Что такое невырожденная матрица

Невырожденные матрицы

Пусть — квадратная матрица -го порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае () матрица называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы (оно определятся так же, как и алгебраическое дополнение элемента , определителя).

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

т. е.

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример №3.1.

Найти если .

Решение:

1) Находим : .

2) Находим : поэтому .

3) Находим : .

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

Выделим в ней строк и столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из элементов по .)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример №3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Невырожденная матрица

Научные статьи на тему «Невырожденная матрица»

Высшая математика 1 курс

Над матрицами выполняются следующие виды действий: сложение матриц одинакового размера; умножение матрицы.
Обратная матрица Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и.
союзная матрица.
Ранг матрицы Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее.
Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так: $a_k=

Об условиях невырожденности интервальных матриц

Получены новые достаточные условия невырожденности интервальных матриц, задаваемых центральной матрицей и матрицей радиуса. Также получены необходимые и достаточные условия невырожденности интервальных матриц специального вида, задаваемых произведением скалярного коэффициента на матрицу, состоящую из единиц. Интервальные матрицы указанного специального вида исследуются в работе более детально. Для них выведены достаточные условия проверки невырожденности за полиномиальное время, построены соответствующие примеры. На модельных интервальных матрицах (невырожденной и вырожденной) проведено исследование ряда известных достаточных условий вырожденности и невырожденности, показавшее, что для всех критериев кроме одного модельные интервальные матрицы указанного специального вида оказались "плохим" случаем. Показано, что критерий достаточных условий невырожденности, оказавшийся исключением, представляет для интервальных матриц указанного специального вида также необходимым и достато.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Определение 1 Обратной матрицей матрицы $A$ называют такую матрицу $A^<-1>$, при умножении которой.
на исходную матрицу в качестве результата получается единичная диагональная матрица $E$, то есть матрица.
$A \cdot A^ <-1>= E$ Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.
Свойства обратных квадратных невырожденных матриц Определитель матрицы $A$ равен обратному значению.
матрице: $(A^T)^ <-1>= (A^<-1>)^T$; Единичная обратная матрица равна единичной матрице: $E = E^<-1>$

Невырожденность матриц и свойство диагонального преобладания

Диагональное преобладание в матрице является простым условием, обеспечивающим ее невырожденность. Свойства матриц, которые обобщают понятие диагонального преобладания, всегда очень востребованы. Они рассматриваются как условия типа диагонального преобладания и помогают определять подклассы матриц (типа H -матриц), которые при этих условиях остаются невырожденными. В данной работе строятся новые классы невырожденных матриц, которые сохраняют преимущества диагонального преобладания, но остаются вне класса H -матриц. Эти свойства особенно удобны, поскольку многие приложения приводят к матрицам из этого класса, и теория невырожденности матриц, которые не являются Н -матрицами, теперь может быть расширена.

Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе Неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• обратима, то есть существует обратная матрица;
• строки (столбцы) матрицы линейно независимы; строк (столбцов) матрицу можно привести к единичной матрице; равен её размерности.

• Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
• Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

• Типы матриц

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Невырожденная матрица» в других словарях:

невырожденная матрица — неособенная матрица — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] невырожденная матрица Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость векторов).… … Справочник технического переводчика

Невырожденная матрица — [non singular matrix] квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость век­торов). Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная … Экономико-математический словарь

невырожденная матрица — neypatingoji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non singular matrix; regular matrix vok. nichtausgeartete Matrix, f; nichtsinguläre Matrix, f; reguläre Matrix, f rus. невырожденная матрица, f; неособенная матрица, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas

НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА — неособенная матриц а, квадратная матрица, определитель к рой отличен от нуля. Для квадратной матрицы Анад полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий: 1)A обратима; 2) строки (столбцы) матрицы Алинейно независимы; 3)… … Математическая энциклопедия

МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Обратная матрица — Обратная матрица  такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для… … Википедия

ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия

Вырожденная матрица — Вырожденной или сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю. Эквивалентные условия вырожденности Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности: Строки или столбцы матрицы … Википедия

3. Невырожденные матрицы

A=

Эта матрица называется невырожденной, если ∆≠0, в противном случае ∆=0 и матрица – вырожденная.

Обратная матрица

Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А -1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

A=, причем ∆≠0

Рассмотрим квадратную матрицу А * ,называемую союзной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элемента _ij данной матрицы А (определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

A * =

И найдем произведение А на А *

A∙A*==

=

Используя свойства 6) и 7 получим)

= == (1)

Аналогично можно показать, что (2).Равенство (1) и (2) можно записать в виде:

и

Сравнивая эти выражения с определением обратной матрицы, получим: A -1 =

Свойства обратных матриц:

1)

2)

3)

2. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m×n.

A=

В этой матрице вычеркиванием, каких либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k ≤ min (m,n). Все такие определители, как мы говорили ранее, называются минорами. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A, очевидно, что 0 ≤ r ≤ min (m,n).

Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, так же называются базисными. В курсе алгебры важную роль играет теорема о базисном миноре, которую мы приведем без доказательства.

Теорема: Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией её базисных строк (столбцов).

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример: Найти ранг матрицы

A=

Решение: Все миноры 3-го порядка равны 0. Есть минор 2=го порядка отличный от 0 ≠-15. Значит r (A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки, c 1 и 3 столбцом.

Отметим свойства ранга матрицы:

При транспортировании матрицы её ранг не маняется.

Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали, что используется для вычисления ранга матрицы.

II. Система линейных уравнений.

1. Основные понятия

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

Здесь a_ij и b_j – произвольные числа (i=1,2,3…m; j=1,2,3…n) которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений.

х_i – неизвестные числа.

Такую систему можно записать более кратко с помощью знаков суммирования.

Или в матричной форме: А × Х = В

Здесь А – матрица коэффициентов системы называемая основной матрицей.

n

X = вектор-столбец у неизвестных x_j; B = вектор-столбец из свободных членов b_i.

Х и В представляют собой векторы столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы состоящие соответственно из n и m строк и одного столбца.

Произведение матрицы А×Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (п – штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица Ā системы дополняемая столбцом свободных членов.

Решением системы называется п значений неизвестных x_j=c_j где , при подстановке которых все уравнения системы превращаются в верное равенство (тождество). Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система совместная называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, ели она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему это, значит, выяснить, совместна она или нет. Если система совместна, то найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже общее решение. Другими словами системы эквивалентны, если каждое решение одной является решением другой и наоборот.

Эквивалентные системы получаются в частности при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0.

Однородная система всегда совместна так как х₁=х₂…=х_п=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.