Как понизить степень уравнения

Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком

Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.

После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.

Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.

Решим уравнение

Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.

Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.

является корнями многочлена , и он делится на двучлены и без остатка.

Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:

Как снизить степень в уравнении

Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком

Деление многочлена на многочлен столбиком

Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.

После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.

Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.

Решим уравнение

Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.

Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.

является корнями многочлена , и он делится на двучлены и без остатка.

Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:

Решение уравнений высших степеней

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :

— 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

x i	коэффициенты многочлена
1	1	2	— 1	— 3
1	1	1 + 1 · 1 = 2	2 + 2 · 1 = 4	— 1 + 4 · 1 = 3	— 3 + 3 · 1 = 0

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

x i	коэффициенты многочлена
1	2	4	3
1	1	2 + 1 · ( — 1 ) = 1	4 + 1 · ( — 1 ) = 3	3 + 3 · ( — 1 ) = 0

Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

x i	коэффициенты многочлена
1	— 1	— 5	0	12
2	1	— 1 + 1 · 2 = 1	— 5 + 1 · 2 = — 3	0 — 3 · 2 = 3	12 — 6 · 2 = 0

В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .

Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :

x i	коэффициенты многочлена
1	1	— 3	— 6
2	1	1 + 1 · 2 = 3	— 3 + 3 · 2 = 3	— 6 + 3 · 2 = 0

В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 0

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x :

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀x n + a₁x n-1 + . + a_x-1x+ a_n = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена a_n, а q – делителем старшего коэффициента a₀. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.

Формула понижения степени — методы и примеры преобразования функций

Связь между этими величинами устанавливается на основе различных формул. Существуют таблицы, в которых приводятся правила сложения, вычитания, произведения, нахождения половинного и тройного угла. Наряду с ними всегда указываются и формулы понижения степени тригонометрических функций.

Эти теоремы и правила нужно запомнить. Тогда решение задач любой сложности, связанных с тригонометрией, не доставит проблем.

Преобразование степеней тесно связано с понятием кратности угла. Дело в том, что при понижении степени функции величина угла увеличивается. Если угол был просто альфа, то после преобразования он увеличится в несколько раз. Обычно это не влияет на сложность. При необходимости выражение можно будет разложить или выполнить дальнейшее сокращение.

Определение и доказательство формул понижения даётся на уроках математики в восьмом классе общей школы. Но приступают к их изучению лишь после освоения тригонометрических тождеств и формул приведения. При этом важно знать и про универсальную подстановку. Она позволяет выразить любую функцию рационально без корней, через тангенс.

Так, выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тангенс половинного угла будет выглядеть следующим образом:

• sin u = (2 * tg u / 2) / (1 + tg 2 u / 2);
• cos u = (1 — tg u / 2) / (1 + tg 2 u / 2);
• tg u = (2 * tg u / 2) / (1 — tg 2 u / 2);
• tg u = (1 — tg2 u / 2) / (2 + tg u / 2).

Следует заметить, что все формулы в тригонометрии справедливы в обе стороны. Это важно, так как в ряде задач, наоборот, нужно будет повышать степень функции.

Формулы понижения

При выполнении преобразования нужно понимать, что выражения, например, sinx или cosx, являются неделимым целым. Воспринимать их нужно как какое-то число.

Например, sin 2 x — cos 2 x тождественно выражению i 2 — c 2 . Значит, можно применить формулу разности квадратов: sin 2 x — cos 2 x = (sinx — cosx) * (sinx — cosx).Этот принцип используется при получении многих тригонометрических формул вместе с методом разложения на множители, который изучают в курсе алгебры за седьмой класс.

Кроме этого, зная формулы синуса и косинуса, суммы аргументов, можно перейти к записи функции двойного угла. Так, cos (u + c) = cosu * cosc — sinu * sinc. Если u = c, то выражение примет вид cos 2u = cos 2 u— cos 2 c. Соответственно можно найти синус суммы двух аргументов, равный удвоенному произведению синуса на косинус. Эти формулы часто приходится применять при операциях по понижению степени.

При упрощении уравнений методом понижения степени необходимо использовать следующие формулы:

1. Понижение квадрата: sin 2 i = ½ * (1 — cos2i); cos 2 i = ½ * (1 * cos2i); sin 2 i = (1-cos2i) * (1 + cos2i); cos 2 i = (1+ cos2i) * (1 — cos2i).
2. Уменьшение куба: sin 3 i = (3sini — sin3i) / 4; cos3i = (3 cosi + cos3i) / 4; sin 3 ii = (3sini — sin3i) / (3cosi + cos3i); sin 3 i = (3sini + sin3i) / (3 cos i — cos3i).
3. Преобразование четвёртой степени: sin 4 i = (3 — 4 cos2i + cos4i) / 8; sin 4 i = 3 + 4cos2i + cos4i / 8.

Это основные формулы, широко использующиеся на практике. При этом в дополнение к ним применяют выражения для половинного угла. Они позволяют перейти от второй степени к первой. Тождества выглядят следующим образом:

• sin2u / 2 = (1 — cos u) / 2;
• cos2u / 2 = (1+cos u) / 2;
• tg2u / 2 = (1 — cos u) / (1+cos u);
• ctg2u / 2 = (1+cos u) / (1−cos u).

Тут следует отметить, что произведение синуса на косинус со степенью в аргументе также позволяет понизить показатель до единицы. Например, для квадратной степени будет справедливой запись sin 2 u* cos 2u = (1 − cos4u) / 8, а для кубической — (3 sin 2 u − sin 6 u) / 32. Также существует запись для биквадратной степени и даже пятой: (3 − 4 cos4u + cos8 u) / 128; (10 sin 2u − 5sin 6u + sin 10u) / 512.

Вывод формул

В общем виде расписать формулы для уменьшения степени можно как для чётных, так и нечётных показателей. Так, для первых синус в степени λ будет определяться суммой двух многочленов sin λ f = (C λ / 2 λ ) + 1 / 2 λ -1 * Σ (λ /2) — 1 (-1) * ( λ /2) — k * C λ * cos ((λ — 2 k) * f, а косинус — sin λ f = (C λ / 2 λ ) + 1 / 2 λ -1 * Σ (λ /2) — 1 * C λ * cos ((λ — 2 k) * f.

Для вторых показателей формула будет содержать только произведение членов sin λ f = 1 / 2 λ -1 * Σ (λ /2) — 1 (-1)( λ /2) — k * C λ * sin ((λ — 2k) * f, для косинуса — 1 / 2 λ -1 * Σ (λ /2) — 1 * C λ * cos ((λ — 2k) * f. При этом нижний предел в сумме — нулевой.

Для доказательства формулы квадрата используют тождественность двойного угла. Синус двойного угла равняется 1 − 2 sin 2, i косинус — 2 cos 2 i − 1. Выразив из первой формулы синус, а и из второй — косинус, можно получить выражения 1 — cos2i и 1 + cos2 i. После деления левой и правой части на два получится искомый результат.

Для кубического синуса или косинуса формулы выводятся двумя методами. Первый способ заключается в применении тригонометрической функции тройного угла. Для синуса доказательство будет выглядеть следующим образом: sin3i = 3 * sini — 4 sin 3 i. Убрав в левую часть sin 3 i, в правой получится доказываемое выражение: (3 * sini — sin3i) / 4. Аналогичные действия нужно выполнить для косинуса: cos3i = 4 * cos 3 i — 3cosi. Отсюда следует, что cos 3 i = (3 *cosi — sin3i) / 4. Это и следовало доказать.

Второй способ более наглядный. В нём используются формулы произведения тригонометрических функций.

Для доказательства необходимо расписать кубический синус в следующем виде: sini * sin 2 i = sin i * (1 — cos2i) / 2 = (sini — sini * cos2i) / 2. Теперь нужно применить формулу произведения: sini * sinc = (sin (i — c) + sin (i + c)) / 2. Отсюда следует, что sin 3 i = ½ * (sini — (sin (-i)/2) — (sin3i/2) = ½ * ((3 * sini / 2) — (sin3i / 2) = ¼ * (3sini — sin3i). Аналогичным образом доказывается формула для косинусов. Только используют их произведение, а не синусов.

Дальнейшие степени доказываются применением формул понижения квадрата или куба столько раз, сколько потребуется. Для этого функция преобразуется до нужного вида. Например, sin 4 i можно представить как (sin 2 i) 2 , а косинус как cos 4 i = (cos 2 i) 2 . После выполнения последовательного упрощения в итоге получится доказываемая формула.

Формулы понижения тангенса и котангенса получаются автоматически из функций синуса и косинуса.

Решение простых примеров

Все тригонометрические формулы запомнить тяжело. Чтобы они остались в памяти, необходимо решать практические задания. Начинать нужно с простых примеров. При их вычислении главная задача состоит в понятии алгоритма расчёта и запоминания формул на интуитивном уровне.

Типовые задачи:

1. Пусть дано равенство вида cos 2 (λ / 3) — sin 2 (λ / 3) = 1 / 2. Используя формулу двойного угла, исходное уравнение просто преобразить до состояния cos (2 * λ) / 3 = 1 / 2. Отсюда следует, что 2 * λ / 3 = ± p/3 + 2p * n. Выразив λ, получится ответ: ± p/2 + 6 * p * n.
2. Дано равенство sin 2 λ — cos 2 λ = 1 / 2. Для решения задачи необходимо левую и правую часть умножить на минус один, чтобы одну из частей можно было преобразовать в косинус двойного угла. Затем следует решить уравнение относительно аргумента 2λ. В итоге равенство примет вид cos2λ = — ½, откуда 2λ = ± 2p/3 + 2pn. Из последнего равенства несложно найти ответ и самостоятельно.
3. Определить неизвестное в уравнении cos 2 (3 * λ + p/4) — sin 2 (3 * λ + p/4) + √ 3 / 2 = 0 при λ, принадлежащему области <3 p /4; p >. Косинус квадрат минус синус квадрат — это косинус двойного угла. Поэтому этот аргумент нужно умножить на два, а свободный член перенести в правую часть: cos (2 (3 * λ + p/4)) = — √ 3 / 2. Затем в левой части нужно раскрыть скобки и избавиться от отрицательного знака. После нужно применить к полученному результату формулу приведения. В итоге равенство примет вид sin6λ = √ 3 / 2. Отсюда 6λ = (-1) n p/3 + pn. Выражая λ, обе части нужно разделить на шесть: λ = (-1) n p / 18 + pn / 6. Чтобы найти корни на заданном промежутке, необходимо перебрать n из класса целых чисел. При n = 0, λ = p /18; n = 1, λ = p / 9; n =3, λ = 4p / 9; n = 4, λ = 13p / 18; n = 5, λ = 7p / 9. В пятом случае и возникает первый корень при n = 6, λ = 19 p / 18, что противоречит условию. Значит, корень будет один: λ = 7p / 9.
4. Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенство 4 * sin 2 λ + sin 2 2λ — 3 = 0, при λ меньше четырёх по модулю. Первый член нужно преобразовать, используя уменьшение степени. Второй следует представить в виде тригонометрического тождества, а третий — перенести в правую часть. Получится квадратное уравнение cos 2 2λ + 2 * cos2λ = 0. При его решении получится, что cos 2 λ = 0, а λ = p / 4 + pn / 2. Теперь эти точки нужно нанести на график и из него определить нужный интервал.

Сложные задания

Такие задания рассчитаны на уже подготовленных учащихся, знающих и умеющих применять формулы понижения степени косинуса, синуса, тангенса и котангенса. Сложность таких примеров — в нахождении правильного пути решения. Для вычисления ответа можно использовать онлайн-калькулятор. Но лучше, конечно, решать примеры самостоятельно, а с помощью этого инструмента проверять ответ.

Вот пример одной из задач. Нужно вычислить интеграл, в подынтегральном значении которого стоит выражение cos 4 (2 x) d x. Для начала нужно выполнить подстановку u = 2 x ⟶ d u d x = 2. Это позволит упростить восприятие уравнения. Теперь нужно вычислить выражение ∫ cos 4 (u) d u. В нём следует понизить значение подынтегральной функции ∫cos n (u) d u = n − 1 n ∫ cos n − 2 (u) d u + cos n − 1 (u) sin (u) / n.

При n = 4 интеграл будет равняться cos 3 (u) * 1sin (u) / 4 + 3 / 4 ∫ cos 2 (u) d u. Используя последнюю формулу, нужно выполнить уменьшение степени ещё раз при n =2. Получим cos (u)sin (u) / 2 + 12 ∫ 1d u. Теперь вычислим ∫ 1d u. Интеграл от константы будет равняться u.

Подставив уже вычисленные интегралы, можно получить следующие цифры: ½ ∫ cos4 (u)du = cos 3 (u) * sin (u) / 8 + 3cos (u) * sin (u) / 16 + 3 u / 16. После обратной замены u =2 x можно вычислить ответ: ∫ cos 4 (2x) d x = (sin (8x) + 8sin (4x) + 24 x / 64) плюс C. Задача решена.

Хотя в некоторых случаях уравнения могут быть настолько сложными, что для их вычислений понадобится затратить много времени. Поэтому в этом случае всё же есть резон воспользоваться услугами математических сервисов. Тем более, что предоставляют свои услуги они бесплатно. Из наиболее популярных можно выделить:

• SolverCook;
• OnlineMSchool;
• Kontrolniyi-raboti.

Эти сайты отличаются интуитивно понятным интерфейсом и, кроме быстрого расчёта, предоставляют подробное описание процесса вычисления.

Это, в свою очередь, помогает научиться решать примеры самостоятельно. При этом на своих страницах они содержат краткий перечень свойств и формул тригонометрических функций. Так что вопросов о том, как получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.

Понижение степени подынтегральной функции

Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические формулы , и , причем последняя формула чаще используется в обратном направлении: .

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу (понизив степень подынтегральной функции). Обратите внимание, что я сократил решение. По мере накопления опыта интеграл от можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем – от .

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

Таки обещанное повышение степени:

Найти неопределенный интеграл.

Сначала решение, потом комментарии:

(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .

(2) Собственно применяем формулу.

(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но, на мой взгляд, так удобнее.

(4) Используем формулу

(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .

(6) Приводим подобные слагаемые (здесь я почленно разделил и выполнил сложение ).

(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.

(8) Причесываем ответ.

! В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами

В только что рассмотренном примере окончательный ответ можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже это сделать еще до интегрирования выражения, то есть вполне допустима следующая концовка примера:

Вполне возможно, что такой вариант даже удобнее, просто я объяснил так, как сам привык решать). Вот еще один характерный пример для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл.

Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два совершенно разных ответа (точнее говоря, они будут выглядеть совершенно по-разному, а с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.

Подытоживая параграф, сделаем вывод: любой интеграл вида , где и – чётные числа, решается методом понижения степени подынтегральной функции. На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их ужасный геморприходилось, понижая степень несколько раз, в результате чего получались длинные-длинные ответы.

Метод замены переменной

Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная : (функции , не обязательно находятся в произведении)

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за – синус или косинус?! Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Прерываем решение и проводим замену

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от , теперь осталось выяснить, во что превратится . Для этого находим дифференциал :

Или, если короче: Из полученного равенства по правилу пропорции выражаем нужное нам выражение:

Итак: Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от и можно продолжать решение

Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл.

Найти неопределенный интеграл.

Полные решения и ответы в конце урока.

Найти неопределенный интеграл.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что же обозначать за , синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за другую функцию, но есть:

Общий ориентир: за нужно обозначить ту функция, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе.

Поэтому проведем замену:

Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Найти неопределенный интеграл.

Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за ? Вспоминаем наши ориентиры: 1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе; 2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена . В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

мы резервируем под наш «будущий» дифференциал

А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

Вот теперь замена:

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за – обозначить другую функцию. Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы.

В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за обозначили синус.

Найти неопределенный интеграл.

Степени идут на взлёт =). Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.