Двойной радикал как решать

Справедлива следующая формула:

Примеры

Пример 1. Решите уравнения:

Возводим в квадрат: $1+\sqrt<2>+\sqrt = 4 \Rightarrow \sqrt<2+\sqrt> =3$

Возводим в квадрат: $2+\sqrt = 9 \Rightarrow \sqrt = 7$

Возводим в квадрат: x = 49

Возводим в квадрат: $x+2\sqrt = 1 ⟹ 2\sqrt = 1-x$

Замечаем, что по определению арифметического корня:

$$ <\left\< \begin x-1 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x \ge 1 \\ x \le 1 \end \right.> \Rightarrow x = 1 $$

Единственное возможное решение x=1. Подставляем: $ \sqrt<1+2\sqrt<1-1>> ≡ 1$

Пример 2. Вычислите:

Исходное выражение: $A = \pm \sqrt<2>$.

Очевидно, что $\sqrt<9-\sqrt<17>> \lt \sqrt<9 + \sqrt<17>>$ и $A \lt 0$. Поэтому $A = — \sqrt<2>$.

Используем формулу преобразования двойных радикалов.

$$A = 9, B = 17 \Rightarrow C = A^2-B = 81-17 = 64 \Rightarrow \sqrt = 8$$

Ответ: $- \sqrt<2>$

$$ A \gt 0: A = \sqrt <4>= 2 $$

Подставляем: $ \frac<4-2> <4>= \frac<1><2>$

Пример 3. Используя формулу преобразования двойных радикалов, упростите выражение:

$$ A = 2, B = 3 \Rightarrow C = A^2-B = 4-3 = 1 \Rightarrow \sqrt = 1 $$

$$ A = 7, B = 24 \Rightarrow C = A^2-B = 49-24 = 25 \Rightarrow \sqrt = 5 $$

$$ A = 11, B = 112 \Rightarrow C = A^2-B = 121-112 = 9 \Rightarrow \sqrt = 3 $$

$$ A = 9, B = 80 \Rightarrow C = A^2-B = 81-80 = 1 \Rightarrow \sqrt = 1 $$

$$ A = a, B = a^2-b^2 \Rightarrow C = A^2-B = a^2-(a^2-b^2 ) = b^2 \Rightarrow \sqrt = b $$

Пример 4. Докажите равенство индийского математика Бхаскара (1114-1185):

Возведём в квадрат левую и правую части равенства. Для квадрата суммы трёх выражений используем формулу из §26 справочника для 7 класса.

Выражения слева и справа тождественно равны.

Что и требовалось доказать.

Пример 5*. Упростите выражение (задача Ж.Бертрана (1822-1900)):

Используем результат из примера 3(а):

$$ (\sqrt<3>+1)^2 = 3+2\sqrt<3>+1 = 4+2\sqrt <3>= 2(2+\sqrt<3>) \Rightarrow 2+\sqrt <3>= \frac<(\sqrt<3>+1)^2> <2>$$

20. Преобразование двойных радикалов

Выражение , входящее в эту формулу, имеет вид

,

где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.

В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.

Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: Попытаемся представить выражение 41 — 12 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12 можно представить, например, как 2 • 6 • или как 2 • 3 • 2. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и равна 41. Значит,

Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.

Решение: Пусть = а + b, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b) 2 = 61 + 28 и а + b ≥ 0. Значит,

Выпишем все пары целых чисел (а; b), для которых аb = 14:

Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям

Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,

В тех случаях, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и разность а 2 — b равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении можно с помощью формулы двойного радикала:

В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ±

Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: По формуле двойного радикала имеем

Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.

Пример 4. Упростим выражение

Решение: Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде

Преобразование двойных радикалов

Конспект урока по алгебре с использованием презентации.

Просмотр содержимого документа
«Преобразование двойных радикалов»

Тема: Преобразование двойных радикалов

Цель: Формировать умения освобождаться от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата, используя метод неопределённых коэффициентов, с помощью формулы двойного радикала. Развивать конструктивное и алгоритмическое мышление. Воспитывать самокритичность.

Тип: Урок формирования знаний и умений.

Оборудование: Проектор, презентация урока, учебник.

Проверка домашнего задания.

Проверить с записью на доске решение примера № 438.

(2 – ) (2 + ) = 2² – = 4 – 3 = 1. Числа, произведение которых равняется 1, являются взаимно обратными.

(2 – 5) + = = = 0. Числа, сумма которых равна 0, являются противоположными.

Актуализация умений. Работа в парах.

Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата. а) = = + 1

б) = = – 2

Постановка проблемы, целей и задач урока.

в) = = 6 –

г) = ?

Изучение нового материала. Формирование умений.

Решение задачи методом неопределённых коэффициентов.

= а + b, тогда (а + b)² = 61 + 28 и а + b ≥ 0

Значит, a² + 2ab />+ 3b² = 61 + 28 />

a² + 3b² = 61, a² + 3b² = 61,

2ab = 28, ab = 14.

Выпишем все пары целых чисел ( a;b), для которых ab = 14 и выберем те, которые удовлетворяют условиям. Это пара (7; 2). Значит, = 7 + 2.

Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

1) = = 5 – ; 2) = = 1 + 4

Формула двойного радикала:

. = , если и разность равна квадрату рационального числа. Доказательство готовит ученик в рамках индивидуального домашнего задания.

Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

1) . Проверяем условие применения формулы: 55² – 216 = 3025 – 216 = 2809 = 53² , выполняется. Применяем формулу: + = + 1 = 3 + 1 . 2) . Проверяем условие применения формулы: 86² – 5460 = 7396 – 5460 = 1936 = 44², выполняется. Применяем формулу: – = – .

3) . Проверяем условие применения формулы: 32² – 1008 = 1024 – 1008 = 16 = 4², выполняется. Применяем формулу: – = – = 3 – .

4) . Проверяем условие применения формулы:

75 2 – 3024 = 5625 – 3024 = 2601 = 51 2 , выполняется. Применяем формулу: – = – .

Применение алгебраических формул в геометрии.

Решение: а₅ 2 = (R) 2 = (10 – 2 ) = R² – , а₆ 2 = R², а₁₀ 2 = (R( – 1 ) 2 = R² ( 5 – 2 + 1) = R² – R² . Проверяем равенство: а₅ 2 = а₆ 2 + а₁₀ 2 . R² – = R² + R² – R² Равенство верно.

Радикал по другому называется …

Двойной радикал – это …

Освободиться от внешнего радикала можно, представив …

Если представить подкоренное выражение в виде квадрата не удаётся, то можно использовать …

Формула двойного радикала помогает освободиться от внешнего радикала, если выполняются условия: а ≥ 0, b ≥ 0 и …

Ответы: 1. Арифметический квадратный корень.

2. В подкоренном выражении есть иррациональное число, записанное с помощью арифметического квадратного корня.

3. Представив подкоренное выражение в виде квадрата.

4. Метод неопределённых коэффициентов.

5. Разность а 2 – b равна квадрату рационального числа.

Рефлексия. Проверьте свои ответы и поставьте смайлик, который соответствует вашему настроению.

Пункт 20, формулы выучить. Решить письменно №№444, 446(в). Для индивидуальной работы № 511.

Двойной радикал как решать

(2 – ) (2 + ) = 2² – = 4 – 3 = 1. Числа, произведение которых равняется 1, являются взаимно обратными.

(2 – 5) + = = = 0. Числа, сумма которых равна 0, являются противоположными.

Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата. а) = = + 1

б) = = – 2

в) = = 6 –

г) = ?

= а + b, тогда (а + b)² = 61 + 28 и а + b ≥ 0

2ab = 28, ab = 14.

Выпишем все пары целых чисел ( a;b), для которых ab = 14 и выберем те, которые удовлетворяют условиям. Это пара (7; 2). Значит, = 7 + 2.

1) = = 5 – ; 2) = = 1 + 4

1) . Проверяем условие применения формулы: 55² – 216 = 3025 – 216 = 2809 = 53² , выполняется. Применяем формулу: + = + 1 = 3 + 1 . 2) . Проверяем условие применения формулы: 86² – 5460 = 7396 – 5460 = 1936 = 44², выполняется. Применяем формулу: – = – .

Решение: а₅ 2 = (R) 2 = (10 – 2 ) = R² – , а₆ 2 = R², а₁₀ 2 = (R( – 1 ) 2 = R² ( 5 – 2 + 1) = R² – R² . Проверяем равенство: а₅ 2 = а₆ 2 + а₁₀ 2 . R² – = R² + R² – R² Равенство верно.

№ слайда 1

№ слайда 2

№ слайда 3

№ слайда 4

№ слайда 5

№ слайда 6

№ слайда 7

№ слайда 8

№ слайда 9

№ слайда 10

№ слайда 11

№ слайда 12

№ слайда 13

№ слайда 14

№ слайда 15

МОУ «Гимназия «Дмитров»» Презентация к уроку Алгебра. 8 класс. Тема: «Преобразование двойных радикалов» Выполнила: учитель математики Квитковская Юлия Александровна 2013 год
Классная работа. Преобразование двойных радикалов Определение. Выражения вида , , где а, в, с – некоторые числа, называются двойными или сложными радикалами.
Устно: Имеет ли смысл выражение:
Выполните умножение: Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.