Когда момент силы считается отрицательным

Статика. Момент силы.

Момент силы относительно оси вращения — это физическая величина, которая равна произведению силы на ее плечо.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

Плечо силы – это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле­чом силы F_t здесь оказывается расстояние l, от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М₁ вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М₂, которая вращает его против часовой стрелки:

Момент силы принято считать положительным, если тело вращается по часовой стрелке, и от­рицательным, если — против.

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики, которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары, независимо от того, на какие отрезки l, и разделяет положение оси плечо пары:

.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Момент силы (примеры формула)

Момент силы это векторная величина, понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике.

Что такое вращательное движение тела Момент силы Момент инерции

Движение, при котором все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, с центрами, расположенными на одной неподвижной прямой, называется вращательным движением тела.

Прямая О’О» (рис. 2, а) называется осью вращения. Угловая скорость для всех точек вращающегося тела одинакова, линейные скорости различны: чем дальше расположена точка от центра вращения, тем больше ее линейная скорость.

Для того чтобы вызвать вращение тела, к нему надо приложить силу F, которая:

1. Действует в плоскости Р, перпендикулярной оси вращения.
2. Не проходит через эту ось.
3. Направлена под прямым углом к радиусу r, проведенному от оси вращения О’О» к точке приложения силы. При этом действие силы тем значительнее, чем дальше расположена точка ее приложения от оси вращения.

Это учитывается с помощью величины, называемой вращающим моментом или просто моментом силы.

Момент силы

Движение тела называется вращательным, если все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения.

Колеса всевозможных машин и механизмов могут вращаться вокруг неподвижной оси; пропеллер самолета, колодезный «журавль», дверь на петлях, откидная крышка школьной парты представляют собой примеры того же случая.

Если вначале тело покоится, то, чтобы вызвать вращение, необходимо подействовать на тело с некоторой силой. Однако не всякая приложенная сила вызовет вращение тела.

Силы, одинаковые по величине, но различные по направлению или приложенные в разных точках, могут вызвать весьма различные эффекты.

Оказывается, сила момента сейчас, действующая на тело, закрепленное на оси, только тогда может вызвать его вращение, когда направление силы не проходит через ось.

Сила, направленная параллельно оси вращения, также не вызывает вращение тела, а только стремится изогнуть ось.

От чего зависит действие силы

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между осью вращения и прямой, по которой действует сила.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, по которой действует сила, называется плечом силы.

На рис. плечо силы обозначено буквой l. Величина, характеризующая вращающее действие силы, называется моментом силы и обозначается буквой М. Момент силы измеряется произведением силы на плечо (момент силы формула):

Момент силы — векторная величина. Направление вектора М определяется поступательным движением буравчика, расположенного вдоль оси вращения, если направление вращения его головки совпадает с направлением действующей силы.

В СИ за единицу момента силы принимается момент силы в один ньютон, имеющий плечо в один метр

Чтобы отличить моменты сил, создающих вращение в противоположные стороны, условились считать моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, положительными, а моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке,— отрицательными.

Момент силы, направленной вдоль прямой, проходящей через ось вращения, равен нулю (так как l = 0).

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, надо стараться приложить силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем самым плечо силы и соответственно уменьшая величину силы.

Не случайно дверная ручка закреплена на наибольшем расстоянии от оси вращения

Момент силы относительно центра вращения

alt=»Момент силы относительно центра вращения» width=»200″ height=»76″ />Момент силы М относительно центра вращения в общем случае называют векторную величину, численно равную произведению силы F на длину d перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направ ление силы, который называют плечом силы (рис. 2, б) (в нашем случае плечом силы F является радиус r, проведенный из центра вращения О к точке приложения силы — рис. 2, а).

Вектор М момента силы приложен к центру О окружности и направлен вдоль оси вращения в направлении, определяемом по «правилу буравчика».

Если под действием момента силы тело по отношению к наблюдателю вращается по часовой стрелке (рис. 2, а), то момент считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Если на теле действует несколько моментов сил, то они складываются алгебраически (т. е. с учетом знака момента).

Для того чтобы тело, имеющее ось вращения, находилось в равновесии, алгебраическая сумма моментов, действующих на него, должна равняться нулю.

Инерция вращающегося тела

Аналогично тому как действие силы при вращательном движении за висит от плеча силы, так и инерция вращающегося тела зависит от располо жения его массы относительно оси вращения.

Чем дальше от оси вращения расположена масса тела, тем больше ее инерция. Это можно продемонстри ровать с помощью прибора, показанного на рис. 3. На стойке П укреплен блок Б с четырьмя стержнями, по которым могут передвигаться грузы М.

На блок намотана нить, на конце которой подвешена гиря Г. Натяжение нити создает на оси блока вращающий момент, постоянный по величине, под действием которого блок со стержнями приводится во вращение.

Ускорение блока можно определить путем наблюдения времени, в течение которого гиря Г опускается на определенное расстояние, отмечаемое по шкале Ш. Это ускорение зависит от инерции блока.

Если грузы М расположены близко от оси вращения, блок имеет небольшую инерцию и гиря опускается очень быстро. Если передвинуть грузы к краям стержней в положение М’, то инерция блока увеличится и гиря будет опускаться заметно медленнее.

Как увеличить инерцию

Для того чтобы учитывать инерцию при вращательном движении тела, пользуются величиной, называемой моментом инерции.

Момент инерции j для тела достаточно малой массы m относительно оси, находящейся на расстоянии r от центра масс тела (рис. 4), численно равняется произведению этой массы на квадрат расстояния:

Напомним, что центром масс (или центром тяжести) тела называют точку, в которой может быть приложена равнодействующая силы тяжести всех отдельных частей тела.

Для тел сплошных, однородных, правильной геометрической формы центр масс совпадает с геометрическим центром.

Центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка.

Вычисление момента инерции

Для вычисления момента инерции какого-либо тела его разделяют на множество достаточно малых по массе элементов, для каждого из них вычисляют момент инерции j относительно заданной оси вращения и затем последние суммируют.

Момент инерции в системе СИ измеряется в кг•м 2 , в СГС — г•см 2 . Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы могут быть вычислены по известным формулам.

Например, для однородного цилиндра относительно продольной оси: J = (1/2) тr 2 , где т — масса иr — радиус цилиндра.

Для однородного шара с массой т и радиусом r момент инерции относительно оси, проходящей через центр шара:

J = (2/5) mr 2 .

Для тел неоднородных или сложной геометрической формы момент инерции обычно определяется опытным путем.

Если вращательное движение тела происходит равноускоренно, то оно характеризуется угловым и линейным ускорениями.

Угловое ускорение ε измеряется отношением изменения ∆ω угловой скорости за достаточно малый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

Единицы измерения

Единицей измерения углового ускорения является рад/сек 2 или 1/ сек 2 .

Линейное ускорение а какой-либо точки тела равняется произведению углового ускорения ε на расстояние r точки от оси вращения:

а = εr = ( ∆ω/∆t)r.

Единица измерения в системе СГС — см/сек 2 , в системе СИ — м/сек 2 При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение ε прямо пропорционально приложенному моменту силы М и обратно пропорционально моменту инерции J тела:

ε = M/J , откуда М = εJ = J ( ∆ω/∆t).

Эта зависимость выражает второй закон Ньютона применительно к вращательному движению и называется основным уравнением вращательного движения.

Определим кинетическую энергию Е_к тела достаточно малой массы m, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, находящейся на расстоянии г от центра масс тела. По общему правилу:

Eк = (mυ 2 )/2 = (m ω 2 r 2 )/2 = j(ω 2 /2)

Для вычисления кинетической энергии Е_к вращающегося тела с массой М его надо разделить на множество достаточно малых по массе элементов, вычислить для каждого из них кинетическую энергию Е_к и затем суммировать:

Eк = Е’к1 + Е’к2 + … = j1 (ω 2 /2) + j(ω 2 /2) + … = ω 2 /2(j₁ + j₂ + …) = J(ω 2 /2)

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равняется половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

Глава 2 момент силы относительно центра. Пара сил

При рассмотрении пространственной системы сил применяется понятие момента силы относительно центра (или точки).

Определение. Моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор, модуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 17). Плечом h силы F относительно центра О называют длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Согласно этому определению

, (11)

где .

Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н·м).

Для нахождения формулы, которая выражает вектор , рассмотрим векторное произведение. По определению

Направлен вектор перпендикулярно плоскости OAB в ту сторону, откуда кратчайшее совмещениес(если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки, т.е. так же, как вектор. Следовательно, векторыивыражают одну и ту же величину. Отсюда

или , (12)

где – радиус-вектор точки А, проведенной из центра О.

Момент силы имеет следующие свойства:

1) момент силы относительно центра не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия;

2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

§7. Алгебраический момент силы относительно центра

При рассмотрении плоской системы сил используется понятие алгебраического момента силы относительно центра. Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т.е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике можно направления этих моментов отличить одно от другого знаком и рассматривать момент силы относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся такой момент называть алгебраическим и обозначать символом. Алгебраический момент силыотносительно центра О равенвзятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо, т.е.

. (13)

При этом момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицательным – когда по ходу часовой стрелки. Так для сил, изображенных на рис. 18: ,.

§8. Пара сил. Момент пары

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 19, а).

Система сил ,, образующих пару, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой (аксиома 1)). В то же время пара сил не имеет равнодействующей поскольку. Поэтому свойства пары сил, как нового самостоятельного элемента статики, должны быть рассмотрены отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному моменту пары.

Определение: моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б), т.е.

.

В отличие от момента силы вектор пары является свободным вектором, т.е. его можно переносить в любую точку тела.

Моменту пары можно дать другое выражение: момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т.е.

. (14)

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 20) радиусы векторы и. Тогда согласно формуле (12), учтя еще, что, получим

, и, следовательно

,

где .

Так как , то справедливость равенства (14) доказана. Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат

или , (15)

т.е. момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

Из формулы (14) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны.

Из формулы (14) следует еще, что если на тело действует несколько пар с моментами ,, …, то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любого центра будет равна, а следовательно, вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом

. (17)

Момент силы

Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Момент силы

Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.

Понятие о моменте силы — одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).

Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила , вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести В обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.

Момент силы относительно точки (центра)

Заданная сила , изображена вектором , приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:

где — радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

Определим величину (модуль) и направление вектора . Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы относительно точки О равна:

Обозначим . Поскольку Тогда:

где (рис. 3.3) — высота опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.

Вектор направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что . Поэтому:

Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора

Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).

Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.

В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)

Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным — если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы:

Момент силы относительно оси

Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется величина, равная алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила (Рис. 3.6). определим момент силы относительно произвольной оси . Проведем плоскость П, перпендикулярную оси .
Точку пересечения плоскости П с осью обозначим А. Спроектируем силу на плоскость П и получим силу

Согласно определению

Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
— спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
— найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
— определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда
2) линия действия силы пересекает ось, тогда

Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси , то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку

Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.

Доказательство. Сила приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси (рис. 3.8). Определим момент силы относительно оси и относительно точки О на ней.
Известно, что

где

Из курса элементарной геометрии известно, что

где — угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.

Поскольку вектор перпендикулярный плоскости, а ось перпендикулярна к

Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим

Знак полностью определяется знаком .

что и требовалось доказать.

Моменты силы относительно координатных осей

Пусть на тело действует сила приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы относительно точки О.

Согласно (3.1),где — радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы и радиусвектор через проекции на оси координат выражаются:

где — координаты точки А; — орты выбранной системы координат.

Тогда векторное произведение можно записать в виде определителя:

Раскрывая этот определитель, получим

Представим векторный момент через его проекции на оси координат:

Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:

Поскольку точка О принадлежит осями , то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:

Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).

Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим . Найдем момент равнодействующей относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), где — радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.

Известно, что . Тогда

Итак, получили равенство

Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:

Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).

Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.

Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы и как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если

Решение.

Для определения момента силы относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу на две составляющие: горизонтальную и вертикальную . Величины этих составляющих Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:

Услуги по теоретической механике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.