Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность

1 в степени бесконечность

$<\displaystyle 1^<\infty >>» width=»» height=»» /> — это один из примеров математической неопределённости.</p> <h3>Парадокс [ ]</h3> <p>Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: alt=»<\displaystyle 1^=1>» width=»» height=»» />. Следовательно, и alt=»<\displaystyle 1^<\infty >=1>» width=»» height=»» />. Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора философской фразой можно так, «ква! хрю!кря!», это и есть та самая определенность .</p> <p>и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то</p> <h3>Так почему же это является неопределённостью? [ ]</h3> <p>По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) <img decoding=$ Неопределенность Метод раскрытия неопределенности 1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений 2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя 3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в 0 0 или ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя 4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела 5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x )

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 .

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 — 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .

Решение

У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .

( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x — 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞

Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:

lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Вычислите предел lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 .

Решение

Выполняем подстановку значений.

lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 1 2 — 1 1 — 1 = 0 0

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 0 0 = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x — 1 = = 1 + 1 · 1 — 1 = 2 · 0 = 0

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 0

Вычислите предел lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x .

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = 3 — 3 12 — 3 — 6 + 3 = 0 9 — 9 = 0 0

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 — x + 6 + x :

lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x 2 — 6 + x 2 = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 12 — x — ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 6 — 2 x = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x — 2 ( x — 3 ) = = lim x → 3 12 — x + 6 + x — 2 = 12 — 3 + 6 + 3 — 2 = 9 + 9 — 2 = — 9 = — 3

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = — 3 .

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 .

Решение

lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 — 3 3 · 1 2 — 5 · 1 + 2 = 0 0

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х — 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

x 2 + 2 x — 3 = 0 D = 2 2 — 4 · 1 · ( — 3 ) = 16 ⇒ x 1 = — 2 — 16 2 = — 3 x 2 = — 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x — 3 = x + 3 x — 1

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

3 x 2 — 5 x + 2 = 0 D = — 5 2 — 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 — 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 — 5 x + 3 = 3 x — 2 3 x — 1

Мы получили предел следующего вида:

lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x — 1 3 · x — 2 3 · x — 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x — 2 3 = 1 + 3 3 · 1 — 2 3 = 4

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 4 .

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 — 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 — 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.

Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 .

Решение

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 — 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 — 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 — 0 3 + 0 = 1 3

Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Решение

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 — 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ — 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 — 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Число в степени бесконечность чему равно

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция

при а>1 возрастает, то для таких а

При 0

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

Таким образом, приходим к выводу, что

2) Вычислить предел функции:

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

Дубликаты не найдены

Какой-то странный матан. Если второй замечательный предел lim(x->inf)(1+1/x)^x=e, то каким образом lim(x->inf)(1)^x=inf ?

По сути 1+1/x>1 значит предел явно не может быть больше, чем e. Какая бесконечность, какая неопределенность, вы о чем?

Это — материал о парадоксах.

Это — материал собственного авторства.

$ 1^infty $ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс Править

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: $ 1^a=1 $ . Следовательно, и $ 1^infty=1 $ . Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора филосовской фразой можно так, "ква! хрю!кря!", это и есть та самая определенность .

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? Править

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) $ lim_<1^x>=lim_ > $ . Но поскольку $ x=infty $ (по условию), то одним из множителей второго предела является $ infty $ , что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, $ 1^infty $ является неопределённостью, и это доказано.