Абсцисса и ордината как запомнить

Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии

Как же запомнить множество определений, формул тригонометрии? На помощь приходят мнемонические приёмы. Некоторые мнемотехнические правила придумала сама, какие-то правила предложили ребята, что-то взяла из работ своих коллег.

Просмотр содержимого документа
«Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии»

Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии

Для многих ребят в школе тригонометрия – один из самых трудных, непонятных разделов математики. Уже с первых уроков идёт отторжение и нежелание изучать её, вникать в глубины, запоминать правила, значения функций. А как запомнить множество формул? На помощь пришла мнемотехника. Стала сама придумывать мнемотехнические правила, какие-то правила предложили ребята, что-то взяла из работ своих коллег.

Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника

Для запоминания определений синуса и косинуса предлагаю закон «равновесия». Согласно этому закону к короткому слову (синус) надо соотнести длинное слово (противолежащий), к длинному слову (косинус) – короткое слово (прилежащий).

К осинус прилежащий

Через некоторое время пришло озарение по запоминанию правила про тангенс. Именно предлог «про» помог. И сейчас, когда я прошу напомнить определение про тангенс, специально делаю упор на предлог про и ребята хором отвечают – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Назвали мы данный способ – правило «про».

Определение синуса и косинуса угла

Для облегчения запоминания, что косинус угла – это абсцисса точки, а синус угла – это ордината точки единичной окружности используем закон соответствия. Предлагаю ребятам посмотреть на начальные буквы функций (косинус, синус), начальные буквы координат (абсцисса, ордината) и записать их в алфавитном порядке: в первом столбце – функции, во втором – координаты.

К осинус абсцисса (cos α x)

Синус ордината (sin α y)

Значения функций

Значения синуса и косинуса для углов 0, 30, 45, 60, 90 легко вычислить с помощью левой руки. Для этого:

Пронумеруем пальцы от большого до мизинца, счет начинаем с нуля (рис. 1).

Затем из каждого числа извлечем корень и разделим на 2. Где возможно подсчитаем значения (рис. 2).

ля функции синус отсчет углов идет от большого пальца к мизинцу, для косинуса – от мизинца к большому, то есть:

Для sin Для cos

большой № 0 – соответствует 0, большой № 0 – соответствует 90,

указательный № 1 – соответствует 30, указательный № 1 – соответствует 60,

средний № 2 – соответствует 45, средний № 2 – соответствует 45,

безымянный № 3 – соответствует 60, безымянный № 3 – соответствует 30,

мизинец № 4 – соответствует 90. мизинец № 4 – соответствует 0.

Ребята, которые используют этот метод, отсчитывают угол в нужном направлении, смотрят на номер пальца и говорят значение функции.

Знаки функций

Учащиеся прекрасно запоминают, что у тангенса и котангенса знаки располагаются крест-накрест, но забывают, у какой функции (синуса или косинуса), знаки расположены горизонтально, а у какой – вертикально. В этом случае поможет следующее правило: произносить слова «синус» и «косинус» нужно нараспев, выделяя ударную гласную и фиксируя при этом, в каком направлении вытягивается рот. При произнесении слова «синус» ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении «», значит, у синуса знаки расположены горизонтально. Аналогично, при произнесении слова «косинус», ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у косинуса знаки расположены вертикально.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Приём сладкоежек: последние три функции: синус, тангенс и котангенс – это друзья, они конфетки (знак «минус») не едят и как капризные детки их выплевывают, а вот Косинус, – сладкоежка и конфету съедает.

Формулы приведения (Лошадиное правило)

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), смотрел на свою умную лошадь. Она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/2 ± α (3π/2 ± α) или π ± α (2π ± α). Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ (вертикального диаметра окружности), то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ (горизонтального диаметра окружности), то «нет, не менять».

Затем оставалось, только определить знак функции – это зависело от того в какой четверти располагалась это точка и знака тригонометрической функции в той или иной четверти.

Основное тригонометрическое тождество

Тождество можно ребятам преподнести в виде стишка.

Синус квадрат очень рад

К нему едет брат – косинус квадрат.

Когда встретятся они, окружность удивится:

Выйдет целая семья, то есть единица.

Тригонометрические формулы

Много трудностей обычно вызывает запоминание тригонометрических формул, и далеко не все ученики могут тут же вывести забытую формулу. Поэтому можно рекомендовать запомнить, что sinx – функция «хорошая», а cosx – «плохая». Это означает, что для синуса в соответствующих формулах знак сохраняется, а для косинуса – меняется. Кроме того, функция синус – объединяющая функция, а косинус – разделяющая функция.

Формулы сложения

Для запоминания формул сложения для синуса и косинуса мы применяем правило сенокоса (sin – сено, cos – коси) :

Правило для синуса – сено коси, коси сено:

sin(x + y)=sinxcosy + cosxsiny

sin(x – y)=sinxcosy – cosxsiny

При записи формул надо вспомнить, что sinx – функция «хорошая» (знак сохраняется, то есть справа такой же знак, как и слева), также функция синус – объединяющая функция (справа стоят смешанные произведения синуса и косинуса).

Правило для косинуса – коси коси, сено сено:

cos(x + y)= cosxcosy – sinxsiny

cos(x – y)= cosxcosy + sinxsiny

При записи формул надо вспомнить, что cosx – функция «плохая» (знак справа меняется на противоположный), также функция косинус – разделяющая функция (справа произведения одноименных функций).

Формулы понижения степени

Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент – «степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – дает синус, а единица плюс – дает косинус».

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

Вспоминаем, что друзья – это Синус, Тангенс и Котангенс. У них во всех формулах стоит πn. А у единственной сладкоежки, у косинуса стоит 2πn. Ключевое слово – два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там – два. Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет 2πn.. А ещё наоборот бывает. Пропустит ученик знак ±, доберётся до конца, напишет правильно 2πn, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся ученик к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.

Как запомнить математические термины?

Дети жалуются, что путают термины и формулы? А это чревато тем, что за каждым термином стоит четкое содержание. Что же делать?
Используем лайфхаки от переводчиков и тренеров мнемотехник: подключайте ассоциации! И он круто работает в математике.

Ассоциации в математике

Скорость и расстояние

Буква V похожа на летящую птичку, птицы летают быстро. Значит, V — это скорость. А буква S напоминает собой извилистую тропинку, по которой проходят некоторый путь. Следовательно, S – это расстояние. Можете вместе пофантазировать, на что ещё похожи эти буквы. Фонетические ассоциации также приветствуются.

Дроби

Как выучить, где находится числитель, а где знаменатель?

Представим себе старый домик с чердаком, где хранятся всякие забытые вещи. Мысленно поднимаемся вверх на Чердак и встречаем там Ч —Числитель. Покопавшись в сундуках, находим любимую игрушку детства и спускаемся вниз, на землю. Там нас поджидает З — Знаменатель. Значит, число сверху дробной черты – числитель, снизу – знаменатель.

Чтобы отличить правильную дробь от неправильной, воображаем человека, у которого на шее сидит другой человек. Если большой папа несёт на шее маленького ребёнка, в этом нет ничего необычного. То есть это правильно. А если наоборот, это, мягко говоря, не очень… Если же один мальчик несёт на себе второго, одинакового с ним роста, ему тоже довольно тяжело. Имеем: дробь, у которой числитель меньше знаменателя, правильная. А у которой числитель равен знаменателю или больше него, неправильная.

Координаты и графики⠀

Чтобы не путать названия осей, рекомендую тоже придумать свою ассоциацию. Например, с привязкой к латинскому и русскому алфавитам. «Абсцисса» начинается с буквы А, «ордината» — с буквы О. В русском алфавите А стоит раньше, чем О. А в латинском — Х («икс») первее, чем У («игрек»). Значит, ох — это ось Абсцисс, оу — ось Ординат. Порядок соблюдён.

А как по известным координатам отметить точку? Выходим из «дома», который находится в самом центре координатной плоскости — точка (0;0). Сначала идём вправо (если первая координата положительна), влево (если отрицательна) либо остаёмся на месте, если абсцисса равна 0. Далее движемся вверх к небу (если вторая координата положительна), вниз под землю (если отрицательна) либо остаёмся на месте, если ордината равна 0.

Синус и косинус

В обозначении sin средняя буква похожа на копьё. Она показывает противоположное направление. Соответственно, синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А у cos посередине буква О. Это как обнимашки. А обниматься на расстоянии разве можно? Вряд ли! Значит, косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

ВАЖНО: наиболее эффективно рассмотренный метод работает тогда, когда ребёнок самостоятельно придумал удобную ему ассоциацию. Поэтому старайтесь не подсказывать, дайте зеленый свет фантазии и наслаждайтесь результатом!

Другие статьи блога «Настольная математика» на Уфамаме:

спасибо! + 5 спасибо! 12 февраля 2020 г. 23:29 5 arepyeva 4

Ось ординат

Оси абсцисс и ось ординат – это вечная проблема, как учеников, так и студентов. Названия осей по переменным х и у запоминаются куда легче, поэтому все привыкли использовать их. Почему нужно знать изначальные названия и откуда взялось понятие ординаты расскажем ниже.

Декартова система координат

Рене Декарт прославился многими открытиями в науке, несмотря на всяческие гонения со стороны бушевавшей инквизиции. Но в умах многих и многих поколений потомков он остался как изобретатель декартовой или прямоугольной системы координат.

Прямоугольная система координат сегодня используется везде: в радарах, для настройки светового оборудования, в оптике – практически любая отрасль не может обойтись без использования столь удобной системы.

Система Декарта состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых. В любой системе координат обязательно должны быть:

• Начало отсчета.
• Единичные отрезки.
• Направление осей.

Единичные отрезки на разных осях могут быть различны. Размер отрезка выбирают в соответствии с отметками, которые нужно нанести.

Оси координат

Оси координат это основа системы. Чтобы узнать координаты какой-либо точки, нужно опустить перпендикуляры на каждую из осей. Отрезки, заключенные между точкой отчета и точкой пересечения оси с перпендикуляром зовутся проекциями точки на оси. Размер этих проекций, выраженный в единичных отрезках, и есть координаты точки.

Традиционно оси называют переменными х и у. Это связано с традиционной записью функций, которые часто в виде графиков переносятся на ось координат. Например, функция у=х+3 – прямая линия. При этом сразу понятно, что если подставить любое число вместо х, то можно получить соответствующее значение у. Так высчитывают координаты точки в составе графика.

По факту оси можно называть как угодно. Это зависит только от ученика, решающего задачу. А названия абсцисс и ординат сохраняется всегда.

Осью абсцисс зовется ось х. Она отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латинского языка «абсцисса» переводится как «отрезок».

Если говорить кратко о оси ординат, то так зовется ось у. Эта ось отвечает за перемещения по вертикали. Если точка поднимается или опускается, это можно отследить по изменению ординаты. Ордината переводится как порядок.

Осью абсцисс зовется ось х. Она отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латинского языка «абсцисса» переводится как «отрезок».

Если воспользоваться переводом, то можно сказать так: чтобы отметить точку в системе координат, нужно отложить отрезок по горизонтали, равный абсциссе и поднять точку на несколько порядков вверх по ординате. Так проще запомнить правильные названия осей.

Что мы узнали?

Мы поговорили о Декартовой системе координат. Узнали, зачем нужно использовать правильные названия осей. Поговорили о том, что такое абсцисса и ордината. Выяснили, почему чаще всего оси обозначаются х и у. Сказали о том, что традиционное обозначение может быть заменено в любой момент.

Как запомнить тригонометрический круг?

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть \(16\) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:

— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен \(1\), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

Шаг 3. Запомните, что координаты остальных точек могут быть только \(±\frac<1><2>\), \(±\frac<\sqrt<2>><2>\), \(±\frac<\sqrt<3>><2>\). Причем \(\frac<1><2><\frac<\sqrt<2>><2><\frac<\sqrt<3>><2>\) и соответственно \(-\frac<\sqrt<3>><2><-\frac<\sqrt<2>><2><-\frac<1><2>\) (в этом можно убедиться, вычислив данные числа на калькуляторе).

Шаг 4. Правильно расставьте эти числа на осях:
Координата точки \(\frac<π><6>\) (\(30^°\)) на оси косинусов будет \(\frac<\sqrt<3>><2>\) – так как она максимально близка к \(1\);
Координата точки \(\frac<π><3>\) (\(60^°\) ) на оси косинусов будет \(\frac<1><2>\) – так как ближе к нулю;
Ну и соответственно \(\frac<\sqrt<2>><2>\) посередине, то есть \(\cos\frac<π><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\).

Аналогично рассуждаем, расставляя числа на оси синусов.
\(\sin⁡\frac<π><3>=\frac<\sqrt<3>><2>\) – так как координата \(\frac<π><3>\) наиболее близка к \(1\),
\(\sin<\frac<π><6>>=\frac<1><2>\), потому что координата \(\frac<π><6>\) находится ниже, чем две другие точки.
\(\sin⁡\frac<π><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\) – так как \(\frac<π><4>\) — посередине.

Уже очевидно, что \(\sin⁡\frac<2π><3>=\frac<\sqrt<3>><2>\), \(\sin⁡\frac<3π><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\), \(\sin⁡\frac<5π><6>=\frac<1><2>\).
Осталось найти косинусы. Они все будут отрицательны, потому что по оси абсцисс эти точки находятся слева от \(0\). Значит,
\(\cos⁡\frac<2π><3>=-\frac<1><2>\) – точка \(\frac<2π><3>\) наиболее близка к \(0\) на оси косинусов;
\(\cos⁡\frac<5π><6>=-\frac<\sqrt<3>><2>\) – так как точка \(\frac<5π><6>\) наиболее близка к \(-1\),
\(\cos⁡\frac<3π><4>=-\frac<\sqrt<2>><2>\), потому что \(\frac<3π><4>\) посередине.
Применяя туже логику, расставляем числа на оси синусов.

К счастью, аккуратно рисовать круг, каждый раз подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно понимать логику и применять её к каждому значению отдельно.

Как запомнить расположение чисел на оси тангенсов и котангенсов?

Шаг 1. Запомните, что \(0\) на оси тангенсов совпадает с нулем на окружности, а \(0\) на оси котангенсов — с \(\frac<π><2>\) (\(90^°\)) на окружности.

Шаг 2. Проводим прямые через точки и начало координат (почему так – смотри здесь ) и убеждаемся, что на каждой оси у нас должно быть по семь чисел, одно из которых (ноль) – уже есть.

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

Шаг 4. Значение «\(1\)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, \(-1\) находятся на одном уровне с \(-1\) на оси синусов и косинусов.

Шаг 5. Дальше стоит понять, что \(±\frac<1><\sqrt<3>>\) находится ближе к \(0\), чем \(±\sqrt<3>\).

Шаг 6. \(±\sqrt<3>\) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(36\sqrt<6>\, tg\,\frac<π> <6>sin⁡\,\frac<π><4>\).
Решение: