Чем отличается однородная система от неоднородной

Матрицы. Объясните разницу между Однородной системой и Неоднородной системой

Представь себе систему линейных уравнений. Каждое уравнение представляет собой равенство, где, например, слева находятся выражения, содержащие неизвестные, а справа — стоят известные числа. Например, -3х+5у=12 или 8х+2у -7z=0 и т. д.
Так вот, если справа числа равны нулю (как в последнем примере) во всех уравнениях, то система называется ОДНОРОДНОЙ. если же есть хоть один НЕ нуль, то — НЕОДНОРОДНОЙ, Вот и всё! Очень просто.))

§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических

Определение. Система Л.А.У., все свободные члены которой нулевые, называется однородной. Система, столбец свободных членов которой ненулевой, называется неоднородной.

В общем случае однородная система из m уравнений с n неизвестными имеет вид:

(1)

В матричной форме она записывается в виде AX=0.

Здесь – нулевой столбец.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет решение x₁=0, x₂=0. x_n=0, которое называется тривиальным. Матричный метод и метод Крамера не имеет смысла применять для решения однородных систем с квадратной матрицей A. Поскольку, если A не вырождена, то система имеет единственное тривиальной решение, если же A =0, то эти методы неприменимы, система имеет бесконечное число решений.

Метод Гаусса для решения однородных систем используется в следующем виде.

Записываем матрицу системы A и с помощью элементарных преобразований приводим её к треугольному виду. Возможны два случая.

r(A)=n. Система имеет единственное тривиальное решение.

Пример 1.

Запишем матрицу системы и преобразуем её.

r(A)=3, следовательно, система имеет единственное решение: x=0, y=0, z=0.

r(A)n. Система имеет бесконечно много решений, зависящих от n–r параметров.

Пример 2 .

Преобразуем матрицу системы.

r(A)=2, поэтому система имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра.

Восстановим систему и решим её.

Обозначим решение системы (1) в виде строки. Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка — решение системы (1), то и строка — также решение этой системы.

2. Если строка и— решения системы(1), то при любых c₁ u c₂ их линейная комбинация — также решение данной системы.

Набор строк (решении системы (1)) называется линейно зависимым, если существуют одновременно не равные нулю числа такие, что выполняется равенство:

(2)

Если равенство (2) выполняется только при ,то набор решении называетсялинейно независимым

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые решения системы (1), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при неизвестных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n—r решений. Поэтому общее решение системы (1) линейных однородных уравнений имеет вид: , где— любая фундаметальная система решений,— произвольные числа иm=n−r.

Пример3. В последнем рассмотренном примере

мы получили, что r(A)=2, поэтому фундаментальная система решений состоит из 3–2=1 решения. Чтобы его получить, положим в общем решении системы илиe=(0, –c, c). Пусть c=1, сле-довательно, e₁=(0, –1, 1) и любое решение системы имеет вид линейной комбинации: e=ce₁=(0, –c, c).

Основные сведения о фундаментальной системе решений

Системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений можно разделить на однородные и неоднородные.

В данной статье все определения, свойства и примеры рассматриваются для системы линейных алгебраических уравнений — СЛАУ.

Однородной системой уравнений называют систему из линейных уравнений вида \(\sum_^na_i\cdot x_i=0\) .

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Однородная СЛАУ всегда имеет как минимум одно решение — нулевое, то есть всегда является совместной.

Слово «нулевое» часто заменяют на «тривиальное» и говорят, что система имеет тривиальное решение.

СЛАУ будет иметь бесконечное множество решений в том случае, если ранг матрицы коэффициентов A будет меньше количества неизвестных переменных n: A<n. Такую систему называют совместной и неопределенной.

Если A=n, система будет иметь единственное решение, и это решение будет нулевым. Система в этом случае совместна и определена.

Если A≠n, система несовместна.

Ранг матрицы равен максимальному порядку миноров матрицы, не равных нулю. Простой способ найти ранг на практике — выполнить преобразования (исключение нулевых строк, умножение на ненулевое число, сложение и т.д.), после чего определить ранг матрицы как количество ненулевых строк.

В том случае, когда определитель квадратной матрицы СЛАУ равен нулю, система имеет нетривиальное решение.

Нахождение решений однородной СЛАУ осуществляется по методу Гаусса. Порядок действий при этом таков:

Систему записывают в виде матрицы, затем с помощью различных преобразований приводят ее к треугольному виду.
Записывают уравнения, умножая неизвестные переменные на соответствующие элементы матрицы.
Решают систему, начиная с последнего уравнения, в котором остается только одна переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

В основном решение однородной системы представляют в виде набора линейно независимых векторов \( \overrightarrow,\;\overrightarrow,\;. \;\overrightarrow,\) называемого фундаментальной системой решений однородной системы.

Решением системы будет являться также любая линейная комбинация векторов \(\overrightarrow b\) вида \(a_1\overrightarrow,\;a_2\overrightarrow,\;. \;a_n\overrightarrow\) , где коэффициенты \(a_1,\;a_2,\;. \;a_n\) – любые вещественные числа.

Фундаментальная система решений — базис векторного пространства, образованного решениями системы.

Фундаментальное решение системы B принято записывать как \(\overrightarrow B=a\cdot\overrightarrow b\) .

Сформулируем (без доказательства) теорему о размерности фундаментальной системы решений.

Фундаментальная система решений для СЛАУ, у которой A

Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения

Отличие неоднородной системы от однородной состоит в том, что в правой части уравнений системы находятся ненулевые коэффициенты.

Чтобы найти решение неоднородной системы, используют общее решение однородной. Общее решение неоднородной СЛАУ \(\overrightarrow<Х_<он>>\) будет иметь вид:

где \(\overrightarrow<Х_<од>>\) — общее решение соответствующей однородной системы, \(\overrightarrow<Х_<чн>>\) – частное решение заданной неоднородной системы.

Соответствующую однородную систему получают, приравняв к нулю коэффициенты в правых частях уравнений.

Пояснение на примерах

Рассмотрим несколько примеров задач на решение однородных и неоднородных СЛАУ.

Решить систему уравнений \(\left\<\begin-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-x_1-\frac12x_2+\frac32x_3=0\\-\frac32x_1-x_3=0\end\right.\)

Система является однородной. Составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

Ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (-2).
К третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-3).
К третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1).

Получили, что ранг матрицы равен 3, как и число переменных. Найдем, чему равен определитель матрицы.

Определитель не равен нулю, то есть можно сделать вывод о том, что система имеет одно тривиальное решение.

Сделаем проверку и продолжим решение по методу Гаусса. Запишем систему с коэффициентами матрицы после преобразований.

Получили, что решением будут нулевые значения переменной.

Найти общее и фундаментальное решения системы \(\left\<\begin-4x_1-4x_2+2x_3=0\\-10x_1-8x_2+12x_3=0\\-6x_1-4x_2+10x_3=0\end\right.\) .

Сначала определим ранг матрицы коэффициентов.

К первой строке прибавили третью, умноженную на (-1).
От второй строки отняли третью, умноженную на 2.
Исключили одну из одинаковых строк.
Ко второй строке прибавили первую, умноженную на 3.

Ранг матрицы А=2.

Найдем общее решение. Запишем систему в виде: \(\left\<\begin2x_1-8x_3=0\\-4x_2-14x_3=0\end\right.\)

Выразим переменные \(x_1\) и \(x_2\) через \(x_3: \left\<\beginx_1=4x_3\\x_2=-\frac<14>4x_3\end\right.\)

Общее решение системы: \( \left(4x_3;\;-\frac<14>4x_2;\;x_3\right)\)

Количество фундаментальных решений: \(n-A=3-2=1\) . Чтобы найти вектор \overrightarrow B фундаментального решения, зададим произвольное значение переменной \(x_3\) . Примем \(x_3=4\) , чтобы избавиться от дробей.

Фундаментальная система решений: \overrightarrow \(B=\;(16;\;-14;\;4).\)

Ответ: \(\left(4x_3;\;-\frac<14>4x_2;\;x_3\right) и \;(16;\;-14;\;4).\)

Записать общее решение неоднородной системы. Известно, что соответствующая однородная система выглядит как в предыдущем примере, а частное решение имеет вид: (-2; 1; 3).

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной и частного решения. Тогда:

Система линейных алгебраических уравнений

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.

Определение системы линейных уравнений
Виды СЛАУ
Матричная форма записи системы
Расширенная матрица СЛАУ

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:

Общий вид записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

m – количество уравнений;
n – количество переменных.
x₁, x₂,…, x_n – неизвестные;
a₁₁, a₁₂,…, a_mn – коэффициенты при неизвестных;
b₁, b₂,…, b_m – свободные члены.

Индексы коэффициентов ( a_ij ) формируются следующим образом:

i – номер линейного уравнения;
j – номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ – такие числа c₁, c₂,…, c_n , при постановке которых вместо x₁, x₂,…, x_n , все уравнения системы превратятся в тождества.

Виды СЛАУ

Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b₁ = b₂ = … = b_m = 0 ).
Неоднородная – если не выполняется условие выше.
Квадратная – количество уравнений равно числу неизвестных, т.е. .
Недоопределенная – число неизвестных больше количества уравнений.
Переопределенная – уравнений больше, чем переменных.

В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:

Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.

СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 .
Несовместная – система не имеет решений.

Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.