Функция лапласа. Ее свойства
2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласа имеет вид:
График функции Лапласа приведен на рис.5.
Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:
2.2. Существует другие формы функции Лапласа:
и 
В отличие от этих форм функция Ф(х) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями:
ПРИМЕР 2. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами: m =3, =4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х : а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически.
Решение. а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х попадет в заданный интервал ( , ), где =2 и =6, равна:
б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение меньше 2, равна:
в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение больше 10, равна:
г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =2, равна:
С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6).
Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х
ПРИМЕР 3. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.
Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m =0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =15, равна:
ПРИМЕР 4 . Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.
Решение. Случайная величина Х — отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М ( Х )= m =0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =0,7, равна:
Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.
ПРИМЕР 5. Доказать правило «3 ».
Решение. Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую = 3 , равна:
ПРИМЕР 6. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m =10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?
Решение. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m =10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то:
Таблица значений функции Лапласа
Таблица значений функции Лапласа — это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. При решении задач по теории вероятности, как правило, требуется найти значение функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента. Для этого пользуются таблицей значений функции Лапласа. Таблица значений функции Лапласа незаменима при изучении теории вероятности, так как решать интеграл (функцию Лапласа) сложно, а запомнить таблицу значений функции Лапласа просто невозможно.
Функцию Лапласа и данную таблицу чаще всего изучают на втором курсе университета, при изучении математики и теории вероятности, если Вам в данной теме, что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады вам помочь. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей на здоровье.
Функция Лапласа
При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).
Таблица значений функции Лапласа
Таблица значений функции Лапласа используется в теории вероятности довольно часто. В данном разделе описываюся случаи, в которых необходимо использовать значения таблицы. Разбираются примеры и прикладывается сама таблица значений.
| x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
| 0 | 0 | 0,5 | 0,19146 | 1 | 0,34134 | 1,5 | 0,43319 | 2 | 0,47725 | 3 | 0,49865 |
| 0,01 | 0,00399 | 0,51 | 0,19497 | 1,01 | 0,34375 | 1,51 | 0,43448 | 2,02 | 0,47831 | 3,05 | 0,49886 |
| 0,02 | 0,00798 | 0,52 | 0,19847 | 1,02 | 0,34614 | 1,52 | 0,43574 | 2,04 | 0,47932 | 3,1 | 0,49903 |
| 0,03 | 0,01197 | 0,53 | 0,20194 | 1,03 | 0,34849 | 1,53 | 0,43699 | 2,06 | 0,4803 | 3,15 | 0,49918 |
| 0,04 | 0,01595 | 0,54 | 0,2054 | 1,04 | 0,35083 | 1,54 | 0,43822 | 2,08 | 0,48124 | 3,2 | 0,49931 |
| 0,05 | 0,01994 | 0,55 | 0,20884 | 1,05 | 0,35314 | 1,55 | 0,43943 | 2,1 | 0,48214 | 3,25 | 0,49942 |
| 0,06 | 0,02392 | 0,56 | 0,21226 | 1,06 | 0,35543 | 1,56 | 0,44062 | 2,12 | 0,483 | 3,3 | 0,49952 |
| 0,07 | 0,0279 | 0,57 | 0,21566 | 1,07 | 0,35769 | 1,57 | 0,44179 | 2,14 | 0,48382 | 3,35 | 0,4996 |
| 0,08 | 0,03188 | 0,58 | 0,21904 | 1,08 | 0,35993 | 1,58 | 0,44295 | 2,16 | 0,48461 | 3,4 | 0,49966 |
| 0,09 | 0,03586 | 0,59 | 0,2224 | 1,09 | 0,36214 | 1,59 | 0,44408 | 2,18 | 0,48537 | 3,45 | 0,49972 |
| 0,1 | 0,03983 | 0,6 | 0,22575 | 1,1 | 0,36433 | 1,6 | 0,4452 | 2,2 | 0,4861 | 3,5 | 0,49977 |
| 0,11 | 0,0438 | 0,61 | 0,22907 | 1,11 | 0,3665 | 1,61 | 0,4463 | 2,22 | 0,48679 | 3,55 | 0,49981 |
| 0,12 | 0,04776 | 0,62 | 0,23237 | 1,12 | 0,36864 | 1,62 | 0,44738 | 2,24 | 0,48745 | 3,6 | 0,49984 |
| 0,13 | 0,05172 | 0,63 | 0,23565 | 1,13 | 0,37076 | 1,63 | 0,44845 | 2,26 | 0,48809 | 3,65 | 0,49987 |
| 0,14 | 0,05567 | 0,64 | 0,23891 | 1,14 | 0,37286 | 1,64 | 0,4495 | 2,28 | 0,4887 | 3,7 | 0,49989 |
| 0,15 | 0,05962 | 0,65 | 0,24215 | 1,15 | 0,37493 | 1,65 | 0,45053 | 2,3 | 0,48928 | 3,75 | 0,49991 |
| 0,16 | 0,06356 | 0,66 | 0,24537 | 1,16 | 0,37698 | 1,66 | 0,45154 | 2,32 | 0,48983 | 3,8 | 0,49993 |
| 0,17 | 0,06749 | 0,67 | 0,24857 | 1,17 | 0,379 | 1,67 | 0,45254 | 2,34 | 0,49036 | 3,85 | 0,49994 |
| 0,18 | 0,07142 | 0,68 | 0,25175 | 1,18 | 0,381 | 1,68 | 0,45352 | 2,36 | 0,49086 | 3,9 | 0,49995 |
| 0,19 | 0,07535 | 0,69 | 0,2549 | 1,19 | 0,38298 | 1,69 | 0,45449 | 2,38 | 0,49134 | 3,95 | 0,49996 |
| 0,2 | 0,07926 | 0,7 | 0,25804 | 1,2 | 0,38493 | 1,7 | 0,45543 | 2,4 | 0,4918 | 4 | 0,49997 |
| 0,21 | 0,08317 | 0,71 | 0,26115 | 1,21 | 0,38686 | 1,71 | 0,45637 | 2,42 | 0,49224 | 4,05 | 0,49997 |
| 0,22 | 0,08706 | 0,72 | 0,26424 | 1,22 | 0,38877 | 1,72 | 0,45728 | 2,44 | 0,49266 | 4,1 | 0,49998 |
| 0,23 | 0,09095 | 0,73 | 0,2673 | 1,23 | 0,39065 | 1,73 | 0,45818 | 2,46 | 0,49305 | 4,15 | 0,49998 |
| 0,24 | 0,09483 | 0,74 | 0,27035 | 1,24 | 0,39251 | 1,74 | 0,45907 | 2,48 | 0,49343 | 4,2 | 0,49999 |
| 0,25 | 0,09871 | 0,75 | 0,27337 | 1,25 | 0,39435 | 1,75 | 0,45994 | 2,5 | 0,49379 | 4,25 | 0,49999 |
| 0,26 | 0,10257 | 0,76 | 0,27637 | 1,26 | 0,39617 | 1,76 | 0,4608 | 2,52 | 0,49413 | 4,3 | 0,49999 |
| 0,27 | 0,10642 | 0,77 | 0,27935 | 1,27 | 0,39796 | 1,77 | 0,46164 | 2,54 | 0,49446 | 4,35 | 0,49999 |
| 0,28 | 0,11026 | 0,78 | 0,2823 | 1,28 | 0,39973 | 1,78 | 0,46246 | 2,56 | 0,49477 | 4,4 | 0,49999 |
| 0,29 | 0,11409 | 0,79 | 0,28524 | 1,29 | 0,40147 | 1,79 | 0,46327 | 2,58 | 0,49506 | 4,45 | 0,5 |
| 0,3 | 0,11791 | 0,8 | 0,28814 | 1,3 | 0,4032 | 1,8 | 0,46407 | 2,6 | 0,49534 | 4,5 | 0,5 |
| 0,31 | 0,12172 | 0,81 | 0,29103 | 1,31 | 0,4049 | 1,81 | 0,46485 | 2,62 | 0,4956 | 4,55 | 0,5 |
| 0,32 | 0,12552 | 0,82 | 0,29389 | 1,32 | 0,40658 | 1,82 | 0,46562 | 2,64 | 0,49585 | 4,6 | 0,5 |
| 0,33 | 0,1293 | 0,83 | 0,29673 | 1,33 | 0,40824 | 1,83 | 0,46638 | 2,66 | 0,49609 | 4,65 | 0,5 |
| 0,34 | 0,13307 | 0,84 | 0,29955 | 1,34 | 0,40988 | 1,84 | 0,46712 | 2,68 | 0,49632 | 4,7 | 0,5 |
| 0,35 | 0,13683 | 0,85 | 0,30234 | 1,35 | 0,41149 | 1,85 | 0,46784 | 2,7 | 0,49653 | 4,75 | 0,5 |
| 0,36 | 0,14058 | 0,86 | 0,30511 | 1,36 | 0,41309 | 1,86 | 0,46856 | 2,72 | 0,49674 | 4,8 | 0,5 |
| 0,37 | 0,14431 | 0,87 | 0,30785 | 1,37 | 0,41466 | 1,87 | 0,46926 | 2,74 | 0,49693 | 4,85 | 0,5 |
| 0,38 | 0,14803 | 0,88 | 0,31057 | 1,38 | 0,41621 | 1,88 | 0,46995 | 2,76 | 0,49711 | 4,9 | 0,5 |
| 0,39 | 0,15173 | 0,89 | 0,31327 | 1,39 | 0,41774 | 1,89 | 0,47062 | 2,78 | 0,49728 | 4,95 | 0,5 |
| 0,4 | 0,15542 | 0,9 | 0,31594 | 1,4 | 0,41924 | 1,9 | 0,47128 | 2,8 | 0,49744 | 5 | 0,5 |
| 0,41 | 0,1591 | 0,91 | 0,31859 | 1,41 | 0,42073 | 1,91 | 0,47193 | 2,82 | 0,4976 | ||
| 0,42 | 0,16276 | 0,92 | 0,32121 | 1,42 | 0,4222 | 1,92 | 0,47257 | 2,84 | 0,49774 | ||
| 0,43 | 0,1664 | 0,93 | 0,32381 | 1,43 | 0,42364 | 1,93 | 0,4732 | 2,86 | 0,49788 | ||
| 0,44 | 0,17003 | 0,94 | 0,32639 | 1,44 | 0,42507 | 1,94 | 0,47381 | 2,88 | 0,49801 | ||
| 0,45 | 0,17364 | 0,95 | 0,32894 | 1,45 | 0,42647 | 1,95 | 0,47441 | 2,9 | 0,49813 | ||
| 0,46 | 0,17724 | 0,96 | 0,33147 | 1,46 | 0,42785 | 1,96 | 0,475 | 2,92 | 0,49825 | ||
| 0,47 | 0,18082 | 0,97 | 0,33398 | 1,47 | 0,42922 | 1,97 | 0,47558 | 2,94 | 0,49836 | ||
| 0,48 | 0,18439 | 0,98 | 0,33646 | 1,48 | 0,43056 | 1,98 | 0,47615 | 2,96 | 0,49846 | ||
| 0,49 | 0,18793 | 0,99 | 0,33891 | 1,49 | 0,43189 | 1,99 | 0,4767 | 2,98 | 0,49856 |
Рассмотрим примеры применения данной таблицы на конкретных примерах:
Таблица распределения Лапласа
Таблица распределения функции Лапласа $Φ$, также называемая интегралом вероятностей, представляет собой уже вычисленные интегральные значения и является особенно удобной для использования при вычислении вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в интервал, симметричный относительно её математического ожидания.
Из-за нечётности функции Ф, её табулировали только для положительных значений. Соответственно, чтобы узнать отрицательное, достаточно помнить, что $Φ(-x)=-Φ(x)$.
Сама формула для вычислений значений выглядит так:
Таблица распределения функции Лапласа
Рисунок 1. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 2. Табличные значения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример применения таблицы
После поломки швейного станка вероятность брака на швейном производстве $p=0,2$. Найти вероятность того, что среди 400 случайных изделий бракованными окажутся от 70 до 100 штук.