Умножение отрицательных чисел: правило, примеры
В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.
Умножение отрицательных чисел
Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , — b данное равенство считается верным.
Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: ( — а ) · ( — b ) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · ( — b ) = — a · b справедливое, как и ( — а ) · b = — a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:
( — a ) · ( — b ) = ( — a · ( — b ) ) = — ( — ( a · b ) ) = a · b .
Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.
Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.
Примеры умножения отрицательных чисел
Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.
Произвести умножение чисел — 3 и — 5 .
Решение.
По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15
Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:
( — 3 ) · ( — 5 ) = 3 · 5 = 15
Ответ: ( — 3 ) · ( — 5 ) = 15 .
При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.
Вычислить произведение ( — 0 , 125 ) · ( — 6 ) .
Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:
Получили, что выражение примет вид ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .
Ответ: ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 75 .
В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.
Необходимо произвести умножение отрицательного — 2 на неотрицательное log 5 1 3 .
Находим модули заданных чисел:
— 2 = 2 и log 5 1 3 = — log 5 3 = log 5 3 .
Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.
Ответ: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.
Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак « + » (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак « − ».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
Запомните! 
Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.
В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.
В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
Конечный результат умножения исходных чисел будет:
Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
- 0 · a = 0
- a · 0 = 0
- a · 1 = a
- 0 · (−3) = 0
- 0,4 · 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица « −1 ».
Запомните!
При умножении на « −1 » число меняется на противоположное.
В буквенном выражении это свойство можно записать:
При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
Для умножения двух отрицательных чисел нужно выполнить умножение их модулей.
Согласно правилу можно записать:
$(−a) \cdot (−b)=a \cdot b$,
где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.
Из правила умножения следует, что результатом произведения двух отрицательных чисел является положительное число.
Правило умножения справедливо для целых, рациональных и действительных чисел.
Выполнить умножение двух отрицательных чисел $−8$ и $−11$.
Найдем модули данных чисел:
Произведение модулей равно $8 \cdot 11=88$.
Краткая запись решения:
$(−8) \cdot (−11)= 8 \cdot 11=88$.
Для умножения отрицательных рациональных чисел необходимо числа преобразовать к виду смешанных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.
Умножение чисел с противоположными знаками
Правило умножения чисел с разными знаками:
Для умножения чисел с противоположными знаками необходимо выполнить умножение чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.
Согласно данному правилу можно записать:
где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.
Данное правило умножения чисел с противоположными знаками применяется для целых, рациональных и действительных чисел.
Согласно рассмотренному правилу умножение чисел с противоположными знаками сводится к выполнению умножения положительных чисел.
Выполнить умножение положительного числа $7$ и отрицательного числа $–12$.
Согласно правилу умножения чисел с противоположными знаками сначала выполним умножение модулей данных чисел:
Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $−84$.
Краткая запись решения:
$7 \cdot (–12)=−(7 \cdot 12)=−84$.
Для умножения дробных чисел с противоположными знаками необходимо преобразовать данные числа к удобному виду: обыкновенных или десятичных дробей.
Деление отрицательных чисел
Правило деления отрицательных чисел:
Для деления одного отрицательного числа на другое необходимо выполнить деление модулей данных чисел.
Согласно данному правилу можно записать:
где $a$ и $b$ – отрицательные числа.
Правило выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Согласно правилу деление отрицательных чисел сводится к делению положительных чисел. Таким образом, в результате деления отрицательных чисел получается положительное число.
Правило деления отрицательных чисел для рациональных и действительных чисел можно сформулировать следующим образом:
Для деления числа $a$ на число $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b^<−1>$, которое является обратным числу $b$:
Данное правило применимо для выполнения деления чисел с противоположными знаками.
Разделить отрицательные числа $−24$ и $−6$.
Согласно правилу деления отрицательных чисел найдем модули данных чисел и выполним их деление. Получим:
Краткая запись решения:
Для выполнения деления дробных рациональных чисел для удобства нужно преобразовать их к виду обыкновенных дробей, но можно делить и десятичные дроби.
Деление чисел с противоположными знаками
Правило деления чисел с противоположными знаками:
Для деления положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное необходимо выполнить деление модулей данных чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.
Согласно данному правилу можно записать:
Из данного правила следует, что в результате деления чисел с противоположными знаками получается отрицательное число.
Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками деление чисел сводится к делению положительных чисел.
Правило деления рациональных и действительных чисел с противоположными знаками можно сформулировать следующим образом:
Для деления чисел $a$ и $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b^<−1>$, которое обратно числу $b$:
Данное правило применимо для деления отрицательных чисел.
Разделить положительное число $28$ на отрицательное число $–7$.
Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками найдем модули данных чисел и выполним их деление:
Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $–4$.
Краткая запись решения:
Для деления дробных рациональных чисел с противоположными знаками числа удобнее представлять в виде обыкновенных дробей.
Правила знаков
Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Деление.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Умножение.
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Вычитание и сложение.
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.