Можно ли нарисовать граф с 5 вершинами степени которых равны

&nbsp(3) сумма alt=»math» />степеней матрицы смежности C ориентированного графа G содержит ненулевые элементы в некоторых клетках главной диагонали &nbsp
&nbsp(4) сумма alt=»math» />степеней матрицы смежности C ориентированного графа G содержит ненулевые элементы во всех клетках главной диагонали &nbsp

Задание 2.1. Составить множество Е_iи нарисовать диаграмму орграфа _i(V, E_i), где V = , а E_i — бинарное отношение, заданное на множестве V:

Рассуждая, таким образом, построим граф ₁(V, E₁):

а) 2, 3, 4, 7, 7, 8, 6, 3, 0, 5;

б) 2, 1, 10, 7, 9, 8, 5, 4, 0, 7.

Задание 3.1.Постройте диаграммы орграфа с семью вершинами и 13 ребрами.

Подсказка. Вершины орграфа лучше изображать окружностями одинакового диаметра (для этого необходимо изобразить 7 точек, и на панели инструментов в вкладке Окружность по центру и точке ,выберите Окружность по центру и радиусу радиус можно выбрать равным 0.3(десятичная дробь задается через точку)), а ребра векторами. Например, можно изобразить этот граф так.

2. Орграф с семью вершинами и 13 ребрами преобразуйте в мультиорграф, для этого изобразите несколько кратных ребер. Подпишите ребра.

3. Орграф с семью вершинами и 13 ребрами преобразуйте в ориентированный псевдограф, для этого изобразите несколько петель (ребер у которых совпадает начало и конец).

4. Мультиорграф с семью вершинами и 16 ребрами преобразуйте в ориентированный псевдограф, для этого изобразите несколько петель.

Подсказка. Петля даёт вклад 1 в обе эти степени. Очевидно, что общее количество всех выходящих рёбер равно общему количеству всех входящих рёбер и равно количеству рёбер этого графа: m = = .

Можно ли нарисовать граф с 5 вершинами степени которых равны

Под графом мы будем понимать множество точек ( вершин ), некоторые из которых соединены отрезками ( ребрами ).
Степень вершины графа — это количество выходящих из нее (или, что то же самое, входящих в нее) ребер (еще говорят: количество ребер, инцидентных данной вершине). Вершина графа называется четной , если ее степень четна, и нечетной в противном случае.
Некоторая часть вершин данного графа называется компонентой связности , если из любой ее вершины можно «дойти» до любой другой, двигаясь по ребрам.

В некоторых случаях на ребрах графа выбирается «направление движения» (например, когда на автомобильной дороге вводится одностороннее движение). При этом получается ориентированный граф . (Если направление движения по ребрам не определено, то граф называется неориентированным ). В ориентированном графе различают положительную и отрицательную степень каждой вершины (то есть количество ребер, соответственно, входящих и выходящих из нее). Две вершины могут быть соединены и несколькими ребрами, направления движения по которым противоположны («дорога с двусторонним движением»). Изменяется понятие компоненты связности: теперь каждый «маршрут» от одной вершины до другой должен учитывать направление движения по ребрам.

Задачи

3. Можно ли, сделав несколько ходов конями из исходного положения (верхний рисунок), расположить их так, как показано на нижнем рисунке? (Выходить за пределы поля 3×3 не разрешается.)

Построим граф, вершинами которого являются города, а ребрами — существующие авиалинии. Вспомним признак делимости на 3: натуральное число делится нацело на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Заметим, что если название города делится на 3, то он соединен авиалиниями только с городами, названия которых тоже делятся на 3. Наоборот, те города, названия которых не делятся на 3, не могут быть соединены авиалиниями с городами, названия которых делятся на 3. Поэтому города 3, 6 и 9 образуют одну компненту связности графа, в которую никакие другие города не входят. Это означает, что из города 1 в город 9 добраться по воздуху нельзя.

Упражнение: А какие еще компоненты связности есть в этом графе?

Теорема 1. Количество ребер в любом графе равно половине суммы степеней его вершин.
Докажите эту теорему самостоятельно по аналогии с задачей 5.

6. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?
Подсказка: попытайтесь посчитать количество телефонных проводов.

При решении всех последующих задач мы будем пользоваться этой теоремой. Любое решение следует начинать с выбора вершин и ребер графа. Попробуйте решить эти задачи самостоятельно, не ссылаясь на теорему, а заново проводя ее доказательство в каждом конкретном случае.

8. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей?

Существует ли граф на 9 вершинах, степени которых равны 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 5, 6?

Rsa97

конкретно здесь можно измыслить так:
вершины 4, 5, 6, даже если соединены друг с другом попарно (на что уйдет 6 степеней), всё равно имеют 9 свободных степеней, которые не накрываются остальными вершинами.

но это при условии, что нет кратных ребер (когда ребра А и Б соединены более чем одной вершиной), и петель (ребер А-А). У тебя ведь именно такой кейс?

Задача 7. Основные понятия по теории графов

1. Нарисовать все кубические графы с не более чем 8 вершинами.

2. Сколько ребер содержит полный трехдольный граф, если ; ; , где – множество вершин его долей?

3. Найти число ребер в дополнении к простому циклу на 10 вершинах.

4. Может ли регулярный двудольный граф степени больше 1 иметь мосты?

5. Можно ли построить граф, в котором число вершин четной степени нечетно?

6. Нарисуйте все порожденные подграфы простого цикла .

7. Нарисуйте все связные подграфы простой цепи .

8. Какая из цепей или является порожденным подграфом в простом цикле ?

9. Каково количество ребер в 4-регулярном графе на 10 вершинах?

10. Существует ли граф порядка 5, у которого степени вершин равны ?

11. Нарисуйте граф на 7 вершинах, в котором одна вершина имеет степень 3, а остальные вершины имеют степени 2 или 4.

12. В полном графе 18 вершин. Сколько в нем ребер, инцидентных одной вершине?

13. Граф имеет 9 вершин и 8 ребер. Сколько ребер имеет дополнение графа?

14. Из полного графа на 20 вершинах удалили несколько вершин. В оставшемся подграфе стало 66 ребер. Сколько удалено вершин и ребер?

15. Что можно сказать: a) о соединении двух полных графов; b) о дополнении соединения двух полных графов; c) о дополнении полного двудольного графа?

16. Существует ли цикл в однородном графе, содержащем 33 нечетных вершины?

17. В полном двудольном графе 143 ребра. Определить и , если и .

18. В двудольном графе , , число ребер равно 18. Найти число ребер дополнения до полного двудольного графа.

19. Доказать, что в непустом двудольном регулярном графе доли содержат равное число вершин.

20. Привести примеры (когда это возможно): a) двудольного регулярного графа; b) кубического графа порядка 9; с) платонова двудольного графа; d) связных графов, являющихся регулярными графами степени 4.

21. Найти все самодополнительные графы с четырьмя и пятью вершинами.

22. В графе Петерсена найти: a) маршрут длины четыре; b) циклы длины пять, шесть, восемь и девять; c) разрезы, содержащие три, четыре и пять ребер.

23. Найти диаметры, радиусы и центры графов: a) ; b) ; c) ; d) .

24. Найти диаметр, радиус и центр графа Петерсена и всех платоновых графов.

25. Обхватом графа называется длина его кратчайшего цикла. Найти обхваты графов: a) ; b) ; c) ; d) ; e) платоновых графов; f) графа Петерсена.

26. Найти дополнения к графам, соответствующим тетраэдру, кубу и октаэдру.

27. Найти: 1) ; 2) ; 3) .

28. Вычислите эксцентриситеты вершин простой цепи с 7 вершинами.

29. Могут ли диаметр и радиус графа совпадать?

30. Сколько вершин содержит центр простого цикла на 13 вершинах, на 17 вершинах?

31. Сколько вершин содержит центр полного графа на 19 вершинах?

32. Сколько вершин содержит центр простой цепи на 13 вершинах, на 18 вершинах?

33. Сколько вершин содержит центр звезды на 13 вершинах, на 32 вершинах?

34. Сколько вершин содержит центр полного двудольного графа с долями из 6 и 8 вершин, с долями из 7 и 9 вершин?

35. Сколько мостов имеет дерево c m ребрами?

36. Чему равна сумма числа ребер n — вершинного графа и числа ребер его дополнения?

37. Найти матрицы смежности графов .

38. Чему равна сумма элементов матрицы смежности неориентированного графа?

39. Чему равна сумма элементов матрицы инцидентности ориентированного графа?

40. Построить матрицы смежности для графов и .

41. Какова связь между матрицами смежности простого графа и его дополнения.

42. Пусть – неориентируемый граф, вершины которого пронумерованы натуральными числами , а множество ребер определяется следующим условием: несовпадающие вершины и смежны тогда и только тогда, когда числа i и j взаимно просты. Требуется: a) записать матрицу смежности графа , установить, является ли этот граф связным; b) изобразить графы и и найти их матрицы смежности.

43. Доказать, что каждое дерево является двудольным графом. Какие деревья являются полными двудольными графами?

44. В дереве 20 вершин. Сколькими способами в дерево можно ввести цикл при помощи одного дополнительного ребра?

45. Доказать, что каждое дерево имеет один или два центра.

46. В связном графе 18 вершин. Сколько ребер содержит его остов?

47. В связном графе 20 вершин и 40 ребер. Сколько ребер необходимо удалить, чтобы получить остов?

48. Нарисовать все неизоморфные деревья порядка шесть и семь.

49. Используя матричную теорему Кирхгофа, найти число остовов в полном двудольном графе .

50. Убедиться непосредственно, что существует ровно 125 помеченных деревьев с пятью вершинами.

Задача 8. Изоморфизм графов

Какие из трех указанных графов являются изоморфными, а какие – неизоморфными? Для изоморфных графов указать соответствие вершин, сохраняющее смежность. Для неизоморфных графов пояснить причину этого.

Задача 9. Дополнение графа, реберный граф, двойственный граф

Для указанного графа построить его дополнение, реберный граф и геометрически двойственный граф.

Задача 10. Операции над графами

Даны графы и . Построить графы: . Для графа найти матрицы смежности и инцидентности.

Задача 11. Фундаментальные циклы

Найти матрицу фундаментальных циклов, радиус, диаметр и центр графа G. Является ли изображенный граф эйлеровым? Является ли изображенный граф планарным?