Что значит найти объединение в тригонометрии

Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

Внимание! Еще одна часть видеоурока находится ниже!

Когда вы решаете квадратное уравнение относительно синуса или косинуса, то в ответе получается много отдельных множеств, работать с которыми крайне неудобно. Поэтому сегодня мы научимся объединять их, научимся искать симметрию в наборах корней и упрощать себе ответы, а, следовательно, и работу с множествами.

На самом деле существует два способа упростить решение квадратных тождеств. Назовем их условно геометрическим и алгебраическим. Алгебраический подход рассказывается в школе, но большинство учеников пропускают этот способ мимо ушей. Поэтому сегодняшний видео урок будет состоять из двух частей: второй — целиком посвященной геометрическому подходу, когда мы отмечаем корни на тригонометрическом круге, и первой части — в ней рассказывается о формулах понижения степеней. Итак, начнем.

Алгебраический подход

Сейчас мы будем использовать только алгебраический подход. Все, что нам потребуется для решения — это формула косинуса двойного угла:

Давайте немного преобразуем ее:

Но как мы знаем, формулу косинуса двойного угла можно переписать и по-другому, а именно:

Давайте выразим отсюда $2<<\sin >^<2>>x$:

Вот эти две конструкции сейчас мы и будем использовать.

Решаем реальные задачи

Задача №1

Воспользуемся основным свойством пропорции:

\[\left( 1+\cos 2x \right)\cdot 4=6\]

Решаем обычное тригонометрическое тождество:

Это обычная формула, с помощью которой решаются подобные конструкции. Но у нас известно $2x$, а не $x$, поэтому разделим обе стороны на 2:

Мы нашли корни тригонометрического уравнения.

Задача №2

Применяем нашу вторую конструкцию:

Снова получили пропорцию, перемножаем крест-накрест:

Мы снова получили корни уравнения.

Задача №3

Снова применяем наши выкладки:

Если вы сравните эти ответы с тем, что мы получили в предыдущей части этого урока, то обнаружите, что ответы абсолютно одинаковые. Мы получили один и тот же результат, используя разные подходы — геометрический с помощью тригонометрического круга и алгебраический с помощью формул понижения степеней.

Кстати, почему формулы называются формулами понижения степеней? Смотрите, был $<<\cos >^<2>>x$, а стал просто $\cos 2x$. То же самое и здесь: был $<<\sin >^<2>>x$, а стал просто $\sin 2x$, опять же без квадрата. Эти выкладки сокращают объем вычислений, но чтобы воспользоваться ними, их нужно знать. Кроме того, на последнем шаге везде выполняется деление на 2. Здесь тоже очень часто допускают ошибку. Нужно делить оба слагаемых на два. Каждое из слагаемых нужно разделить на два, и тогда уравнение относительно синуса и косинуса становится элементарным.

Геометрический подход

Реальные задачи

Пример №1

Сначала избавляемся от квадрата. Как всегда, если функция в квадрате равна какому-либо числу, то сама функция равна либо корню из этого числа, либо «минус» корню из этого числа:

Решаем уравнение, чтобы найти корни тригонометрического выражения:

В контексте нашего сегодняшнего урока все числа принадлежат множеству целых чисел.

Вот мы и получили два множества. Давайте отметим эти числа на тригонометрической окружности и найдем корни:

Все наше множество сводится к четырем точкам. А теперь заметим, что $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ и $-\frac<5\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ симметричны относительно начала координат. В этом легко убедиться, если вычесть из одного числа другое. Например:

Другими словами, расстояние между этими числами по окружности равно $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$.

То же самое можно сказать про $-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ и $\frac<5\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ — они симметричны друг другу относительно начала координат или, другими словами, можно сказать, что они лежат на одном диаметре. Если идти по нашей окружности, то расстояние между ними будет равно $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, а это значит, что если мы возьмем точку $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$, а потом шагнем от нее на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, то получим точку $-\frac<5\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$. Потом еще шагнем на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$ — снова попадем в точку $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$, но уже $+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$. И так постоянно прибавляя $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, мы охватим все точки вида $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$ и $-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< k>$. Таким образом, мы можем записать эти корни уравнения в виде одного множества:

Теперь разберемся со вторым набором. Тут все то же самое:\[-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k\]. Таким образом, мы можем просто спереди поставить ±, и это будет наш окончательный ответ:

Вместо четырех множеств (или двух) мы получили всего одно множество. В этом и состоит смысл симметрии корней. В дальнейшем, когда нам нужно будет что-то сделать с этими корнями, мы уже будем работать не с 4 наборами, а всего лишь с двумя.

Пример №2

Опять же используем наши выкладки и избавляемся от квадрата:

И второе уравнение:

Отмечаем эти числа на тригонометрической окружности:

Из рисунка становится очевидно, что эти точки лежат на одном диаметре — он является осью $Oy$, осью синусов. Это значит, чтобы получить из\[\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<2>>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n\]\[-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><2>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k\], достаточно шагнуть из точки $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<2>>$ до $-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<2>>$ на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$. Таким образом мы объединяем два множества корней и получаем:

Пример №3

Снова считаем по нашим выкладкам:

Переходим ко второму выражению:

Вот мы и получили четыре набора корней. Давайте отметим их:

Еще очень важно, что между $\frac<\text<3 >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>$ и $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>$ угол равен 90°. Также и между $\frac<5\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>$ и $-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>$ угол равен 90°. Наконец, и между $\frac<\text<3 >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>$и $\frac<5\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>$ угол тоже равен 90°. Это значит, что все четыре точки мы можем свести к одной точке вида\[\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>+\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n><2>\].

На первый взгляд эта конструкция, все эти вычисления могут показаться очень сложными. Геометрический подход, действительно, понимают не все ученики. Однако стоит немного потренироваться, и вы будете щелкать квадратные уравнения как орешки.

Ключевые моменты

Решая уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, вы постоянно будете натыкаться на громоздкие ответы, работать с которыми (например, для отбора корней) совершенно невозможно. Однако при желании можно значительно упростить эти конструкции. И сегодня мы поговорим о двух методах упрощения:

1. Графический — отмечаем ответы на тригонометрическом круге и пытаемся найти закономерности.
2. Алгебраический — переходим от квадратного уравнения к линейному с помощью формул понижения степеней.

Вы можете использовать любой прием — ответ получится один и тот же. Кому-то (например, мне) удобнее отмечать точки на тригонометрическом круге, а кому-то проще раз и навсегда запомнить формулы понижения степени (которые, кстати, совсем несложные).

Симметрия корней на тригонометрическом круге

Тут все банально. Решаем равенство, отмечаем полученные корни на круге, а затем ищем какую-нибудь закономерность в их расположении. Например, корни могут отстоять друг от друга на половину исходного периода, либо располагаться симметрично относительно начала координат.

Формулы понижения степеней

Это уникальная фишка, которая работает только в тригонометрических уравнениях. Уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, легком сводятся к равносильным линейным. Все, что для этого потребуется — формулы косинуса двойного угла:

Тригонометрические уравнения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение:
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

а) Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение

б) Найдем корни уравнения на отрезке с помощью двойного неравенства.

Разделим обе части неравенства на

Вычтем из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда — это единственный корень, который принадлежит отрезку

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Выразим косинус двойного угла по формуле

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

2) нет решений, т. к.

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

3. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Чтобы упростить уравнение применяем формулу приведения.

Так как получим:

Сделаем замену: Получим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену.

1) — нет решений, т. к.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений получим:

Для серии решений получим:

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а):

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Используем формулу понижения степени:

Применяем формулу суммы косинусов:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

Решив неравенство, получим:

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения:

2) Из серии решений на указанном отрезке лежит только корень Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

Сделаем замену: получим:

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

8. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на .

Выполним замену: tgx = y, получим:

Ответом в пункте (а) являются две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Делим обе части на 2:

В левой части получили синус суммы:

б) Отметим на единичной окружности отрезок и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

10. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Делим обе части на

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Делим обе части на

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,

,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а): .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

Неравенство имеет единственное целое решение

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение:

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение:

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

15. Страшное с виду уравнение также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение:

Сделаем замену .

Как выразить через t? Имеем:

,

откуда . Получаем:

Начнем со второго уравнения.

Так как и то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на и получим:

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

,

,

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение:

Выделяем полный квадрат!

;

;

;

;

;

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot . \cdot f_n(x)=0\) где \(f_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right. \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2cosx cos2x=cosx\) \begin 2cosx cos2x-cosx=0\\ cosx(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые \(60^<\circ>=\frac\pi3\) Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара \(\frac\pi2+\pi k,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\), равнозначная c \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac=0 $$ где \(f_i(x),\ g_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: \( \begin \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right.\\ g_1(x)\ne 0\\ g_2(x)\ne 0\\ . \\ g_m(x)\ne 0\\ \end \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(ctgx-tgx=\frac<\frac12 sin2x>\)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac-\frac=\frac=\frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)> <\frac12sin2x>$$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)><\frac12sin2x>-\frac<\frac12sin2x>=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на \(1/2\) слева и справа, получаем: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)>=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для \(ctgx\) и \(tgx\). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: \begin \begin \left[ \begin cosx-sinx=0\\ cosx+sinx=1 \end \right.\\ sin2x\ne 0 \end \end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=0\ \ |: cosx\\ 1-tgx=0\Rightarrow tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=1\ \ | \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>cosx+\frac<\sqrt<2>><2>sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4\right)cosx+sin\left(\frac\pi4\right)sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4-x\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>> <2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4+2\pi k\Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2x\ne 0\Rightarrow 2x\ne \pi k\Rightarrow x\ne\frac<\pi k> <2>$$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k\Leftrightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end \right.\\ x\ne\frac<\pi k> <2>\end \end

За счет требования \(x\ne\frac<\pi k><2>\) исключаются семейства \(x=\frac\pi2+2pi k\) и \(x=2\pi k\).
Остается только \(x=\frac\pi4+\pi k\).
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где \(f(x)\) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=f(x)\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Если \(f(x)\) — синус или косинус, проверить условие \(-1\leq t_<1,2>\leq 1\). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin f(x)=t_1\\ f(x)=t_2 \end \right. \) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(3sin^2x+10cosx-6=0\)
Заменим \(sin^2x=1-cos^2x\). Получаем: \begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\\ -3cos^2x+10cosx-3=0\\ 3cos^2x-10cosx+3=0\\ \text<Замена:>\ t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\\ 3t^2-10t+3=0\\ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ t=\frac<10\pm 8><6>= \left[ \begin \frac13\\ 3\gt 1 — \text <не подходит>\end \right. \end Решаем \(cosx=\frac13\Rightarrow x=\pm arccos\frac13+2\pi k\)
Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k\)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=0\)
Делим на \(cosx\). Получаем: \(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k\)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^2x\) \begin \frac=\frac<0>\\ Atg^2x+Btgx+C=0 \end Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2 \end \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3\)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0\ |:\ cos^2x\\ 3tg^2x-tgx-4=0\\ \text<Зaмена:>\ t=tgx\\ 3t^2-t-4=0\\ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49\\ t=\frac<1\pm 7><6>= \left[ \begin -1\\ \frac43 \end \right. \end Решаем совокупность: \( \left[ \begin tgx=-1\\ tgx=\frac43 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg\frac43+\pi k \end \right. \)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k\)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^n x\)
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 \end Найти корни \(t_1, t_2. t_k,\ k\leq n\)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2\\ . \\ tgx=t_k \end \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2sin^3x=cosx\)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0\ |:\ cos^3x\\ 2tg^x-tg^2x-1=0\\ \end Замена \(t=tgx\) дает кубическое уравнение: \(2t^3-t^2-1=0\)
Раскладываем на множители: \begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\\ =(t-1)(2t^2+t+1) \end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. \(D=1-4\cdot 2=-7 \lt 0\).
Получаем: \(2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\(tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение \(\sqrt<3>sin3x-cos3x=1\)
Делим уравнение на \( p=\sqrt<3+1>=2: \) \begin \sqrt<3>sin3x-cos3x=1 |:\ 2\\ \frac<\sqrt<3>><2>sin3x-\frac12cos3x=\frac12\\ sin\left(\frac\pi3\right)sin3x-cos\left(\frac\pi3\right)cos3x=\frac12\\ cos\left(\frac\pi3\right)cos3x-sin\left(\frac\pi3\right)sin3x=-\frac12\\ cos\left(3x+\frac\pi3\right)=-\frac12\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pm\frac<2\pi><3>+2\pi k\Rightarrow 3x= \left[ \begin -\pi+2\pi k\\ \frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin -\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>\\ \frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end
Ответ: \(-\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>,\ \ \frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида \begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 \end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение \(cos3x+sin2x-sin4x=0\)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac<2x-4x><2>cos\frac<2x+4x>=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin cos3x-2sinxcos3x=0\\ cos3x(1-2sinx)=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2sinx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ sinx=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin x=\frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end \right. \end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k\\ x=\frac\pi6+2\pi k=30^<\circ>+360^<\circ>k\Leftrightarrow x=30^<\circ>+60^<\circ>k=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac<5\pi><6>+2\pi k=150^<\circ>+360^<\circ>k \end \right. \end

Получаем, что семейства решений \(\frac\pi6+2\pi k\) и \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\) уже содержатся во множестве \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида \begin sinax\cdot cosbx=sincx\cdot cosdx,\ \ sinax\cdot sinbx=sincx\cdot cosdx\ \ \text <и т.п.>\end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение \(sin5xcos3x=sin6xcos2x\)
Заметим, что: \begin sin5xcos3x=\frac<2>=\frac<2>\\ sin6xcos2x=\frac<2>=\frac <2>\end Подставляем: \begin \frac<2>=\frac<2>\ |\times 2\\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\\ sin4x-sin2x=0\\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\\ sin2x(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin sin2x=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2x=\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Семейства решений не пересекаются.

Ответ: \(\frac<\pi k><2>,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\)

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: \( \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pi k \end \right. \)

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида \begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A \end используются формулы понижения степени: \begin sin^2x=\frac<1-cos2x><2>,\ \ cos^2x=\frac<1+cos2x> <2>\end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение \(sin^2x+sin^22x=1\)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin \frac<1-cos2x><2>+\frac<1-cos4x><2>=1\\ cos2x+cos4x=0\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=0\\ cos3xcosx=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ cosx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \end

\(x=\frac\pi2+\pi k\) является подмножеством \(x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\) Поэтому \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0\) используется замена \begin t=cosx\pm sinx \end

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=1+sinxcosx\)
Замена: \(t=sinx+cosx\)
Тогда \(t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac<2>\)
Подставляем: \begin t=1+\frac<2>\Rightarrow 2(t-1)=t^2-1\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow (t-1)^2=0\Rightarrow t=1\\ sinx+cosx=1\ |\ \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>sinx+\frac<\sqrt<2>><2>cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ sin\frac\pi4 sinx+cos\frac\pi4 cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>><2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4 + 2\pi k\Rightarrow \Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Ответ: \(2\pi k,\ \ \frac\pi2+2\pi k\)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: \( \begin sinax=1\\ sinbx=1\\ . \\ cosdx=1\\ . \end \)
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение \(sinx+cos4x=2\)
Для этого нужно решить систему: \begin \begin sinx=1\\ cos4x=1 \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ 4x=2\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \end

Пересечением двух семейств решений будет только \(\frac\pi2+2\pi k\). Поэтому \begin \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \Leftrightarrow x=\frac\pi2+2\pi k \end

Ответ: \(\frac\pi2+2\pi k\)

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) \(4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4\)
Приводим уравнение к квадратному:
\(5sin^x+4cosx-4=0\)
\(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0\)
\(-5cos^2x+4cosx+1=0\)
\(5cos^2x-4cosx-1=0\)
Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\) \begin 5t^2-4t-1=0\Rightarrow (5t+1)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-\frac15\\ t_2=1 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin cosx=-\frac15\\ cosx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k\\ x=2\pi k \end \right. \end Ответ: \(\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k,\ \ 2\pi k\)

б) \(6sinxcosx=5cos2x\)
\(6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x\)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
\(3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x\)
\(3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
Ответ: \(\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)

в) \(9cos^2x-5sin2x=-sin^2x\)
\(5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx\)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
\(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x\)
\(tg^2x-10tgx+9=0\)
Замена: \(t=tgx\) \begin t^2-10+9=0\Rightarrow (t-1)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=9 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin tgx=1\\ tgx=9 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg9+\pi k \end \right. \end Ответ: \(\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg9+\pi k\)

г) \(cos3x-1=cos6x\)
Косинус двойного угла: \(cos6x=2cos^2 3x-1\)
Подставляем и раскладываем на множители:
\(cos3x-1=2cos^2 3x-1\)
\(cos3x-2cos^2 3x=0\)
\(cos3x(1-2cos3x)=0\) \begin \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2cos3x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ cos3x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ 3x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k=<. -90^<\circ>,-30^<\circ>,30^<\circ>,90^<\circ>,150^<\circ>. >\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>= \left[ \begin -20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -140^<\circ>,-20^<\circ>,100^<\circ>. >\\ 20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -100^<\circ>,20^<\circ>,140^<\circ>. > \end \right. \end \right. \end Семейства не пересекаются.
Ответ: \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>,\ \ \pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)

д) \(\sqrt<3>sin2x-cos2x=-\sqrt<3>\)
Разделим на \(p=\sqrt<3+1>\) и введем дополнительный угол:
\(\frac<\sqrt<3>><2>sin2x-\frac12 cos2x=-\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(\frac12cos2x-\frac<\sqrt<3>><2>sin2x=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k\)
\(2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin -\frac<\pi><6>+2\pi k\\ \frac\pi2+2\pi k \end \right. \)
\( \left[ \begin x=-\frac<\pi><12>+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. \) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: \(-\frac<\pi><12>+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k\)

е) \(cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x\)
Формула понижения степени: \(cos^2x=\frac<1+cos2x><2>\)
Подставляем: \begin \frac<1+cos2x><2>+\frac<1+cos4x><2>=\frac<1+cos6x><2>+\frac<1+cos8x><2>\\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=2cos\frac<6x+8x><2>cos\frac<6x-8x><2>\ |:\ 2\\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\\ cosx(cos3x-cos7x)=0\\ cosx\left(-2sin\frac<3x+7x><2>sin\frac<3x-7x><2>\right)=0\\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\\ 2cosxsin5xsin2x=0\\ cosxsin5xsin2x=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ sin5x=0\\ sin2x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 5x=\pi k\\ 2x=\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для \(x=\frac<\pi k><2>\) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Ответ: \(\frac<\pi k><5>,\ \ \frac<\pi k><2>\)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0 \end ОДЗ: \(tgx\ne \pm 3\)
1) Если \(cosx\ne 0\), то последнее слагаемое \(\frac=\frac<\frac><\frac>=\frac\)
Получаем: \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0\\ \frac<4(tgx-3)-18+tgx(tgx+3)><(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \frac<(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \end Замена: \(t=tgx\) \begin \frac<(t+3)(t-3)>\Rightarrow \begin t^2+7t-30=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin (t+10)(t-3)=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin t=-10\\ t=3 \end \right.\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow\\ t=-10 \end Получаем: \begin tgx=-10\\ x=arctg(-10)+\pi k=-arctg10+\pi k \end
2) Проверим, является ли \(cosx=0\) решением.
При \(cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty\). Первое слагаемое \(\frac<4>\rightarrow\frac<4><\infty>\rightarrow 0\)
Второе слагаемое \(\frac<18>\rightarrow\frac<18><\infty>\rightarrow 0\)
Третье слагаемое \(\frac\rightarrow\frac<1><1-0>=1\ne 0\)
Сумма слагаемых в пределе \(tgx\rightarrow\infty\) равна \(0+0+1=1\ne 0\)
\(cosx=0\) решением не является.
Ответ: \(-arctg10+\pi k\)

б) \(\frac<3>+1=7\frac<|cosx|>\)
ОДЗ: \(cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k\) \begin |cosx|= \begin cosx,\ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac\pi2+2\pi k\\ -cosx,\ \frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac<3\pi2><2>+2\pi k \end \end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) \begin \frac<3>+1=7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\\ 3tg^2-7tgx+4=0\\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\\ \left[ \begin tgx=\frac43\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=arctg\frac43+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac<5\pi><4>\) и \(\pi+arctg\frac43\), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: \(\frac\pi4\) и \(arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения период будет не \(\pi k\), а \(2\pi k\). \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k \end \right. \end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin \frac<3>+1=-7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\\ 3tg^2x+7tgx+4=0\\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\\ \left[ \begin tgx=-\frac43\\ tgx=-1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-arctg\frac43+\pi k\\ x=-\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: \(\frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом \(2\pi k\). \begin \left[ \begin x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

3) Объединяем полученные решения: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ \left[ \begin x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k\\ \end

Окончательно получаем: \( \left[ \begin x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k \end \right. \).
Ответ: \((-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k\)

г) \(3sinx-4cosx=5\)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
\(p=\sqrt<3^2+4^2>=5\)
\(\frac35sinx-\frac45 cosx=1\)
\(sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
\(sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1\)
\(cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1\)
\(cos(x+\alpha)=-1\)
\(x+\alpha=\pi+2\pi k\)
\(x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin sin\alpha=\frac<2tg\frac<\alpha><2>><1+tg^2\frac\alpha2>,\ \ cos\alpha=\frac<1-tg^2\frac\alpha2><1+tg^2\frac\alpha2>\\ 3\cdot \frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>-4\cdot\frac<1-tg^2\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>=5\\ \frac<6tg\frac<2>-4\left(1-tg^2\frac<2>\right)-5\left(1+tg^2\frac<2>\right)><1+tg^2\frac<2>>=0 \end \(1=tg^2\frac<2>\geq 1\), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: \begin -tg^2\frac<2>+6tg\frac<2>-9=0\Rightarrow tg^2\frac<2>-6tg\frac<2>+9=0\Rightarrow\left(tg\frac<2>-3\right)^2=0\Rightarrow tg\frac<2>=3\\ \frac<2>=arctg3+\pi k\Rightarrow x= 2arctg3+2\pi k \end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text<и>\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3\), и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) \(2arctg3=\varphi\). Тогда \(arctg3=\frac\varphi2\) и \(tg\frac\varphi2=3\).
А в левой части равенства (*) \(arcsin\frac35=\alpha\) и \(sin\alpha=\frac35\)
Угол \(0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2\) расположен в 1-й четверти.
Угол \(\varphi=2arctg3\) расположен во 2-й четверти \((cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)\). $$ cos\varphi=\frac<1-tg^2\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<1-3^2><1+3^2>=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac<2tg\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<2\cdot 3><1+3^2>=\frac35 $$ Получаем, что для угла \(\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
Для угла \(\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45\)
Откуда следует, что \(\alpha=\pi-\varphi\). Что и требовалось доказать.
Ответ: \(-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\) или \(2arctg3+2\pi k\) (т.к. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)\)

Что значит найти объединение в тригонометрии

Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.

1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то

`x=(-1)^n arcsin a+pi n, n in Z`.

Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных `(n=2k+1, k in Z)n`. А именно

2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то

`x=+- arccosa+2pin, n in Z`.

3. `»tg»x=a`. При любом `a` `x=»arctg»a+pin, n in Z`.

4. `»ctg»x=a`. При любом `a` `x=»arcctg»a+pin, n in Z`.

Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.

а) `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.

б) `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.

в) `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.

г) `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.

Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.

I. Разложение на множители

Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение

Уравнение распадается на два:

1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.

2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.

Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.

Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.

Уравнение распадётся на два:

1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;

II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного

Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.

По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,

поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.

Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).

`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.

Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.

Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.

Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.

Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или

Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.

III. Однородные уравнения

(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)

Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.

Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5″tg»^2x-4″tg»x-1=0`. Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»1/5+pin,ninZ`.

Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5″tg»^2x-3″tg»x-2=0`.

Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»2/5+pin,ninZ`

Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.

Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.

Перепишем это уравнение так:

Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `»tg»x`

Делаем замену: `t=»tg»x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители

Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак, `»tg»x=-2` или `x=-«arctg»2+pin,ninZ`.

IV. Использование формулы дополнительного угла

Напомним эту формулу `asin alpha +bcos alpha=sqrt(a^2+b^2)sin(alpha+varphi)`, где `varphi` определяется (неоднозначно) из равенств

Например, `sinalpha+cos alpha=sqrt2sin(alpha+pi/4)`. Формулу дополнительного угла можно записать и в другом виде, например,

Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.

1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:

`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`, `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=-3/5`.

Можно взять `varphi=-arcsin 3/5`. Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.

2-й способ. Воспользуемся формулами:

`sinx=2sin x/2 cos x/2`, `cosx=cos^2 x/2 -sin^2 x/2`, `1=sin^2 x/2+cos^2 x/2`.

Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5` запишется в виде

`8sin x/2 cos x/2-3(cos^2 x/2-sin^2 x/2)=5(sin^2 x/2+cos^2 x/2)` или

`2sinx^2 x/2-8sin x/2cos x/2+8cos^2 x/2=0`.

Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2 x/2`, получим уравнение `»tg»^2 x/2-4″tg» x/2+4=0` или `(«tg» x/2-2)^2=0`. Итак, `»tg» x/2=2`, значит `x/2=»arctg»2+pin,ninZ`, или `x=2″arctg»2+2pin,ninZ`.

Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.

Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.

Сделаем замену: `t=sinx+cosx`. Тогда

Откуда `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:

`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.

Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`, то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)` имеет решения:

`x+pi/4=(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.

`x=-pi/4+(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.

Отметим, что подобным образом решаются уравнения вида: `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.

Рассмотрим ещё одно часто встречающееся приложение формулы дополнительного угла.

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.

Преобразуем выражение, используя формулу `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:

Здесь можно взять `varphi=-arcsin 4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`, а значение `f(x)=-2` принимается при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.

`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.

Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.

V. Рациональные тригонометрические уравнения

Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.

Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.

Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.

Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,

Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.

Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,

Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.

Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:

Преобразуем это уравнение:

Ещё раз воспользуемся формулой

в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим

`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.

Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin\mathrm4x=1.\\ \mathrm4x=0.\end\right.$$

Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.

1. Изображаем точки

на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).

2. Изображаем точки

которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).

Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки

С решениями уравнения

или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек — решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что

`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`

`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.

Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.

Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.