Почему потенциальная энергия отрицательна

18 Работа и потенциальная энергия

1. Энергией тело обладает не только тогда, когда оно перемещается в пространстве, но и тогда, когда оно взаимодействует с другими телами. Силы взаимодействия, в принципе, могут вызывать перемещение, и тогда оно оказывается способным отдать свое движение другим телам, — иными словами, совершить работу. Но пока тело «неподвижно», его движение (энергия) внешне никак не проявляется, оно существует «скрыто», «втуне», поэтому можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передать свою энергию другим телам.

Энергию, которой обладает тело вследствие того, что оно взаимодействует с другими телами, и зависящую от взаимного расположения тел и их частей, как мы говорили, называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина, заряженное тело, находящееся в электростатическом поле, и т.д. Следует, однако, подчеркнуть, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие можно характеризовать потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел можно характеризовать потенциальной энергией, если между ними действуют силы, величина и направление которых зависят только от относительного расположения тел (от координат) и не зависит от величины и направления скорости, иными словами, если эти силы не зависят от времени и не являются следствием движения. Мы убедим-ся в последующем, что таковыми являются, например, силы тяготения (тяжести), упругие силы, силы электростатического взаимодействия зарядов.

2. Найдем работу, которую совершает сила тяжести, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте(рис.23). Перемещение может осуществляться как угодно – с постоянной или переменной скоростью – это не скажется на величине работы, совершаемой силой тяжести. Элементарная работа, совершаемая силой тяжести на бесконечно малом перемещении, равна

(18.1)

Полная работа =.

Так как величина и направление силы тяжести в любой точке траектории остаются неизменными (что справедливо в случае, когда масштабы перемещения значительно меньше радиуса Земли: <<,<<), то ее можно вынести из-под знака интеграла:

=.

Произведение есть проекция вектора перемещенияна направление. Эта проекцияотрицательна (так как направление оси и направление вектораобразуюттупой угол).

=.

=. (18.2)

Работа, совершаемая силой тяжести при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положений тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это значит, что если бы движение происходило по другой траектории, например, по траектории, изображенной на рис.23 пунктиром, то работа силы тяжести все равно была бы равна разности .

3. Силы, работа которых не зависит от формы пути, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы пути, называются неконсервативными.

Сила тяжести является, следовательно, консервативной силой.

Каждое из слагаемых выражения (18.2) должно быть представлено в виде .

Величина являетсяфункцией состояния взаимодействующих тел (тела массы и Земли). Она является таковой потому, что ее изменение не зависит от промежуточных состояний, от пути перехода тела из начального положения в конечное.

Следовательно, величину мы вправе назвать потенциальной энергией поднятого над Землей тела:

=. (18.3)

4. Численное значение потенциальной энергии может быть определено лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной . Величина этой константы зависит от начала отсчета координат (в нашем случае от начала отсчета высот) и от выбора так называемогонулевого уровня потенциальной энергии.

Выбор нулевого уровня потенциальной энергии – это выбор точки или уровня (поверхности), где потенциальная энергия тела условно полагается равной нулю.

Выбор начала отсчета координат произволен. Столь же произволен и выбор нулевого уровня потенциальной энергии. В принципе, его можно выбирать где угодно. Однако, практически этот уровень стремятся выбрать так, чтобы константа обратилась внуль.

Условимся в случае поднятого над Землей тела высоты отсчитывать от поверхности Земли, а потенциальную энергию тела считать равной нулю, когда оно лежит на этой поверхности, т.е. на высоте =0. Подставив в (18.3)=0 и=0, найдем, что=0.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела, поднятого на высоту , равна

=. (18.4)

(формула верна для <<, где— радиус Земли).

Неопределенность численного значения потенциальной энергии не имеет принципиального значения, поскольку мы всегда имеем дело не с самой энергией, а с ее изменениями. При нахождении разности энергий произвольная постоянная исключается.

5. Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицательное численное значение.

Потенциальная энергия тела отрицательна, если при его перемещении из данной точки на нулевой уровень консервативные силы, действующие на него, совершают отрицательную работу. Рис.24 поясняет это.

6. Говоря об энергии – и кинетической, и потенциальной, следует иметь в виду, что энергия всегда характеризует систему, состоящую, по крайней мере, из двух тел, ибо лишено смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.

7. Итак, мы можем записать окончательно:

=. (18.5)

Работа, совершаемая силой тяжести при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы.

Если сила тяжести совершает положительную работу (>0), то потенциальная энергия телауменьшается (<). В этом случае

говорят, что тело совершает работу за счет убыли потенциальнойэнергии.

8. При изменении высоты тела над поверхностью Земли на бесконечно малую величину:(18.6)

Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел.

9. Рассмотрим теперь потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела.

В качестве такого тела рассмотрим упругую пружину.

Опыт показывает: для того, чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта внешняя сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается.

Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму. При этом потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деформации, превращается в другие виды энергии. Мерой энергии, превратившейся в другие виды, является величина работы, совершенной упругой силой. Вычислим работу, которую совершает упругая сила, при изменении удлинения (деформации) пружины от величины до величины(>). Вычислим сначала работу на бесконечно малом перемещении(так как упругая сила – величина переменная)

,

где — проекция упругой силы на ось.

=.

Следовательно, (18.7)

Полная работа при изменении длины пружины на конечную величину равна:

. (18.8)

Полученная работа вновь не зависит от того, как произошло изменение длины пружины. Упругая сила, так же как сила тяжести, консервативна, а разность есть разность двух значений (начального и конечного) потенциальной энергии пружины:

=, (18.9)

где и.

— константа, зависящая от выбора состояния пружины, при котором ее потенциальную энергию можно считать равной нулю. Обычно считают равной нулю потенциальную энергию недеформированной пружины (= 0). Тогда= 0 и, следовательно,

. (18.10)

Мы рассмотрели потенциальную энергию одного из видов деформации – линейного растяжения или сжатия. Заметим, что формулы потенциальной энергии других видов упругой деформации (кручения, сдвига, изгиба и т.д.) будут иметь точно такой же вид, если под понимать коэффициент жесткости тела по отношению к конкретному виду деформации, а под— меру этой деформации (например, угол закручивания, стрелу прогиба и т.д.).

11. Вид формул, выражающих потенциальную энергию взаимодействия, обусловленного другими консервативными силами, зависит от природы этих сил и характера их зависимости от координат (с некоторыми из этих формул мы в последующем ознакомимся).

12. Тело одновременно может обладать и кинетической, и потенциальной энергией. Следовательно, в общем случае полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии:

. (18.11)

13. Энергия, так же как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях.

Беседа 2. Потенциальная энергия

Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.

Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).

Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.

Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.

Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?

Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):
«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля. ».

Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.

Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть – объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м 3 ). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр. 136 читаем (дословно):
«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».

Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то оно должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.

Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее – давление, Дж/м 3 или Н/м 2 ). Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом – напряженностью поля. Причем, давление, потенциал и напряженность характеризуют потенциальное поле в данной его точке, независимо от наличия в этой точке пробного тела, ибо поле, как мы уже знаем, само обладает энергией и массой.

Если потенциальную энергию (W_П, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v 2 = W_П/m, Дж/кг) или электрический (U = W_П/q, Дж/Кл) потенциалы.

Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:
— для гравитационного поля: g = – grad v 2 ;
— для электрического: E = – grad U (о знаке речь пойдет ниже).

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.

С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.

Дополнение: Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = – grad v 2 . Помножив эти два параметра на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (W_П = mv 2 ). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = – grad W_П).
Аналогично для электрического поля: напряженность электрического поля E = – grad U, сила F = qE, потенциальная энергия W_П = qU. Значит, и здесь F = – grad W_П.

Уравнение F = – grad W_П показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.

Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?

Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с 2 ) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.

ДАВЛЕНИЕ измеряется в Н/м 2 или в Дж/м 3 . Здесь тоже более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает нам на ОБЪЁМНУЮ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ (Дж/м 3 ).

ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м 2 /с 2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м 2 /с 2 ) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.

И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.

Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:
— упрощенный (приближенный) – для однородного поля;
— общий (истинный) – для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.

Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:

W_П = mgh, Дж,
где g – напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h – вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).

Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.

Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.

К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).

Здесь рассматривается:
— уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);
— и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).

Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии:
— уравнение (25.6) W(U) = – GMm/r в первом источнике и
— уравнение W(Ur) = – GMm/r – во втором.

Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:
— в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;
— во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = – GMm/r.

И действительно, свободно падающее к центру поля тело теряет свою потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния – увеличивается.

Учитывая, что в уже известном нам уравнении W_П = – GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до… нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.

Вывод: потенциальная энергия для всех материальных частиц отрицательна.

Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v 2 = W_П/m = – GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.

Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.

Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы.

Формулы пишут математики, а физики пользуются уравнениями. Необходимые уравнения здесь уже приводились. Однако попробуем, все же, обойтись пока без них, тем более – без «формул».

Для этого используем бытовые наблюдения, которые подсказывают: чтобы испарить воду, кипящую в чайнике, нужно сжечь некоторое количество дров или газа. Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения частиц в кипящей воде и в паре.

Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.

Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.

И здесь Вы совершенно правы. Для физиков проблем с пониманием сути и знака потенциальной энергии нет, ибо они гравитационное поле, в том числе и поле тяготения Земли, считают НЕОДНОРОДНЫМ. Для физиков напряженность гравитационного поля изменяется с расстоянием в квадрате: g = Gm/r 2 .

Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh. Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое.

Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.

Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?

В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:
«Векторное поле называется однородным, если А(Р) — постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az — постоянные величины.
Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».

Теперь Вы и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.

Может ли потенциальная энергия быть отрицательной: подробные факты, примеры и часто задаваемые вопросы

В общем, подумайте, может ли тело обладать отрицательной энергией? Если да, то что подразумевается под отрицательной энергией и можно ли получить отрицательную энергию?

Компания полная энергия системы может быть отрицательным, если величина потенциальная энергия больше, чем величина кинетическая энергия. Зная это, теперь возникает вопрос: может ли потенциальная энергия быть отрицательной? Подробно ответ на этот вопрос дан в этой статье.

Как потенциальная энергия может быть отрицательной

Отрицательная потенциальная энергия — понятие относительное, зависит от системы отсчета.

Компания потенциальная энергия может быть отрицательной, если тело удерживается в точке отсчета, обладающей нулевой энергией. Если объект находится ниже поверхности земли, он обладает отрицательной потенциальной энергией.

Рассмотрим объект на трех разных высотах. Если A — точка ниже поверхности земли, то B — точка на поверхности земли. C — точка над поверхностью земли. Теперь объект находится в точке B; поскольку точка B находится на поверхности земли, она имеет нулевую потенциальную энергию.

Иллюстрация, показывающая, что потенциальная энергия может быть отрицательной

Когда объект поднят и достигает точки C, он имеет максимальное потенциальная энергия из-за его высоты. Пока объект находится в точке С, его потенциальная энергия будет максимальной. Предположим, что объект падает обратно в точку B, его потенциальная энергия уменьшается, а коэффициент I становится равным нулю.

Если объект в B падает в точку A, которая находится ниже поверхности земли, объект обладает некоторой потенциальной энергией. Потенциал объекта в точке А равен отрицательно, потому что эталонная энергия ниже поверхности земли равен нулю. Таким образом, мы можем сказать, что работа, совершаемая гравитационным полем, приводит массу из бесконечности к поверхности земли, потенциал энергия отрицательная. Точно так же, когда мяч подбрасывается в воздух, он приобретает положительную потенциальную энергию, поскольку мяч движется против силы гравитации.

Кредиты изображения: Изображение предоставлено Векторы OpenClipart от Pixabay

Когда мяч падает обратно на землю из-за гравитационного притяжения, кинетическая энергия объекта максимальна. Идеологически можно сказать, что мяч приобрел отрицательную потенциальную энергию.

Может ли потенциальная энергия весны быть отрицательной

• Пружина может обладать отрицательной потенциальной энергией в зависимости от положения пружины.
• Пружина обладает потенциальной энергией, когда она сжимается или растягивается.

Обычно пружина имеет два крайних положения и положение равновесия. Пружины обладают нулевой потенциальной энергией в крайнем положении.

Если мы поместим пружину в исходную нулевую точку в качестве положения равновесия, пружина будет обладать отрицательной потенциальной энергией как

Где; k — жесткость пружины; x — смещение пружины. Однако, если пружина освобождается от сжатия, она возвращается в исходное положение. При этом весна потеряла свою потенциальную энергию. Когда пружина возвращается в исходное положение, она восстанавливает потерянную потенциальную энергию. Но будет небольшая разница в потенциальной энергии.

Иллюстрация, показывающая, что потенциальная энергия весны может быть отрицательной

Теперь изменение потенциальной энергии будет

Чтобы компенсировать потенциальную энергию, мы можем добавить константу. Пусть V₀ быть константой; тогда потенциальная энергия будет

Из приведенного выше выражения мы знаем, что хотя потенциальная энергия пружины отрицательная, изменение потенциальной энергии пружины всегда положительно, так как сила, соответствующая изменению потенциальной энергии пружины, равна простой гармоническое движение.

Может ли гравитационная потенциальная энергия быть отрицательной?

Если тело должно пройти ниже опорного уровня энергии или удерживаться на большей высоте от силы тяжести, потенциальная энергия гравитации будет отрицательной.

Предположим, тело движется на определенной высоте; гравитация хочет привлечь к себе тело. Но организму нужно определенное количество гравитационно потенциальная энергия путешествовать против силы тяжести, делая работу, выполняемую гравитацией, отрицательной. Следовательно, гравитационная потенциальная энергия становится отрицательной по мере того, как тело движется к бесконечной высоте.

Обычно, когда тело поднимается, оно имеет либо нулевое, либо максимальное количество потенциальная энергия. Но в случае гравитационной потенциальной энергии работа, совершаемая гравитацией, всегда будет отрицательной.

Аналогично PE₂ = -Fd cosθ = mgh

ЧП₁ и ЧП₂ оба находятся в разных системах отсчета, поэтому гравитационная потенциальная энергия имеет как положительное, так и отрицательное значение.

Часто задаваемые вопросы

Влияет ли отрицательная потенциальная энергия на кинетическую энергию?

Кинетической энергией обладает движущееся тело за счет работы, совершаемой на теле потенциальной энергией.

Кинетическая энергия всегда положительна, потому что величина, входящая в кинетическую энергию, т. Е. Масса и скорость, всегда положительны, потому что квадрат любого числа всегда положителен. Следовательно, кинетическая энергия остается положительной, даже если потенциальная энергия отрицательна.

Чем вызваны негативные работы на объекте?

Работа, выполняемая объектом, считается отрицательной только тогда, когда объект смещается против приложенной силы.

Сила трения — одна из причин плохой проделанной работы. Сила трения всегда замедляет движение в направлении, противоположном приложенной силе, что приводит к отрицательной работе, выполняемой над объектом. Другая причина — сила тяжести; если объект удаляется от гравитационного воздействия, то гравитация вызывает отрицательную работу, выполняемую над объектом.

Приведите примеры отрицательной потенциальной энергии.

Некоторые из примеров отрицательной потенциальной энергии перечислены ниже:

• Если рассматривать ориентир как стол, то книга на полу имеет отрицательную потенциальную энергию.
• Планеты Солнечной системы обладают отрицательной потенциальной энергией.
• Крыса в норе в земле обладает отрицательной потенциальной энергией.

Что подразумевается под отрицательной потенциальной энергией весны?

Отрицательная потенциальная энергия пружины определяется в терминах направления возвращающей силы и приложенной силы.

В упругом теле работа, выполняемая над объектом, вызванная восстанавливающей силой, противоположна силе приложения, тогда запасенная потенциальная энергия считается отрицательной. потенциальная энергия весны.

Может ли энергия быть отрицательной? (стр. 1 из 3)

Этот вопрос в так называемых стабильных учебниках никогда специально подробно не рассматривался. Считалось, что он слишком сложен для учеников средней школы. В то же время «по умолчанию» ученики (да нередко и учителя) полагают, что энергия может быть только положительной величиной. Это приводит к недоразумениям при анализе преобразования энергии в различных процессах. Например, как объяснить, что при кипячении воды вся сообщаемая веществу энергия идет на испарение, при этом средняя кинетическая энергия движения частиц не меняется, а энергия взаимодействия частиц становится равной нулю? Куда же исчезает энергия, поступающая от нагревателя? Таких примеров можно привести много. Но целесообразнее не умалчивать, что энергия взаимодействия тел может быть как положительной, так и отрицательной. Трудности в понимании этого положения надуманные. Ведь даже ученики начальных классов понимают, что температура окружающего воздуха может быть как положительной, так и отрицательной величиной! Более того, школьники достаточно легко воспринимают существование наряду со шкалой Кельвина других температурных шкал (Цельсия, Фаренгейта, Реомюра). Таким образом, идея, что численное значение какой-то физической величины зависит от условно выбираемого начала ее отсчета, не является непостижимой для старшеклассника.

Выбор начала отсчета потенциальной энергии

Покажем, как объяснить ученикам, что при изучении механических явлений во многих случаях удобно выбрать уровень отсчета потенциальной энергии так, что она будет иметь отрицательное значение.

Анализ преобразования энергии подразумевает более детальное знакомство учащихся с ее формами. В любом учебнике сообщается, что тело массой m, движущееся относительно выбранной системы отсчета с какой-то скоростью v, обладает в этой системе кинетической энергией Eкин = mv2/2. Если же в какой-то системе отсчета тело неподвижно, то его кинетическая энергия равна нулю. Поэтому кинетическую энергию тела называют энергией движения. В отличие от других характеристик движения, таких, как скорость v или импульс p = mv, кинетическая энергия не связана с направлением движения. Она является скалярной величиной. Целесообразно предложить ученикам самостоятельно показать, что кинетическая энергия тела и системы тел не может быть отрицательной величиной.

Природа потенциальной энергии может быть совершенно различной. В случае с математическим маятником (материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l) она связана с притяжением груза маятника Землей. Именно это гравитационное взаимодействие уменьшает скорость груза при его движении вверх. В случае с теннисным мячом, ударяющимся о стенку, потенциальная энергия связана с деформацией мяча. Общее же у энергии взаимодействия груза с Землей и энергии деформации то, что такая энергия может преобразовываться в кинетическую энергию и обратно.

Однако далеко не все процессы обратимы. Например, при ударе молотка по кусочку свинца кинетическая энергия молотка вроде бы исчезает бесследно – молоток почти не отскакивает после удара. В данном случае происходит преобразование кинетической энергии молотка в теплоту и последующая ее необратимая диссипация.

Подробнее рассмотрим понятие потенциальной энергии. Природа потенциальной энергии различна, поэтому нет единой формулы для ее вычисления. Из всех видов взаимодействия мы чаще всего встречаемся с гравитационным взаимодействием Земли и тел, находящихся вблизи ее поверхности, поэтому в первую очередь следует остановиться на обсуждении особенностей гравитационного взаимодействия.

Какова формула для расчета потенциальной энергии взаимодействия Земли с находящимися вблизи ее поверхности телами? Ответ подсказывают колебания маятника. Обратите внимание (рис. 1): точки В, в которых кинетическая энергия полностью преобразуется в скрытую (потенциальную) форму, и точка А,

где кинетическая энергия маятника полностью восстанавливается, лежат на разной высоте над поверхностью Земли. Еще Гюйгенс выяснил, что высота h подъема маятника до точки В пропорциональна квадрату его скорости v2макс в нижней точке А. Лейбниц оценивал величину скрытой (потенциальной) энергии в точках В по массе m груза маятника и высоте h его подъема при колебаниях. Точные измерения максимальной скорости vмакс и высоты h показывают, что всегда выполняется равенство:

где g  10 Н/кг = 10 м/с2. Если в соответствии с законом сохранения энергии считать, что вся кинетическая энергия маятника преобразуется в точках В в энергию гравитационного взаимодействия его груза с Землей, то энергию этого взаимодействия нужно рассчитывать по формуле:

В этой формуле скрыто условное соглашение: положение взаимодействующих тел, при котором энергия их взаимодействия Еп условно считается равной нулю (нулевой уровень), выбирается так, что в этом положении высота h = 0. Но при выборе нулевого уровня физики руководствуются только стремлением предельно упростить решение задачи. Если по каким-то соображениям удобно считать, что потенциальная энергия равна нулю в точке на высоте h0  0, то формула для потенциальной энергии принимает вид:

Рассмотрим падение камня со скалы (рис. 2). Необходимо определить, как изменяется кинетическая энергия Ек камня и потенциальная энергия Еп его взаимодействия с Землей по мере падения. Предположим, что на краю скалы (точка А) скорость камня равна нулю.

При падении камня его трение о воздух невелико, поэтому можно считать, что нет диссипации энергии и перехода ее в теплоту. Следовательно, согласно закону сохранения энергии при падении камня не меняется сумма кинетической и потенциальной энергии системы тел Земля + камень, т.е.

1. Согласно условию задачи в точке А скорость камня равна нулю, поэтому Ек| A = 0.

2. Нулевой уровень потенциальной энергии взаимодействия камня с Землей удобно выбрать так, чтобы предельноупростить решение задачи. Поскольку указана только одна фиксированная точка – край скалы А, – то разумно принять ее за начало отсчета и положить Еп| A = 0. Тогда полная энергия (Ек + Еп)|A = 0. Следовательно, в силу закона сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергий камня и Земли остается равной нулю во всех точках траектории:

Сумма двух ненулевых чисел равна нулю только при условии, что одно из них отрицательное, а другое – положительное. Мы уже отмечали, что кинетическая энергия не может быть отрицательной. Поэтому из равенства (Ек + Еп)|B = 0 следует, что потенциальная энергия взаимодействия падающего камня с Землей является величиной отрицательной. Это связано с выбором нулевого уровня потенциальной энергии. За нулевую точку отсчета координаты h камня мы приняли край скалы. Все точки, через которые пролетает камень, лежат ниже края скалы, и значения координат h этих точек лежат ниже нуля, т.е. они отрицательны. Следовательно, согласно формуле Еп = mgh отрицательной должна быть и энергия Еп взаимодействия падающего камня с Землей.

Из уравнения закона сохранения энергии Ек + Еп = 0 вытекает, что на любой высоте h вниз от края скалы кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

(при этом следует помнить, что h – отрицательная величина). Графики зависимости потенциальной энергии Еп и кинетической энергии Ек от координаты h показаны на рис. 3.

Нелишне тут же разобрать и случай, когда камень подбрасывается вверх в точке А с некоторой вертикальной скоростью v0. В начальный момент кинетическая энергия камня Eк = mv02/2, а потенциальная энергия, по соглашению, равна нулю. В произвольной точке траектории полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий mv2/2 + mgh. Закон сохранения энергии записывается в виде:

mv02/2 = mv2/2 + mgh.

Здесь h может иметь как положительные, так и отрицательные значения, что соответствует движению камня вверх от точки бросания или падению ниже точки А. Таким образом, при определенных значениях h потенциальная энергия положительна, а при других – отрицательна. Этот пример должен показать учащемуся условность приписывания потенциальной энергии определенного знака.

После знакомства учащихся с приведенным выше материалом, целесообразно обсудить с ними следующие вопросы:

1. При каком условии равна нулю кинетическая энергия тела? потенциальная энергия тела?

2. Объясните, соответствует ли закону сохранения энергии системы тел Земля + камень график на рис. 3.

3. Как меняется кинетическая энергия подброшенного мяча? Когда она уменьшается? увеличивается?

4. Почему при падении камня его потенциальная энергия оказалась отрицательной, а при скатывании мальчика с горки ее считают положительной?

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле

Следующий шаг предполагает знакомство учеников с потенциальной энергией тела в поле тяготения. Энергия взаимодействия тела с гравитационным полем Земли описывается формулой Еп = mgh только в том случае, если гравитационное поле Земли можно считать однородным, не зависящим от координат. Гравитационное поле определяется законом всемирного тяготения:

где R – радиус-вектор, проведенный от центра масс Земли (принятого за начало отсчета) до данной точки (напомним, что в законе тяготения тела считаются точечными и неподвижными). По аналогии с электростатикой можно записать эту формулу в виде: