Коллинеарные векторы
В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными и перечислим условия, при которых они являются таковыми. Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Условия коллинеарности векторов
- Примеры задач
Условия коллинеарности векторов
Векторы, лежащие на одной или нескольких параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора коллинеарны, если выполняется одно из условий ниже:
1. Существует такое число n, при котором .
2. Отношения координат векторов равны. Но данное условие не может применяться, если одна из координат равняется нулю.
3. Векторное произведение равно нулевому вектору (применимо только для трехмерных задач).
Примеры задач
Задание 1
Даны векторы , и . Определим, есть ли среди них коллинеарные.
Решение:
У заданных векторов нет нулевых координат, значит мы можем применить второе условие коллинеарности.
Следовательно, коллинеарными являются только векторы a и c .
Задание 2
Выясним, при каком значении n векторы и коллинеарны.
Решение:
Т.к. среди координат нет нулей, согласно второму условию мы можем составить их соотношение, чтобы рассчитать недостающий элемент.
Найти значение х при котором векторы будут параллельны
3А = (-6; 9; 15), -2B = (-8; 2; -14).
3А – 2B = 3А + (-2B) = (-6 — 8; 9 + 2; 15 – 14) = (-14; 11; 1).
Если A || B, то 
. Отсюда:
Ответ: 
.
Ответ: 
Ответ: D = 2A – B + 3C.
Ответ: A = B = 1, G = -5.
AA + BB + GC = 0
5A + B = (-20 + 12; 15 – 15; 0 + 16) = (-8; 0; 16).
Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов 
и 
и 
и 
.
Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .
Ab = |A|·|B|·cosφ.
(A – B)(2A + B) = 2Аа – 2Ba + Ab – Bb = 2|A|2 – Ab — |B|2.
Ответ: (A – B)(2A + B) = 8.
Известно, что |A| = 3, |B| = |C| = 1 и A + B + C = 0. Найти Ab + Bc + Ca.
11 + 2Ab + 2Bc + 2Ca = 0, откуда Ab + Bc + Ca = -5,5.
Ответ: Ab + Bc + Ca = -5,5.
(3А – B)(A + 2B).
(3А – B)(A + 2B) = 3Aa – Ba +6Ab – 2Bb = 3|A|2 + 5Ab -2|B|2.
|A|2 = 22 + (-3)2 + 12 = 14;
|B|2 = (-1)2 + 22 + 12 = 6;
(3А – B)(A + 2B) = 3·14 + 5·(-7) — 2·6 = -5.
Ответ: 
.
Ответ: K = 
.
Найти значение х при котором векторы будут параллельны
Ответ:
Пошаговое объяснение:
a ║ b ⇔ ∃ x∈R a = x·b, то есть, учитывая, что xb = (βx; -6x; 2x)
-6x = 3; x = -0,5
-2 = -0,5β; β = -2÷(-0,5); β = 4;
α = -0,5·2 = -1
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов a и b необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами b = λ·a, λ∈R или a = μ·b, μ∈R.
Даны векторы a = (-2; 3; α) и b = (β; -6; 2). Из первого равенства необходимого и достаточного условия находим:
(β; -6; 2)=λ·(-2; 3; α) ⇔ (β; -6; 2)=(-2·λ; 3·λ; α·λ) ⇔
Значит, если α=-1 и β=4, то векторы a и b коллинеарны.
Упр.414 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Как отсортировать двумерный массив