Не вычисляя выяснить какой из интегралов больше

10

ПП_21_Опр_инт_1

,

где непрерывная функция.

Геометрически определённый интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус.

Свойства определенного интеграла

1. .

2. , А, В — постоянные.

3. ,

для любых трех чисел , , .

1) интегрируема на ; 2) для любых ,

тогда .

1) , интегрируемы на ; 2) для любых , тогда: .

1) интегрируема на ;

2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции ,

тогда .

7. Если непрерывна на ,

то такая, что .

Число называется средним значением функции на отрезке .

8. Если непрерывна на , .

9. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна

10. Если функции и дифференцируемы в точке х  и непрерывна при , то

.

11. — формула Ньютона-Лейбница.

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно:

1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первообразную для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла);

2) вычислить .

1) непрерывна на ;

2) — непрерывно дифференцируема на

( — область значений при изменении );

3) , ,

тогда

— формула замены переменной под знаком определенного интеграла.

1) — четная ,

то

2) — нечетная функция ,

.

13. .

ПП 20. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вычислите , рассматривая его как предел интегральной суммы.

;

В качестве выберем — левые концы каждого отрезка ,

; и т.д.

=

Пусть , ,

С помощью определенного интеграла найдите предел суммы

Рассмотрим выражение под знаком предела как интегральную сумму для на отрезке : ;

.

В качестве возьмем левые концы каждого отрезка: ; и т.д.

.

Пусть , .

Оцените интеграл .

Для 0  х  1: 1  1 + х 4  2, ,

т.е. m = , М = 1, b  а = 1.

Следовательно,   1.

Определите знак интеграла , не вычисляя его.

Разобьём интеграл на два

= + =

= + =

= е  х d(x) + е х dx = e  x dx +е х dx = (e x  e  x ) dx,

на отрезке х0, 1, х 3  0, е х  е  х  0,

следовательно, (e x  e  x ) dx  0,

т.о. интеграл имеет положительный знак.

Найдите производную функции

.

Найдите производную функции

Ф(х) =

(х) = 0, (х) = 0, (х) = х 2 .

Ф(х) = (х 2 ) = 2х.

2х

Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов или больше.

Сравним подынтегральные функции на отрезке интегрирования. , .

Найдите среднее значение функции на отрезке .

.

Оцените интеграл

На отрезке : , , , , .

Вычислите .

.

Вычислите .

Вычислите .

= ==

= ln(ln e 2 )  ln(ln e) = ln 2  0,69.

Вычислите .

= =  = 1  .

1 

Вычислите .

Решение:

Вычислите .

u = x, dv = e — x dx, du = dx, v = — e — x >

= + = —е -1 =

Вычислите.

Решение:

.

Вычислите .

=

=.

Вычислите .

=

= =

= 2(х 2 + 2) =

= =

= =

= =  3.81

Вычислите

Решение:.

Вычислите .

= =

= =

= 2 arctg + ln 2  0,04.

Вычислите .

= =

.

Вычислите .

х(х + 4)(х  2) = х 3 +2х 2  8х;

= =

= 2  4.

=

=2х  4.

= + + .

Вычислим неопределенные коэффициенты А, В и С.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

=

=,

х 2 + 6х + 2 = А (х + 4)(х  2) + Вх (х  2) + Сх(х + 4).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

1 = А + В + С,

6 = 2А  2В + 4С,

откуда А = , В = , С = .

Интеграл 4=

==

==

= =

=10+ 6  ln(3∙7) =

=4 +  1,83.

Вычислите .

== + ++,

А(х + 2) 3 + В(х  2)(х + 2) 2 + С(х + 2)(х  2) + +D(х  2= х 3 + 6х 2 + 13х + 6,

А = 1, В = С = 0, D = 1  = +=

= =

ln1   ln2 + =  ln2  0,62.

Вычислите .

Интеграл от правильной дроби, разложим ее на простейшие

= + , откуда

2х 3 + 3х 2 + 3х + 2 = (Ах + В)(х 2 + 1) + (Сх + D)(х 2 + х + 1), или

= + + =

= + +

+ =

= + +  1,02.

Вычислите .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку t = ,

sin x = , dx = .

При х = t = 1, х = 0, t = 0.

I= = =

= 4.

,

t = (5 + 6t + 5)(At + B) + (1+ t 2 )(Ct +D),

,

.

I=  0,14.

Вычислите .

I = =

=.

Разложим дробь на простейшие:

= ,

(Аt + B)(t 2 + 1) + (Ct +D)(t 5 + 5) = 3t 2  1,

I= = =

==

=  0,25.

Вычислите .

= =

== ==

==

== .

Вычислите .

I==

==

= = .

Разложим дробь на простейшие:

.

I==

== .

Вычислите .

= = ==

= = = =  0,4.

Вычислите .

=

= = ==

= =

= = = =  0,78.

Вычисление определенных интегралов.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если $F(x) -$ одна из первообразных непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x),$ то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница: $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).$$

Примеры:

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.324. $\int\limits_<-1>^2x^3\,dx.$

Решение.

Ответ: $-3,75.$

Решение.

Ответ: $1.$

6.335. $\int\limits_<1>^2\frac<2x-1>.$

Решение.

Ответ: $\ln 3.$

6.347. $\int\limits_0^<\pi/2>\cos^3\alpha\,d\alpha.$

Решение.

Ответ: $\frac<2><3>.$

Свойства определенного интеграла:

1) Если $f(x)\geq 0$ на отрезке $[a, b],$ то $\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0.$

2) Если $f(x)\leq g(x)$ на $[a, b]$ то $\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq\int\limits_a^b g(x)\,dx.$

3) $|\int\limits_a^bf(x)\,dx|\leq\int\limits_a^b |f(x)|\,dx.$

4) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b], \,\, m -$ наименьшее, $M -$ наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)$$ (теорема об оценке определенного интеграла).

5) Если $f(x)$ непрерывна, а $g(x)$ интегрируема на $[a, b],\,\, g(x)\geq 0.$ $m$ и $M -$ наименьшее и наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m\int\limits_a^b g(x)\,dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq M\int\limits_a^bg(x)\,dx.$$ (обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)

6) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b],$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$$ (теорема о среднем значении)

Число $f(c)=\frac<1>\int\limits_a^bf(x)\,dx$ называется средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b].$

7) Если $f(x)$ непрерывна а интегрируема на $[a, b]$ и $g(x)\geq 0,$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int\limits_a^bg(x)dx$$ (обобщенная теорема о среднем).

8) Если $f^2(x)$ и $g^2(x)$ интегрируемы на $[a, b],$ то $$|\int\limits_a^bf(x)g(x)dx|=\sqrt<\int\limits_a^bf^2(x)dx\int\limits_a^bg^2(x)dx>$$ (неравенство Коши-Буняковского).

9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Если функция $f(x)$ четная, то $\int\limits_<-a>^af(x)dx=2\int\limits_0^af(x)dx.$ Если функция $f(x)$ нечетная, то $\int\limits_<-a>^af(x)dx=0.$

10) Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ то интеграл с переменным верхним пределом $$\Phi(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$$ является первообразной для функции $f(x),$ т.е. $$\Phi'(x)=(\int\limits_a^x f(t)dt)’=f(x),\quad x\in[a, b].$$

11) Если функции $\phi(x)$ и $\psi(x)$ дифференцируемы в точке $x\in(a, b)$ и $f(t)$ непрерывна при $\phi(a)\leq t\leq \psi(b),$ то $$\left(\int\limits_<\phi(x)>^ <\psi(x)>f(t)dt\right)_x’=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x).$$

Примеры.

6.364. а) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx.$

Решение.

Поскольку функция $\sqrt[3]x$ нечетная $(\sqrt[3]<-x>=-\sqrt[3]x),$ то, пользуясь 9-м свойством получаем $\int\limits_<-2>^2\sqrt[3]\,dx=0.$ Далее воспользуемся равенством $$\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx=\int\limits_<-2>^2\sqrt[3]\,dx-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx=-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx.$$

Ясно, что $\sqrt[3]x>0$ при $x\in[1, 2].$ Поэтому из первого свойства определенных интегралов следует, что $\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx>0.$ Следовательно, $$\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx=-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx<0.$$

Ответ : $\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx<0.$

6.365. б) Не вычисляя интегралов, выяснить какой из интегралов больше $\int\limits_1^2\frac$ или $\int\limits_1^2\frac.$

Решение.

Воспользуемся вторым свойством определенных интегралов. На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $\frac<1>\geq\frac<1>.$ Проверим это: $$\frac<1>\geq\frac<1>\Rightarrow x^3\geq x^2\Rightarrow x\geq1.$$ Следовательно, $$\int\limits_1^2\frac\geq\int\limits_1^2\frac.$$ Строгое неравенство легко получить, представив заданные интегралы как сумму $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac;$$ $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac.$$ На отрезке $[1, 3/2]$ выполняется неравенство $$\frac<1>\geq\frac<1>\Rightarrow\int\limits_1^<3/2>\frac\geq\int\limits_<3/2>^2\frac;$$ На отрезке $[3/2, 2]$ выполняется неравенство $$\frac<1>>\frac<1>\Rightarrow\int\limits_1^<3/2>\frac>\int\limits_<3/2>^2\frac.$$ Таким образом, $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac>\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac=\int\limits_1^2\frac.$$ Ответ : $\int\limits_1^2\frac>\int\limits_1^2\frac.$

6.366. в) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\cos x,\quad 0\leq x\leq\pi/2.$

Решение.

Воспользуемся 6-м свойством определенных интегралов. Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ называется ч исло $f(c)=\frac<1>\int\limits_a^bf(x)\,dx.$

Ответ: $\frac<2><\pi>.$

6.369. Оценить интеграл $\int\limits_0^<2\pi>\frac<\sqrt<5+2\sin x>>.$

Решение.

Оценим подынтегральную функцию:

$$-1\leq\sin x\leq 1\Rightarrow$$ $$3\leq 5+2\sin x\leq 7\Rightarrow$$ $$\sqrt 3\leq\sqrt<5+2\sin x>\leq 7\Rightarrow$$ $$\frac<1><\sqrt 7>\leq\frac<1><\sqrt<5+2\sin x>>\leq\frac<1><\sqrt 3>.$$

Отсюда и из второго свойства определенных интегралов следует, что

6.370. б) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt<(1+x)(1+x^3)>\,dx,$ пользуясь неравенством Коши-Буняковского.

Решение.

Вычислим каждый интеграл, стоящей под корнем в правой части равенства:

6.374. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_0^x\frac<\sin t>\,dt.$

Решение.

Пользуемся свойством 10:

Ответ: $\frac<\sin x>.$

6.376. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac

<\sqrt<1+t^3>>.$

Не вычисляя выяснить какой из интегралов больше

Да не совсем. Вот например , хотя подинтегральные функции разные. Можно перейти к одинаковой области интегрирования и проинтегрировать разность функций. Если интеграл получится не равным нулю, то интегралы различны.

— т.е. интегралы отличаются лишь на константу только если функции равны.

Да, бывает:

Научный форум dxdy

Можно ли показать отличность интегралов не вычисляя их?

Возможно ли показать, что значения двух интегралов различны, не вычисляя самих интегралов? (интегрирование в обоих случаях по одной и той же переменной)

Понятно — просто сравнить подынтегральные выражения. Да?

Да не совсем. Вот например , хотя подинтегральные функции разные. Можно перейти к одинаковой области интегрирования и проинтегрировать разность функций. Если интеграл получится не равным нулю, то интегралы различны.

Вообще, вопрос слишком общий. Соответственно ответа нет, либо ответ будет слишком общий, чтобы он Вас устроил. Можно использовать всякие разные приемы (оценки например).

Последний раз редактировалось longstreet 15.12.2011, 11:40, всего редактировалось 1 раз.

А если интегралы заведомо неопределенные (без пределов интегрирования), дело не легче?

С константами в подынтегральном выражении — понятно что всё равно не выявить. Но что-нибудь проще будет?

Последний раз редактировалось Sonic86 15.12.2011, 11:45, всего редактировалось 1 раз.

— т.е. интегралы отличаются лишь на константу только если функции равны.

Да, бывает: