Сколько существует таких натуральных чисел N,что среди чисел от 1 до N ровно 30% делятся на 3? а)0
б)1
в)2
г)3
д)бесконечно много
От 1 до 10n на 3 делятся [10n/3] чисел ([x] — целая часть x), и это равно 30% от 10n, т.е. 3n.
Заметим, что x — 1 < [x] <= x. Поэтому 10n/3 — 1 < [10n/3] <= 10n/3
10n/3 — 1 < 3n <= 10n/3
Решаем двойное неравенство. Нестрогое неравенство выполняется всегда, решаем строгое:
10n/3 — 1 < 3n
n/3 < 1
n < 3
Итак, n = 1 или 2. На всякий случай проверяем:
N = 10*1 = 10: на 3 делятся 3 числа (3, 6, 9), их 30% от 10.
N = 10*2 = 20: на 3 делится 6 чисел (3, 6, 9, 12, 15, 18), их 30% от 20.
Сколько существует таких натуральных N, больших 700
Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?
2N и 3N всегда будут больше, чем N-35 и N-700. Рассмотрим три варианта.
1. Пусть 2N и 3N будут четырехзначными (2N>700*2 = 1400, 3N>700*3 = 2100) и 9999>=3N>2N → N<=3333
Значит нужно определить те числа, для которых N-700 и N+35 будут трехзначными.
999+700=1699>N, N<999-35=964
Таким образом, получаем, что удовлетворяющее условию N принадлежит отрезку [701, 964] 264 числа
2. Если 2N четырехзначное, а 3N — нет:
2N<10000, 3N>10000
n<5000, N>3333
Тогда для чисел из этого отрезка, N-700 принадлежит (2633, 4300) N-35 принадлежит (3298, 4965)
Получаем три четырехзначных числа
3. Пусть теперь и 2N, и 3N — более чем четырехзначные
N>=5000
Тогда 2N>=10000, 3N>=15000
N-700 принадлежит [4300, +inf)
N-35 принадлеит [4965, +inf)
Здесь нам подойдут те N, для которых N-35 всё ещё 4хзначное.
N-35<=9999, N<=9964
Так N-700<=9264, т.е. тоже четырехзначное
Итого N может принадлежать [5000, 9964]
4965 значений.
Сколько существует таких натуральных чисел n
Тип 21 № 196 
Сколько существует натуральных чисел n не превосходящих 2017, таких что квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?
По условию задачи Следовательно, ab = −n, то числа a и b разных знаков и не равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что Поскольку то
Таким образом, получаем 44 пары чисел a и b, удовлетворяющих заданным условиям.
Сколько существует таких натуральных чисел N, что среди чисел от 1 до N ровно 30% делятся на 3?
По условию, среди чисел от 1 до N ровно 3/10 делятся на 3 и ровно 7/10 не делятся на 3. Отсюда следует, что N делится на 10. Заметим, что числа N=10 и N=20 подходят, в первом случае на 3 делится 3 числа, во втором 6 чисел, 3/10=6/20=30%. Число 30 уже не подходит, так как 10/30=1/3>30%. Покажем, что любое N>30 также не подойдет. Поскольку N делится на 10, это число можно представить в виде 10k, где k>3 – натуральное число. Ясно, что чисел, меньших N и кратных 3, заведомо не меньше 3k, поскольку в любом десятке (от 1 до 10, от 11 до 20, и так далее, от N-9 до N) есть минимум три числа, делящихся на 3. С другой стороны, в десятке от 20 до 30 таких чисел уже 4 (21, 24, 27, 30), поэтому всего чисел от 1 до N, кратных 3, не меньше 3k+1. Поскольку (3k+1)/10k=3k/10k+1/10k=3/10+1/10k>30%, любое число N>30 нам не подойдет. Следовательно, существует всего 2 подходящих числа – 10 и 20.