Линейная алгебра N 12
12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.
12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Комплексным числом в алгебраической форме называется число
, (1)
где 
называется мнимой единицей и 
— действительные числа: 
называется действительной (вещественной) частью; 
— мнимой частью комплексного числа 
. Комплексные числа вида 
называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой 
.
По определению, 
,
и т.д.
Множество всех действительных чисел 
является частью множества 
: 
. С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству 
. Например, 
и 
, т.к. 
.
Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. 
,
т.к. 
.
Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни
, 
.
Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел
, 
, 
.
— соответственно вещественная и мнимая части числа 
,
.
.
.
Любое комплексное число 
изображается вектором на комплексной плоскости 
, представляющей плоскость с декартовой системой координат 
. Начало вектора лежит в точке 
, а конец — в точке с координатами 
(рис 1.) Ось 
называется вещественной осью, а ось 
— мнимой осью комплексной плоскости 
.
Комплексные числа 
сравниваются между собой только знаками 
. 
. Если же хотя бы одно из равенств: 
нарушено, то 
. Записи типа 
не имеют смысла.
По определению, комплексное число 
называется комплексно сопряженным числу 
. В этом случае пишут 
. Очевидно, что 
. Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.
Например, 
.
Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.
1. Сложение комплексных чисел 
производится так:
.
Свойства операции сложения:
— свойство коммутативности;
— свойство ассоциативности.
Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел 
означает сложение отвечающих им на плоскости 
векторов по правилу параллелограмма.
Операция вычитание числа 
из числа 
производится так:
.
2. Умножение комплексных чисел 
производится так:
.
Свойства операции умножения:
— свойство коммутативности;
— свойство ассоциативности;
— закон дистрибутивности.
3. Деление комплексных чисел 
выполнимо только при 
и производится так:
.
Пример 3. Найти 
, если 
.
1) 
.(ош!)
2) 
.(ош!)
3) 
.(ош!)
4) 
.
5) 
.
Пример 4. Вычислить 
, если 
.
.
z, т.к. 
.
.(ош!)
Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений: 
.
Модуль, аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа 
(модуль 
обозначается 
) это — неотрицательное число 
, т.е. 
.
Геометрический смысл 
— длина вектора, представляющего число 
на комплексной плоскости 
. Уравнение 
определяет множество всех чисел 
(векторов на 
), концы которых лежат на единичной окружности 
.
Аргумент комплексного числа 
(аргумент 
обозначается 
) это – угол 
в радианах между вещественной осью 
и числом 
на комплексной плоскости 
, причем 
положителен, если он отсчитывается от 
до 
против часовой стрелки, и 
отрицателен, если 
отсчитывается от оси 
до 
по часовой стрелке.
Таким образом, аргумент числа 
определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 
, где 
. Однозначно аргумент числа 
определяется в пределах одного обхода единичной окружности 
на плоскости 
. Обычно требуется найти 
в пределах интервала 
, такое значение называется главным значением аргумента числа 
и обозначается 
.
и 
числа 
можно найти из уравнения 
, при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости 
лежит конец вектора 
— точка 
:
если 
(1-я четверть плоскости 
), то 
;
если 
(2-я четверть плоскости 
), то
;
если 
(3-я четверть плоскости 
), то 
;
если 
(4-я четверть плоскости 
), то 
.
Фактически, модуль и аргумент числа 
, это полярные координаты 
точки 
— конца вектора 
на плоскости 
.
Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
.
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
5) 
.
6) 
.
7) 
.
8) 
.
Аргументы чисел 
, лежащих осях 
, разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости 
, находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости 
.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа 
имеет вид:
, (2)
где 
— модуль, 
— аргумент комплексного числа 
. Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств 
.
Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа 
имеет вид:
, (3)
где 
— модуль, 
— аргумент числа 
. Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:
. (4)
Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: 
из примера 5.
Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.
1) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
2) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
3) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
4) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
5) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
6) 
— тригонометрическая форма числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма числа 
.
7) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма числа 
.
8) 
— тригонометрическая форма записи числа 
,
— показательная (экспоненциальная) форма записи числа 
.
Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть 
— показательные формы чисел 
.
1. 
При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2. 
При делении комплексного числа 
на число 
получается комплексное число 
, модуль 
которого равен отношению модулей 
, а аргумент 
— разности 
аргументов чисел 
.
Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
.
При возведении в целую степень 
комплексного числа 
, следует действовать так: сначала найти модуль 
и аргумент 
этого числа; представить 
в показательной форме 
; найти 
, выполнив следующую последовательность действий
, где 
. (5)
Замечание. Аргумент 
числа 
может не принадлежать интервалу 
. В этом случае следует по полученному значению 
найти главное значение 
аргумента
числа 
, прибавляя (или вычитая) число 
с таким значением 
, чтобы 
принадлежало интервалу 
. После этого, нужно заменить в формулах (5) 
на 
.
Пример 7. Найти 
и 
, если 
.
1) 
= 
(см. число 
из примера 6).
2) 
, где 
. 
. 
.
Следовательно, 
можно заменить на 
и, значит,
, где 
.
3) 
, где 
. 
.
Заменим 
на 
. Следовательно,
.
Извлечение корня 
-й степени 
из комплексного числа 
проводится по формуле Муавра-Лапласа
комплексные-числа — Сравнение комплексных чисел
P.S. — Ваше мнение по этому вопросу основано на логике или на общепринятой математике?
задан 7 Май ’12 13:01
По-моему, как раз поэтому. Мне в голову уже давно напрашивается лёгкая и обоснованная система сравнения комплексных чисел. При сравнении комплексных чисел между собой нужно заменять их на такое выражение: $$\frac<\sqrt
Можно много чего вводить, например, сравнение комплексных чисел по модулю, вещественной, мнимой части и еще множеству других вещественных функций от них. Но никакая функция, переводящая комплексные числа в действительные не будет взаимно-однозначной (если она достаточно «хорошая»). Так как комплексная плоскость и прямая имеют разные размерности). Вы сравниваете значения «своей» функции, а не сами числа.
Всем спасибо за ответы. Особенно спасибо за дополнительную информацию. =)
3 ответа
Нет, не поэтому. Потому что комплексные числа это, по сути векторы, они задаются парой чисел. А что больше, (2; 3) или (4; 2)? Соответственно, что больше 2 + 3i или 4 + i?
Впрочем, комплексные числа нельзя сравнить «разумным» способом. Какое-нибудь сравнение можно придумать для любого множества (т.е. вполне упорядочить его). Но это построение не конструктивно, оно требует применения аксиомы выбора.
Еще проще ввести частичный порядок, например, считать , что $%a+ bi < x+yi$% только при (a < x, b < y).
Дополнение.Задумалась о таком аспекте. В теории отношений есть понятие «линейный порядок». Т.е. такой, что для каждых двух неравных элементов выполняется либо $%a < b$%, либо $%b < a$%. Смысл названия понятен: такие элементы можно «вытянуть в линию», как числа на прямой. У диаграммы Хассе такого порядка все уровни состоят из 1 элемента.
В то же время мы можем ввести на комплексной плоскости порядок, например, так: $%z \prec w \Leftrightarrow (x < u \vee (x = u, y < v)) $%. Здесь, конечно, $%z= x + iy, w = u + iv$%. Это действительно порядок (т.е. транзитивное асимметричное отношение), и он линеен. Однако при этом комплексная плоскость вовсе не вытягивается в линию. Вернее, такую линию можно себе представить, но она должа состоять из бесконечного числа прямых x = const, «приставленных» друг к другу.
Кстати, этот порядок согласован с порядком на вещественной прямой. Впрочем, как и другой, в котором сравнение идет сначала по мнимой части: $%z \prec w \Leftrightarrow (y < v \vee (y = v, x < u)) $%.
отвечен 7 Май ’12 13:20
Такую «линию» тоже можно рассматривать как спираль, проходящую через бесконечность.
Да, я тоже об этом подумала.
Вот, например, простой способ упорядочивания комплексных чисел: будем считать, что $%z_1>z_2$%, если $%|z_1|>|z_2|$%. Если же модули чисел равны, т.е. $%|z_1|=|z_2|$%, то будем считать большим то число, у которого больше аргумент. Но для любого математического построения важна конструктивность: где и как такое сравнение можно использовать?
Ответ на комментарий (для Никиты Башаева). Вашу последнюю реплику я не совсем понял, но про «пару действительных чисел» постараюсь пояснить. Действительное число эквивалентно точке прямой, а комплексное число — точке плоскости, т.е. упорядоченной паре действительных чисел (координат точки). Но координаты можно вводить разными способами. Конечно, самая распространенная система координат — декартова прямоугольная, в ней точка $%z$% задается как пара действительных чисел $%(a,b)$%, где $%a=Re(z),b=Im(z))$%- действительная и мнимая части комплексного числа $%z$%. Но можно использовать и полярную систему координат, в этом случае точка $%z$% ,будет задаваться как другая пара действительных чисел $%(\rho,\phi)$%, где $%\rho=|z|,\phi=arg(z))$% — модуль и аргумент. А можно это сделать с помощью эллиптических, параболических или косоугольных координат. И вообще, существует бесконечно много возможных представлений комплексного числа в виде упорядоченной пары двух действительных чисел. Любое множество таких пар равномощно множеству действительных чисел, поэтому всегда можно построить взаимно-однозначное соответствие между этими множествами и, таким образом, упорядочить множество комплексных чисел (т.к. множество действительных чисел является вполне упорядоченным), и это можно сделать бесконечным числом способов. Один способ из этого бесконечного множества способов я предложил. Но вопрос о смысле и полезности такого упорядочивания остается открытым.
Дополнение (для Никиты Башаева)
1) Да, действительные числа при «спиральном упорядочивании» будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль).
2) Число и точка — два базовых понятия математики, между ними всегда стараются установить взаимно-однозначное соответствие, чтобы свести эти 2 понятия к одному. Обычно такое соответствие устанавливается естественным образом.
3) Для $%R$% и $%C$% следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества.
Ответ на комментарий. И я о том же. При таком способе упорядочивания условие $% a_1+i \cdot 0 \lt a_2+i \cdot 0$% эквивалентно условию $% |a_1| \lt |a_2| $%
Как сравнивать комплексные числа
z = r ( c o s φ + i sin φ )
e i φ = c o s φ + i sin φ
z n = ( r ( c o s φ + i sin φ ) ) n = r n ( c o s n φ + i sin n φ )
a + b i + c + d i = a + c + b + d i
a + b i — c + d i = a — c + b — d i .
- переместительный закон: u + v = v + u;
- сочетательный закон: u + (v + w) = (u + v) + w;
- свойство нуля: u + 0 = u;
- сложение чисел с противоположными знаками: u + (-u) = 0;
- замена вычитания сложением: u – v = u +(- v).
( a + b i ) · ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c + b d i 2 ) + ( b c + a d ) i = ( a c — b d ) + ( b c + a d ) i .
- переместительный закон: u · v = v · u ;
- сочетательный закон: u · ( v · w ) = ( u · v ) · w ;
- свойство единицы: u · 1 = 1 ;
- свойство нуля: u · 0 = 0 ;
- распределительный закон по сложению: u · ( v + w ) = ( u · v ) + u · w .
( a + 0 i ) + ( b + 0 i ) · ( 0 + 1 i ) = ( a + 0 i ) + ( 0 + b i ) = a + b i
1 a + b i = a — b i ( a + b i ) ( a — b i ) = a — b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 — b a 2 + b 2 i .
a + b i c + d i = a + b i c — d i c + d i c — d i = a c + b d c 2 + d 2 + b c — a d c 2 + d 2 i .
| z | = ( — 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 2
arg z = a r c t g — 1 1 + π = — π 4 + π = 3 π 4
— 1 + i = 2 cos 3 π 4 + i sin 3 π 4
— 1 + i = 2 e i 3 π 4
| z | = ( — 1 ) 2 + ( 0 ) 2 = 1
arg z = a r c t g 0 — 1 = π
z 1 + z 2 = ( 5 + 4 i ) + ( 2 + 3 i ) = 7 + 7 i
z 1 = 5 + 2 i и z 2 = 4 + 8 i
z 1 + z 2 = ( 5 + 2 i ) — ( 4 + 8 i ) = 5 + 2 i — 4 — 8 i = 1 — 6 i
z 1 = 5 ( cos π + i sin 3 π )
z 2 = 3 ( cos 2 π + i sin 3 π )
z 1 · z 2 = 5 · 3 ( cos ( π + 2 π ) + i sin ( 3 π + 3 π ) ) = 15 ( cos 3 π + i sin 6 π )
arg z = a r c t g 3 1 = π 3
z = 2 cos π 3 + i sin π 3
( 1 + 3 i ) 9 = 2 9 cos 9 π 3 + i sin 9 π 3 = 2 9 cos 3 π + i sin 3 π = 2 9 ( — 1 ) = — 512
z 1 = 1 + 3 i и z 2 = 2 + i
1 + 3 i 2 + i = ( 1 + 3 i ) ( 2 — i ) ( 2 + i ) ( 2 — i ) = 2 — i + 6 i + 3 4 + 1 = 5 + i 5 = 1 + i
z 1 = 3 + 2 i и z 2 = 2 + 3 i
3 + 2 i 2 + 3 i = ( 3 + 2 i ) 2 — 3 i ) ( 2 + 3 i ) ( 2 — 3 i ) = 6 + 4 i — 9 i + 6 4 + 9 = 12 — 5 i 13 = 12 13 — 5 13 i
i = cos π 2 + i sin π 2
i 3 = cos π 2 + i sin π 2 3 = 1 3 cos π 2 + 2 π k 3 + i sin π 2 + 2 π k 3 , k = 0 , 1 , 2 .
cos π 6 + i sin π 6 = 3 2 + i 1 2
cos π 2 + 2 π 3 + i sin π 2 + 2 π 3 = cos 5 π 6 + i sin 5 π 6 = — 3 2 + i 1 2
cos 9 π 2 3 + i sin 9 π 2 3 = cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 = — i
Комплексные числа на ЕГЭ по математике
Все знают, что ЕГЭ по математике Профильного уровня в ближайшие годы будет меняться. Например, предлагается добавить в школьную программу по математике тему «Комплексные числа». Но что же это такое?
Начнем с хорошо известных вам фактов.
Вспомним, что возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Если положительное число возвести в квадрат — результат будет положительный.
Если отрицательное число возвести в квадрат — результат тоже положительный. «Минус на минус дает плюс», — это мы не раз слышали на уроках математики.
Например, уравнение имеет 2 решения: х = 2 и х = -2.
Число 2 называют арифметическим квадратным корнем из 4, то есть
А можно ли какое-нибудь число возвести в квадрат, чтобы результат получился отрицательный? И если нет, то почему?
Ведь отрицательные числа ничем не хуже положительных. Баланс мобильного телефона может быть положительным или отрицательным. Температура может быть равна +5 градусов Цельсия, а может быть и минус 5 градусов. На числовой оси положительные и отрицательные числа расположены симметрично. Почему же из положительных чисел квадратный корень извлекать можно, из нуля тоже можно (он равен нулю), а из отрицательных нельзя?
А что, если — сказали однажды математики, — существует такое число, квадрат которого равен минус единице?
И называется это число мнимой единицей, а обозначается буквой
Вот какая необычная формула получилась:
Получается, что уравнение имеет 2 решения: i и минус i.
А уравнение имеет решения — 2i и 2i.
Теперь нам не страшны квадратные уравнения, в которых дискриминант отрицателен.
Его дискриминант равен 1 — 4 = — 3.
Числа вида называются комплексными. При этом х называется действительной частью комплексного числа z, а у — его мнимой частью.
Записывается это так:
Сокращения понятны тем, кто изучает английский: Re — Real, Im — Imaginary.
Помните, мы говорили о том, какие бывают числа?
Натуральные числа применяются для счета предметов. Множество натуральных чисел обозначается N.
Целые числа — это положительные, отрицательные и ноль. Например, 4, 78, -121, 0 — целые числа. Множество целых чисел Z содержит в себе множество натуральных.
Рациональные числа — те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби вида р/q, где р — целое, q — натуральное. Например, — числа рациональные. Мы проходили их в начальной и средней школе. Если рациональное число записать в виде десятичной дроби, она будет периодической, например, Множество рациональных чисел обозначается Q и содержит в себе множество целых чисел.
В старших классах мы узнали об иррациональных числах — таких, как или Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби, а если выразить в виде десятичной — она будет бесконечной непериодической. И казалось, что мы знаем о числах всё. Все числа, какие только нам встречались, входили в множество действительных чисел R.
Когда мы пишем: — это значит, что число х действительное. Мы помним, что действительные числа можно изображать точками на числовой прямой, которую еще называют действительной осью.
А теперь оказывается, что R — это подмножество множества комплексных чисел С.
Действительные числа еще называют «вещественными». Они описывают наш вещественный мир. В самом деле, натуральные числа применяем для счета предметов. С дробями тоже понятно: половинка яблока или пиццы. С отрицательными числами все знакомы: достаточно зимой посмотреть на градусник за окном. И даже иррациональные числа можно «увидеть»: например, длина окружности радиуса 1 или диагональ квадрата со стороной 1 являются иррациональными числами.
Но где же в мире — мнимые и комплексные числа? Неужели они нужны для описания того, что мы не можем потрогать или посчитать по пальцам?
Да, так и есть. Комплексные числа — удобный инструмент для построения математических моделей волн и колебаний. Электро- и радиотехника, теоретическая и квантовая физика — все они пользуются комплексными числами. Мир элементарных частиц живет по законам, описываемым функциями комплексных переменных. Так что продолжим их изучение.
Комплексная плоскость
Где же находятся мнимые числа, если на числовой прямой для них места нет?
Очень просто. Мнимые числа — на мнимой оси. А комплексные числа вида — на комплексной плоскости.
Каждому комплексному число соответствует точка на комплексной плоскости.
Расстояние от нуля до этой точки называется модулем комплексного числа:
Угол между направлением на эту точку и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа:
Аргумент комплексного числа определен с точностью до
Аналогично в тригонометрии: каждая точка на единичной окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на где k — целое.
— главное значение аргумента
Иногда главное значение аргумента комплексного числа определяют на отрезке
Если не определен.
Комплексное число можно записать как в алгебраической форме так и в тригонометрической.
Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.
При переходе от алгебраической формы записи к тригонометрической считаем, что принимает значения
Обратите внимание, что в записи число х — действительное.
Задача 1. Запишите число
в тригонометрической форме.
Как видим, для освоения темы «Комплексные числа» надо отлично знать тригонометрию.
Действия над комплексными числами
Два комплексных числа равны друг другу, если равны соответственно их действительные и мнимые части.
Сравнивать комплексные числа нельзя. Операции «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными. Вот такие:
Возьмем два комплексных числа:
Определим для них операции сложения и вычитания.
Сложение:
Так же, как и для действительных чисел, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения). Также выполняется ассоциативность сложения, то есть
Еще одно важное свойство:
Это знакомое нам неравенство треугольника.
Вычитание:
— расстояние между точками и
Задача 2. Определите, какая фигура на комплексной плоскости является решением уравнения
Прочитаем это уравнение так же, как мы делали с обычными уравнениями с модулем. Расстояние от точки z до точки 2i равно 1. Это значит, что точки, соответствующие решениям данного уравнения, лежат на окружности с центром в точке радиусом 1.
Если сложение и вычитание комплексных чисел вопросов не вызывают, то для умножения правила не такие очевидные. Вот какой будет формула произведения комплексных чисел:
Например, подставив в эту формулу получим уже знакомое равенство:
Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных:
Но если умножение комплексных чисел настолько сложно — что же делать с возведением в степень? Оказывается, что и умножение, и возведение комплексных чисел в степень удобнее выполнять, записывая числа в тригонометрической форме.
Возведение в степень:
Последнее равенство называется формула Муавра.
Деление комплексных чисел определяем как действие, обратное умножению.
Сложные формулы, не правда ли? Попробуем применить.
Намного удобнее выполнять деление комплексных чисел, записав их в тригонометрической форме:
Извлечение корней из комплексных чисел — еще интереснее. Во-первых, для извлечения корня n-ной степени из комплексного числа лучше всего записать его в тригонометрической форме.
Во-вторых, для любого выражение принимает ровно различных значений.
Пусть — корень -ной степени из комплексного числа ;
Тогда Записав число z в тригонометрической форме, получим:
Обратите внимание — для корня n-ной степени получим различных значений корня.
Задача ЕГЭ-2022, Комплексные числа
Решим задачу из варианта ЕГЭ — 2022 по теме «Комплексные числа».
Про комплексное число известно, что
Найдите наименьшее значение
1 способ.
Расстояния от точки, соответствующей числу z, до точек и должны быть равны. Отметим точки и на комплексной плоскости. Равноудаленными от точек и будут все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему и По условию задачи, из этих точек надо выбрать такую, для которой принимает наименьшее значение, то есть наименее удаленную от начала координат. Другими словами — найдем расстояние от начала координат до данной прямой.
Это показано на рисунке. Точка Н соответствует комплексному числу z, лежащему на прямой, все точки которой равноудалены от и при этом расстояние от 0 до z — наименьшее. Найдем это расстояние (равное ОН) из прямоугольного треугольника АОВ. Его катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Записав площадь треугольника АОВ двумя способами, получим:
2 способ.
Вернемся к выражению
Запишем его в виде:
Мы получили, что модули двух комплексных чисел равны. Модуль комплексного числа равен Возведя это выражение в квадрат, получим, что Значит, если равны модули двух комплексных чисел и то
Выразим отсюда х;
и найдем наименьшее значение выражения
Мы получили функцию . Обычную функцию от действительной переменной. Найдем наименьшее значение функции Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх, и наименьшее значение достигается в вершине параболы.
Еще несколько задач по теме «Комплексные числа»:
Представьте в тригонометрической форме числа:
Считая х и у действительными числами, решите уравнение:
Пользуясь определением равенства комплексных чисел, получим:
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, и вычтем из второго уравнения первое.
Получим, что тогда
Известно, что число является корнем уравнения
Найти а и решить уравнение при этом значении а.
По условию, — корень уравнения Подставив получим
Уравнение примет вид:
Так как — корень уравнения, разделим левую часть на х + 9. Получим:
Найдем корни квадратного уравнения
Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Хорошо, что в ЕГЭ по математике появились комплексные числа. Чтобы их освоить, надо отлично знать алгебру, геометрию и тригонометрию, потому что эта тема связана со многими областями математики.
Помните, например, тему «Элементарные функции и их графики»? Там мы говорили о 5 типах элементарных функций: степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических. И казалось, что у показательных и тригонометрических функций общего мало.
А теперь посмотрите, как выглядит экспоненциальная форма записи комплексного числа:
Формула носит имя Леонарда Эйлера — одного из величайших математиков в истории.
Здесь — периодическая функция, период
С помощью формулы Эйлера знакомые нам косинус и синус можно выразить через комплексные экспоненты:
Если мы получим самую красивую и удивительную формулу математики:
Она связывает две мировые константы, то есть числа и знакомую нам обычную единицу и ту самую мнимую единицу i, с которой мы начали это первое знакомство с комплексными числами.
Задачи взяты из книги Д. Письменного «Конспект лекций по высшей математике» и Проекта ЕГЭ-2022 по математике Профильного уровня.
На ЕГЭ-2022 по математике комплексных чисел не будет. Но рано или поздно эта тема будет добавлена в школьную программу.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Комплексные числа на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.