы лежат во второй и четвёртой четвертях, то их тангенс будет отрицательным.

Котангенс на окружности и его знаки

С котангенсом ситуация очень похожа на тангенс. Только в этот раз мы проводим горизонтальную ось перпендикулярно оси синусов через произвольную точку \(B\). Эта ось будет параллельна оси \(x\) и полностью ее дублировать. Сразу назовем эту ось осью котангенса. Ноль на оси котангенса будет совпадать с точкой \(B\).

Теперь выберем произвольную точку \(N\) на окружности, этой точке будет соответствовать угол \(\angle\). Соединим точку \(N\) с центром окружности и продлим получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса в точке \(Q\).

Обратите внимание, что \(\angle=\angle\), как накрест лежащие при параллельных прямых (оси синуса и котангенса). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOQ\) и распишем в нем котангенс \(\angle\), как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике: $$ctg(\angle)=ctg(\angle)=\frac=QB;$$ Мы получили, что котангенс \(\angle\) равен координате точки \(Q\) на оси котангенса.

Аналогичным образом можно выбрать произвольную точку на единичной окружности, соединить ее с центром окружности, продлить получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса, координата получившейся точки будет значением котангенса угла, соответствующего точке на окружности.

И у внимательного читателя должен возникнуть вопрос! Ведь не любую точку на окружности возможно соединить с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса или котангенса.

Действительно, если точки \(B\) и \(D\) соединить с центром окружности, то получится прямая параллельная оси тангенса, а значит, она никогда не пересчёт ее. Как же тогда найти значения тангенса углов, соответствующих точкам \(B\) и \(D\)? А никак, тангенс этих углов не существует. Точкам \(B\) и \(D\) соответствуют углы: \(\frac<\pi><2>=90^o, \, \frac<3\pi><2>=270^o, \, -\frac<\pi><2>=-90^o\) и т.д. Каждой точке на окружности, как мы помним, соответствует бесконечное количество углов с периодом \(2\pi=360^o\).

Аналогичные рассуждения с котангенсом. Котангенс не будет существовать от углов: \(0, \, \pi=180^o, \, -\pi=-180^o, \, 2\pi\) и т.д.

• Из построения можно заметить, что для любых углов из первой и третьей четвертей котангенс и тангенс будут положительные, а для второй и четвертой – отрицательные;
• Тангенс и котангенс – неограниченные функции. Это значит, что они могут принимать абсолютно любые значения: \(tg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\) и \(ctg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\)
• Тангенс не существует от углов \(\frac<\pi><2>*n\), где \(n \in Z\) (\(n\) целое число);
• Котангенс не существует от углов \(\pi*n\), где \(n \in Z\) (\(n\) целое число);

Пример 2 Изобразить на тригонометрической окружности \(ctg(\frac<\pi><6>)\).

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. 1. 1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
      2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
      3. И синус, и косинус принимают значения от до .
      4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
      5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
      6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
      7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

      А теперь подробно о тригонометрическом круге

      Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

      Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

      Полный круг — градусов.
      Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

      Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

      Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

      Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

      Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

      Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

      Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

      Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

      Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

      Легко заметить, что

      Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

      где — целое число.

      То же самое можно записать в радианах:

      Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

      В результате получим следующую таблицу.

      0
      0	не существует	0
      не существует	0	не существует

      Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

      Читать:

      Какое из приведенных утверждений является неверным