Сколько окружностей можно вписать в прямоугольник

\[ S = \frac(a+b+c) \cdot r = pr \]

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника.
Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

\[ S = \frac(a+b+c+d)\cdot r = pr \]

Треугольник
Четырехугольник
Многоугольник

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Disk_pack11.svg

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то он становится описанным, а окружность вписанной.

На рисунке четырехугольник с обозначением EFMN является описанным потому, что окружность с центром О касается всех сторон EFMN. Но четырехугольник DKMN не может быть описанным из-за того, что окружность не касается стороны DK. С вписанной окружностью связана одна теорема, которая утверждает, что в любой треугольник можно вписать окружность. Попробуем её доказать, удостоверившись в её правдивости.

Доказательство теоремы

На рисунке изображен произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О центр пересечения биссектрис треугольника. Потом надо провести из точки О перпендикуляры OL, OM и ОK к сторонам BC, CA BA. Из-за того, что точка О равноудалена от сторон треугольника, то перпендикуляры OL, OM, OK равны друг другу. Окружность с центром О и с радиусом ОK проходит через все точки L, M, K. Но L, M, K перпендикулярны радиусам OL, OM, OK. То есть окружность с центром О и радиусом ОК вписана в треугольник ABC. Теорема доказана.

Сколько окружностей можно вписать в треугольник?

В треугольник можно вписать только одну окружность. Предположим, что есть треугольник, в который вписали две окружности. В таком случае центр окружностей равноудален от сторон треугольника ABC. То есть центр окружностей совпадает с центром пересечения биссектрис треугольника ABC, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают с друг другом и никак не отличаются между собой.

Площадь описанного треугольника

Также на вышеприведённом рисунке можно заметить, что треугольник ABC состоит из других трёх угольников: ABO, BCO, CAO. Но если в каждом треугольнике взять за основание сторону треугольника ABC, то высота оказывается радиусом r окружности, которая вписана в треугольник ABC. Поэтому площадь треугольник выражается специальной формулой:

Таким образом, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.
В какие четырехугольники нельзя вписывать окружность?

На практике не всегда можно вписать окружность в любой четырехугольник. Возьмем за пример прямоугольник, у которого смежные стороны не равны друг другу. То есть данный прямоугольник не является квадратом.

Понятно, что такой в такой четырехугольник можно поместить окружность, но нельзя сделать так, чтобы окружность касалась всех сторон прямоугольника. То есть данный прямоугольник не является описанным, а окружность вписанной.

Свойства описанного четырехугольника

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то у неё появляются прекрасное свойство: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В этом можно удостовериться, обратив внимание на нижеприведённый рисунок.

На этом рисунке видно, что одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных. Можно выразить сумму касательных с помощью формул: AB+CD= a+b+c+d, BC+AD= a+b+c+d, то есть AB+CD=BC+AD. Но из данного свойства вытекает обратное: если четырехугольник является выпуклым и сумма его сторон равна, то в него можно вписать окружность.

Сколько окружностей можно вписать в прямоугольнике

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Сколько окружностей в прямоугольнике

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
2. Все углы прямоугольника прямые.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

(1)

Из равенства (1) найдем d:

(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

\( \small R=\frac \)

(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

\( \small R=\frac \)

(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

(5)

где \( \small a \) и \( \small b \) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

(6)

(7)

Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):

(8)

(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):

(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

(12)

После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

Треугольник
Выпуклый, правильный многоугольник
Квадрат
Равнобедренная трапеция
Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

\[ S = \frac (a+b+c) \cdot r = pr \]

В четырехугольник

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника.
Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

\[ S = \frac (a+b+c+d)\cdot r = pr \]

Примеры вписанной окружности

Треугольник
Четырехугольник
Многоугольник

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.