Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.

В виде формулы теорема записывается следующим образом:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_^n\;=\;M_0I\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В данном случае I будет означать полный ток .

Теорема используется для того, чтобы облегчить вычисление индукции магнитного поля, созданного совокупностью токов, текущих по проводам. Упрощение достигается с учетом симметрии и конфигурации токов. К примеру, с применением этой теоремы возможен расчет магнитной индукции для проводников с высокой степенью симметрии.

Взглянем на циркуляцию вектора \(\overrightarrow B\) . Предположим, что условный замкнутый контур находится в пространстве с магнитным полем, а также предположим направление его обхода. В таком случае, касательная составляющая \(B_l\) вектора \(\overrightarrow B\) определяется на каждом отдельно взятом маленьком участке \(\triangle l \) этого контура. Иными словами определяется проекция вектора \(\overrightarrow B\) на направление касательной к определенному участку контура.

Циркуляцией вектора \(\overrightarrow B\) является сумма произведений \(B_l\) и \(\triangle l\) , которая взята по целому контуру L: \(\overrightarrow B = \textstyle\sum_ <(L)>B_l \triangle l.\)

Исходя из этого, можно сформулировать следующее: принимая во внимание теорему о циркуляции, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) магнитного поля постоянных токов по каждому из контуров L в любой момент времени рассчитывается как произведение магнитной постоянной \(\mu_0\) на сумму всех токов:

Вывод из теоремы: так как циркуляция индукции магнитного поля не равняется нулю, магнитное поле прямолинейного тока не будет являться потенциальным.

\(\oint\limits_L\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;\neq0\) , где \(\overrightarrow B\) обозначает вектор магнитной индукции, а dl является элементом произвольного контура L.

Чему равна циркуляция, закон Био–Савара

Циркуляция вектора \( \overrightarrow B\) прямолинейного тока вдоль замкнутого контура, который не охватывает этот проводник, равняется нулю. В случае, когда несколько токов оказываются охваченными контуром, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) равняется их алгебраической сумме:

\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)

Закон Био-Савара определяет вклад \(\triangle\overrightarrow B\) в магнитную индукцию \(\overrightarrow B\) результативного магнитного поля, образуемого маленьким участком \(\triangle l \) проводника с током I.

В данном случае r является расстоянием от заданного участка \(\triangle l\) до точки наблюдения, \(\alpha\) обозначает угол между направлением на точку наблюдение и направлением тока на определенном участке, а \(\mu_0\) является магнитной постоянной.

Благодаря закону Био-Савара можно определить магнитные поля током с различными конфигурациями и вычислить магнитное поле в центре кругового витка с током.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Предположим, что S — это поверхность, охватываемая контуром L. Правило правого винта будет связывать проложенную к поверхности нормаль и направление обхода контура L. В таком случае определить силу тока, текущего через поверхность S, можно с помощью следующей формулы:

\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

В этой формуле \(\overrightarrow j\) будет обозначать объемную плотность тока.

Исходя из этого, используем следующее написание формулы:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

Теперь образуем ротор вектора \(rot\overrightarrow B\) , основываясь на теореме Стокса, уточним, что:

Тогда формула примет вид:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

§ 37. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции поля постоянных токов в вакууме может быть доказана на основе закона Био-Савара, что, в общем случае, достаточно сложно.

— циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (рис.75).

РИС.75 РИС.76 РИС.77

Если ток распределен по объему, в котором расположен контур, то полный ток охваченный контуром , где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токе расположения площадки . В этом случае теорема о циркуляции:

Покажем справедливость теоремы на примерах.

ПРИМЕР 1. Контур охватывает прямолинейный бесконечно длинный провод с током, причем контур расположен в плоскости перпендикулярной проводу (рис.76). Найдем циркуляцию вектора магнитного поля, используя формулу для расчета индукции поля, полученную методом суперпозиции . Скалярное произведение под интегралом можно представить (рис.77):

Если замкнутый контур L` не охватывает ток (рис.78),

То и циркуляция также равна нулю.

ПРИМЕР 2. Контур лежит не в плоскости перпендикулярной проводу (рис.79). Разложим вектор на составляющие вектора, один из которых лежит в плоскости перпендикулярной проводу, а второй перпендикулярен этой плоскости:

Циркуляция вектора магнитной индукции определяется только «проекцией» контура на плоскость перпендикулярную проводу.

ПРИМЕР 3. Если контур охватывает несколько токов, то вектор индукции результирующего поля:

ПРИМЕР 4. Если ток непрерывно распределен в объеме, в котором расположен контур, то полный ток, охватываемый контуром , где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур.

Тогда :

РИС.80 РИС.81 РИС.82 РИС.83

Теорема о циркуляции позволяет достаточно просто рассчитать индукцию магнитного по известному распределению токов, если можно выбрать контур, вдоль которого модуль вектора магнитной индукции и направление постоянно.

В простейшем варианте можно выбрать контур полностью совпадающий с линией магнитной индукции как в поле прямого тока (рис.80), тороида (рис.81).

Поле внутри соленоида (рис.82) тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции (рис.83).

Ток охватываемый контуром , где N – число витков с током, охваченных контуром. Тогда:

Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле

, где n – число витков соленоида на единицу длины.

Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от электростатического, магнитное поле – не потенциально.

Используем теорему Стокса и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.

— дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.

Используем, что или с помощью определителя:

, .

Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля с решением

Продолжаем разбираться с задачами по физике. На этот раз рассмотрим примеры решения задач на тему «Циркуляция магнитного поля».

Заходите в наш телеграм – там найдутся интересные новости и лайфхаки для каждого студента. А еще, у нас есть канал со скидками и акциями, не упустите выгоду!

Теорема о циркуляции магнитного поля, задачи

Прежде, чем мы начнем разбирать примеры решений, напомним про полезные формулы и универсальную памятку по физическим задачам. И обязательно почитайте теорию по теме!

Задача №1 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Соленоид длиной l=0,5 м содержит N= 1000 витков. Определить магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если сопротевление его обмоток =120 Ом , а напряжение на ее концах U= 60В.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I i B l = μ 0 I N

Отсюда запишем соотношение для магнитной индукции:

B = μ 0 U N R l = 1 , 25 · 10 — 6 · 60 · 1000 120 · 0 , 5 = 1 , 25 · 10 — 6 Т л

Задача №2 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника. Тороид содержит N=200 витков, а по его обмотке протекает ток 2 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см.

Решение

Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора.

Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии:

∮ B d l = μ 0 ∑ I i B · 2 π r = μ 0 N I

Здесь r – разность между внешним и внутренним диаметром катушки. Из формулы выше можно выразить индукцию:

B = μ 0 N I 2 π D 1 — D 2

Чтобы найти напряженность, нужно разделить магнитную индукцию на магнитную постоянную:

Подставим значения и рассчитаем:

B = 1 , 25 · 10 — 6 · 200 · 2 2 π · 0 , 6 — 0 , 4 = 0 , 39 м Т л

H = 0 , 39 · 10 — 3 1 , 25 · 10 — 6 = 312 А м

Ответ: 0,39 мТл, 312 А/м

Задача №3 на циркуляцию магнитного поля

Условие

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, определите В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

Решение

Запишем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I

В данном случае контуром можно выбрать окружность радиуса r, которая лежит в плоскости, перперникулярной проводнику. Проводник находится в центре окружности. Вектор B направлен по касательной, а его модуль одинаков по всей окружности. Теорема о циркуляции примет вид:

B · 2 πr = μ 0 I B = μ 0 I 2 πr = 1 , 25 · 10 — 6 · 10 2 · 3 , 14 · 0 , 1 = 19 , 9 мкТл

Ответ: 19,9 мкТл.

Задача №4 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I = 5 А.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции, циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I ∮ B d l = μ 0 I = 1 , 25 · 10 — 6 · 5 = 6 , 25 м к Т л · м

Ответ: 6,25 мкТл*м.

Задача №5 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура L, если I1=4 A, I2=1 A, I3=9 A, I4=1 A?

Решение

Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур.

Из рисунка видно, что четвертый ток не влияет на циркуляцию. С учетом направлений токов, запишем:

∮ B d l = I 1 — I 2 + I 3 = 4 — 1 + 9 = 12 А

Ответ: 12 А

Вопросы на тему «Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции»

Вопрос 1. Что такое циркуляция векторного поля?

Ответ. В общем случае, циркуляция векторного поля по какому-то контуру – это скалярная величина, равная криволинейному интегралу второго рода по данному контуру.

Вопрос 2. Как звучит терема о циркуляции магнитной индукции?

Ответ.

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля равна магнитной постоянной, умноженной на алгебраическую сумму токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция.

Вопрос 3. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция – векторная физическая величина, силовая характеритика магнитного поля. Магнитная индукция определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем с определенной скоростью. Измеряется в Теслах.

Вопрос 4. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная:

H = B μ 0

Напряженность равна разности векторов магнитной индукции и намагниченности среды.

Напряженность в вакууме совпадает с магнитной индукцией.

Вопрос 5. Справедлива ли теорема о циркуляции для напряженности поля?

Ответ. Да, справедлива.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром.

Если у вас не получается быстро решать задачи, не отчаивайтесь! Профессиональный сервис для учащихся поможет ускорить процесс выполнения любого задания: от контрольной до диплома.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Заключительный урок по основам векторного анализа будет посвящён ещё одной характеристике векторного поля под названием циркуляция. С чем у нас ассоциируется этот термин на обывательском уровне? Циркуляция воздуха, циркуляция жидкости в некоторой системе; причём латинский корень данного слова (circulare) говорит нам, о том, что процесс идёт «по кругу».

Всё верно, понятие циркуляции пришло в теорию поля из гидродинамической задачи, где нужно было оценить движение жидкости по замкнутому контуру. Построим простейшую модель: пусть в некой замкнутой трубе циркулирует жидкость, и её движение описывается полем скоростей . Рассмотрим произвольную замкнутую линию тока . Упрощённо будем полагать, что каждой точке линии соответствует торчащий из неё вектор поля, который показывает направление и скорость движения жидкости в данной точке.

Циркуляция () векторного поля по контуру – это скалярная величина, численно равная криволинейному интегралу 2-го рода по этому контуру:

Согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объёдиняет проекции «торчащих» из контура векторов на координатные оси по всем бесконечно малым кусочкам контура, что и является оценкой движения жидкости. И непосредственно из интеграла видно, что циркуляция зависит от двух вещей:

– длины самого контура (чем длиннее, тем больше циркуляция);

– скорости течения * (чем длиннее векторы «эф», тем больше их бесконечно малые проекции и тем больше значение ).

* Со временем понятие циркуляции распространилось на произвольное векторное поле, где циркулировать в прямом смысле нечему

При этом контур, очевидно, можно обойти двумя способами: в одном направлении или в противоположном. В обоих случаях получится одно и то же абсолютное значение циркуляции с разными знаками (если, конечно, ). На практике чаще используется обход против часовой стрелки – когда для «идущего по контуру» человека ограниченная контуром область остаётся по левую руку. Такое направление обхода называют положительным.

Следует также заметить, что требование замкнутости контура не является обязательным – циркуляцию можно вычислить и по произвольной кусочно-гладкой линии, которая позволяет беспроблемно интегрировать. Однако исторически и методически сложилось так, что в практических задачах контур, как правило, замкнут.

И, если расписать криволинейный интеграл циркуляции для векторного поля подробно, то перед нами «откроется» её физический смысл:

А именно, циркуляция равна работе векторного поля по замкнутому контуру , о которой я, в том числе упоминал на первом уроке по теории поля. Этот смысл больше характерен для силовых полей, но и в гидродинамической модели результат можно интерпретировать как работу поля скоростей по перемещению материальной точки.

Таким образом, сегодня у нас будет две задачи «в одном флаконе»! К тому же криволинейных интегралов по пространственным контурам мы почти не решали, и сейчас самое время наверстать упущенное:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении.

Решение: изобразим треугольник на чертеже и обязательно пометим стрелочками порядок его обхода:

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна криволинейному интегралу 2-го рода по данному контуру, и в силу свойства аддитивности:

Как говорится, разделяй и властвуй:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку :

По точкам и найдём направляющий вектор прямой :
, и поскольку его «зетовая» координата равна нулю, то канонические уравнениЯ прямой принимают следующий вид: . Мысленно проверяем, что координаты точек «а» и «бэ» удовлетворяют полученным уравнениям. Так как , то у нас есть возможность свести криволинейный интеграл к определённому интегралу с интегрированием по «икс» или по «игрек». Из левой пропорции выражаем:
и находим дифференциал: – таким образом решение сведётся к переменной «икс», которая в соответствии с направлением интегрирования изменяется (смотрим на чертёж!) от 3 до 1:

Как вариант, из уравнений прямой можно выразить , найти и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 2. Не упускаем отличную возможность проверки:

2) Вычислим циркуляцию векторного поля по отрезку :

Направляющий вектор соответствующей прямой найдём по точкам :
– и поскольку все его координаты отличны от нуля, то нам не удастся «обнулить» какую-либо переменную в криволинейном интеграле. Что делать? Запишем параметрические уравнения прямой – по точке (удобнее взять начало пути) и направляющему вектору :

Нетрудно видеть, что началу отрезка соответствует значение , а концу – значение . Осталось найти дифференциалы параметрических уравнений:

и АККУРАТНО подставить весь скарб:

3) И, наконец, вычислим циркуляцию поля по отрезку :

Поскольку путь лежит в плоскости , то «игрековая» координата будет равна нулю, что позволяет нам свести решение к определённому интегралу по «икс» либо по «зет». Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
– не забываем мысленно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученным уравнениям.

Из пропорции проще выразить , найти и проинтегрировать по «зет» (внимание!) от 2 до 0 – строго по направлению обхода:

Не позволяй душе лениться – теперь выразим , найдём и проинтегрируем по «икс» от 0 до 3:

, что и требовалось проверить.

Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать и параметрические уравнения – кому как удобнее.

Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру:

Ответ:

Скорее всего, вам не очень понятен этот результат с точки зрения гидродинамики, и чуть позже я объясню его смысл. Но прежде ответим на старый сакраментальный вопрос: а нельзя ли проще?

Формула Стокса

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его ротора через поверхность , натянутую на данный контур в направлении, которое соответствует направлению обхода контура:

а именно, если смотреть на поверхность из острия её нормальных векторов (вектора), то путь по контуру должен быть ВИДЕН НАМ, как осуществляемый ПРОТИВ часовой стрелки. Посмотрите на треугольник (чертёж выше) со стороны острия единичного нормального вектора . Обход контура осуществляется против часовой стрелки? Да*. Значит, это и есть нужный вектор нормали, и поэтому нам следует вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне треугольника.

* Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника

По формуле Стокса:

, где – единичный вектор нормали верхней стороны треугольника.

Примечание: по сути, в правой части записан поверхностный интеграл 2-го рода – уже сведённый к поверхностному интегралу 1-го рода

Найдём роторную функцию поля . Чтобы не запутаться, выпишем компоненты поля, и возьмём частные производные в «роторном» порядке:

Таким образом:
, следовательно, наше поле потенциально и:

Ну ещё бы – если вспомнить физический смысл циркуляции (работа векторного поля по контуру), и вспомнить о том, что работа по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, то всё встаёт на свои места.

Таким образом, циркуляция векторного поля равна нулю не только по треугольнику , но и вообще по любому замкнутому контуру пространства. Из чего становится понятен и гидродинамический смысл задачи: представьте, что треугольник находится внутри замкнутой трубы. Поскольку поле скоростей потенциально, то циркуляция будет равна нулю не только по данному треугольнику, но и по любой внутренней замкнутой линии. Это говорит нам о том, что движение жидкости в трубе разнонаправлено и скомпенсировано – сколько циркулирует в одном направлении – столько проциркулирует и в другом.

На самом деле формулой Стокса мы пользовались и раньше: если контур полностью лежит в плоскости , то получается её частный случай под названием формула Грина:

, где – замкнутая область, ограниченная контуром . И фактически сейчас мы прорешали пространственный аналог Примера 12 урока Криволинейные интегралы по замкнутому контуру.

Интересно отметить, что рассмотренное в задаче поле является не только потенциальным, но ещё и соленоидальным:

Такие поля (одновременно потенциальные и соленоидальные) называют гармоническими. И под этот термин мне всегда представляется полноводная широкая река с ровным течением, по которой величественно, без малейшего отклонения от прямого курса плывёт разный мусор целая флотилия ладей. И в этом действительно есть какая-то завораживающая гармония. Однако, то лишь ассоциация – самостоятельно придумайте «бурный» пример ��

В курсе векторного анализа существует целый раздел, посвящённый гармоническим полям, но сейчас мы возвращаемся к делам практическим, и для самостоятельного решения я предлагаю вам аналогичную задачу:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении двумя способами: а) непосредственно, б) по формуле Стокса.

Это более распространённый случай, где все отрезки лежат в координатных плоскостях, и поэтому здесь можно обойтись исключительно декартовыми координатами. Впрочем, параметрические уравнения тоже неплохой вариант, ибо буковка там всего одна =) – главное, правильно разобраться с пределами изменения параметра.

При использовании формулы Стокса не путаемся – в ней вычисляется поток НЕ САМОГО поля , а его ротора . И да, тут потребуется составить уравнение плоскости.

НЕ ЛЕНИМСЯ и обязательно решаем это задание! Оно, может быть, не слишком интересно с точки зрения содержания, но крайне полезно для отработки техники решения криволинейных интегралов. В конце урока можно ознакомиться с образцом решения и некоторыми рациональными приёмами вычислений, позволяющими минимизировать трудозатраты и уменьшить риск ошибок.

Помимо контура-треугольника, пожалуй, популярнее только окружность:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса

Решение: предложенные уравнения задают окружность, лежащую в плоскости , радиуса 2 с центром на оси . Причём, в условии ничего не сказано о порядке обхода контура, и мы, в принципе, можем выбрать любой из них. Пойдём «традиционным» путём:

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно. С «иксом», «игреком», «зет» и их дифференциалами тут всё прозрачно:

и осталось проконтролировать пределы изменения параметра:
– если , то – белая точка контура (см. чертёж);
– если , то – самая верхняя точка контура.
Таким образом, при изменении окружность «прорисовывается» в противоположном направлении по отношению к нашему порядку обхода, и поэтому интеграл следует взять от до 0:

Ответ:

Отрицательный знак говорит нам о том, что циркуляция осуществляется (полностью или преимущественно) против выбранного нами порядка обхода, и если бы мы обошли окружность в противоположном направлении, то получилось бы

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:

Найдём роторную функцию:

Поскольку поверхность , натянутая на контур , представляет собой плоскую фигуру (круг), то для всех её точек единичный вектор нормали может «смотреть» лишь в две стороны. Какой вектор выбрать: или ? Вспоминаем правило: из острия вектора обход контура должен быть ВИДЕН НАМ против часовой стрелки. Этому условию удовлетворяет вектор . Обязательно взгляните на круг и с другой стороны – с этой точки зрения контур обходится ПО часовой стрелке, и поэтому вектор не годится.

Теперь заряжаем формулу Стокса:

Здесь можно сослаться на то, что интеграл равен площади -круга: и сразу дать ответ , но мы пойдём академичным путём.

Коль скоро, поверхность «полноценно» проецируется лишь на плоскость , то ничего не остаётся, как применить частную формулу . Особо подчёркиваю, что это частный случай, и если бы под интегралом были хоть какие-то переменные, то потребовалась бы полная версия

Но у нас всё проще:

И здесь снова можно сослаться, что полученный двойной интеграл численно равен площади круга такого же радиуса, но я таки «добью» интеграл с помощью «экзотического» перехода к полярным координатам в плоскости . С порядком обхода тут всё ясно:

– обратите внимание, что полярный угол изменяется в стандартном направлении, от полуоси в сторону полуоси . Грубо говоря, роль «игрека» здесь выполняет переменная «зет», а значит :

Ответ:

Если выбрать другое направление обхода окружности , то придётся использовать противоположно направленный вектор , из-за чего, очевидно, сменится знак. Однако отрицательный знак ничем не хуже положительного и говорит лишь о том, что мы подсчитали циркуляцию полностью или преимущественно «против течения».

Пара задач для самостоятельного решения. Попроще:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса. Выбрать положительное направление обхода.

В образце я привёл скрупулезное решение, но на практике можно пользоваться и геометрическим смыслом интегралов, обычно преподаватели к этому относятся лояльно.

И задачка позанятнее:

Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура

Контур здесь представляет собой линию пересечения цилиндра и плоскости, а именно, эллипс; и, кстати, на уроке о тройных интегралах в Примере 7 я рассказывал, как построить такое сечение. Интересно отметить, что тут можно легко обойтись без чертежа, поскольку требуется найти абсолютное значение циркуляции, то направление обхода не имеет значения – просто тупо интегрируем по «тэ» от 0 до . С параметрическими уравнениями «косого» эллипса, думаю проблем возникнуть не должно. Но, это палка о двух концах – возможно, вам покажется проще решение вторым способом.

Существует и более сложные задачи, однако в рамках данного урока этого будет достаточно, ибо лучше проще – да понятнее. Кроме того, я далеко не всё рассказал по теме, в частности о том, что само понятие ротора определяется через циркуляцию и поверхность, натянутую на контур + ещё один интересный момент, который касается поверхности. Читайте, например, 3-й том Фихтенгольца.

Ну а я поздравляю вас с успешным прохождением занимательного курса по теории поля. Надеюсь, он был понятен, интересен и полезен, и теперь никому не будут страшнЫ, по крайне мере, навороченные обозначения в учебниках.

Всё что осталось сделать – это вручить вам в руки лопату и отправить на обширное поле векторного анализа =) Дополнительные задачи с решениями есть в соответствующем архиве банка решений, библиотеке mathprofi.com, или в этом решебнике. Только будьте осторожны и критичны – недочёты и ошибки могут быть где угодно.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: изобразим контур интегрирования на чертеже:

а) Решим задачу непосредственно:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда выразим:

При этом изменяется от 0 до 3:

Проверьте решение другим способом!

2) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда:

Найдём дифференциал:
изменяется от 3 до 0:

Самостоятельно проведите решение по переменной «зет»

3) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :

В данном случае выгоднее выразить
изменяется от 3 до 0:

Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру:

б) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса:

Найдём ротор векторного поля:
. В данном случае:

Составим уравнение плоскости по точке и векторам :

Запишем вектор нормали этой плоскости: и найдём соответствующий единичный вектор:

Примечание: из острия данного вектора обход контур виден нам против часовой стрелки, следовательно, это и есть нужный вектор нормали
Найдём скалярное произведение:

Таким образом:
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода используем формулу , где – проекция треугольника на плоскость .
В данном случае:

Двойной интеграл численно равен площади треугольника :

Пример 4: Решение: выполним чертёж:

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно:

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:
, где – поверхность, натянутая на контур
Найдём . В данном случае:

Спроецируем поверхность на плоскость и воспользуемся формулой
, где – проекция поверхности . В данном случае :

Перейдем к полярным координатам в плоскости :

Пример 5: Решение: запишем параметрические уравнения цилиндра:
(любое действительное число)
Подставим первые два уравнения в уравнение плоскости:

Таким образом, сечение цилиндра плоскостью (эллипс) определяется уравнениями:

и вычислим циркуляцию векторного поля по контуру Г в направлении, которое соответствует изменению параметра в пределах :
Выполнять упрощения и считать интегралы, конечно же, удобнее по отдельности =)

Постарайтесь прийти к этому же результату, используя формулу Стокса.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

Слободянюк А.И. Физика 10/12.12

Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми кривыми, поэтому картины силовых линий магнитного поля напоминают линии тока жидкости, движущейся с завихрениями. Посмотрите еще раз на приведенные ранее картины силовых линий магнитного поля – сплошные вихри. На рис. 49 показаны еще два примера силовых линий магнитного поля, созданного длинными параллельными проводниками (на рис. 49.а – их три, а на рис. 49.б – пять), по которым протекают равные токи.

Для математического описания таких полей удобно использовать понятие циркуляции вектора.

Точнее следует сказать, что знание циркуляции необходимо для описания любого векторного поля: напомним, любое векторное поле определяется однозначно, если известны теоремы о потоке и циркуляции векторов этого поля. Другое дело, что в электростатическом поле циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, поэтому электростатическое поле является потенциальным и для него оказывается возможным ввести такую важную физическую характеристику как потенциал поля. Для магнитного поля циркуляция не имеет явного физического смысла, а является весьма полезной вспомогательной математической величиной.

Определение циркуляции вектора магнитной индукции, аналогично определению циркуляции любого векторного поля.

Рассмотрим произвольную замкнутую линию (не обязательно, чтобы это была силовая линия). Выделим на этой линии малый участок, определяемый вектором \(

\Delta \vec l\) (рис. 50). Пусть вектор индукции магнитного поля на этом участке равен \(

\vec B\) , вычислим скалярное произведение этих векторов

\Delta \Gamma_B = \vec B \cdot \Delta \vec l = B \Delta l \cos \alpha\) ,

где α — угол между вектором индукции и касательным вектором к выбранной линии (он совпадает с выделенным малым участком \(

\Delta \vec l\)). Далее разобьем всю замкнутую линию (Рис. 50) на малые участки \(

\Delta \vec l_i\) , на каждом из которых вычислим скалярное произведение \(

\Delta \Gamma_ = \vec B_i \cdot \Delta \vec l_i = B_i \Delta l_i \cos \alpha_i\) , и просуммируем [1] их по всем участкам замкнутой линии (контура)

\Gamma_B = B_1 \Delta l_1 \cos \alpha_1 + B_2 \Delta l_2 \cos \alpha_2 + B_3 \Delta l_3 \cos \alpha_3 + \ldots = \sum_i B_i \Delta l_i \cos \alpha_i\) . (1)

Построенная таким образом, математическая конструкция называется циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному контуру L. Ее величина может быть как положительной, так и отрицательной, ее знак определяется произвольным выбором направления обхода контура, но, как обычно, положительным принимается направление обхода против часовой стрелки.

Понятно, что циркуляция магнитного поля может отличаться от нуля. Например, если в качестве произвольного контура выбрать замкнутую силовую линию, то при ее обходе на всех участках вектор индукции будет совпадать по направлению с направлением касательной, как было сказано ранее, «все время будем плыть по течению».

Теперь нам необходимо установить теорему, позволяющую установить циркуляцию вектора индукции. Отметим, что эта теорема является прямым следствием закона Био-Саварра-Лапласа, можно сказать, иной математической формулировкой этого физического закона. Не будем заниматься строгим доказательством теоремы, а проиллюстрируем ее простым примером.

Пусть магнитное поле создается длинным прямым проводником, по которому протекает электрический ток силой I. Индукцию такого поля мы рассчитали: силовые линии являются концентрическим окружностями с центрами на проводнике (Рис. 51). Легко подсчитать циркуляцию вектора индукции (1) по контуру, совпадающему с одной из силовых линий (например, радиуса r). Действительно, на любом участке этого контура вектор индукции направлен по касательной (поэтому все α_i = 0), а модуль вектора индукции постоянен и равен \(

B_i = \frac \) , поэтому суммирование в формуле (1) сводится к вычислению длин малых отрезков окружности (после недолгих размышлений можно сообразить, что она равна длине окружности), поэтому для данного контура

\Gamma_B = \sum_i B_i \Delta l_i \cos \alpha_i = \frac \sum_i \Delta l_i = \frac \cdot 2 \pi r = \mu_0 I\) . (2)

Таким образом, циркуляция по выбранному контуру оказалась равной произведению силы тока на магнитную постоянную, причем не зависимо от радиуса выбранной окружности. Такой красивый результат не может быть случайным – доказано [2] , что такое же значение циркуляции получится для любого контура, охватывающего проводник с током, причем не обязательно прямой. А что будет в том случае, если контур не охватывает проводник с током? В этом случае циркуляция будет равна нулю. Очень просто это доказать, для контура, показанного на рис. 52 (проделайте это самостоятельно).

Так как для вектора магнитной индукции справедлив принцип суперпозиции, а циркуляция линейно выражается линейно через индукцию поля, по принцип суперпозиции также справедлив и для циркуляции магнитного поля.

Обобщая все эти положения, дадим окончательную формулировку теоремы о циркуляции: циркуляция вектора магнитной индукции по любому контуру равна сумме токов, пересекающих контур, умноженной на магнитную постоянную

\Gamma_B = \mu_0 I\) . (3)

Сумма токов, пересекающих контур \(

I = \sum_k I_k\) , понимается в алгебраическом смысле, то есть токи могут быть положительными, так и отрицательными. Сила тока считается положительной, если его направление и направление обхода образуют правый винт (Рис. 53). Так же как и поток, циркуляция является интегральной (не точечной) характеристикой магнитного поля – из того, что циркуляция по какому-то контуру равна нулю, не следует, что магнитное поле отсутствует – может контур не охватывает ни один ток, или их сумма равна нулю. Токи, не пересекающие контур, так же создают магнитное поле, но циркуляция этого поля по такому контуру равна нулю.

Наконец, уточним, что значит «ток пересекает контур», особенно, если контур не является плоским. Контур это замкнутая линия, поэтому приведенное выражение следует понимать, как ток пересекает любую поверхность (Рис. 54), опирающуюся на контур (или еще говорят «поверхность, натянутую на контур»). Легко доказать, что эта сумма токов, не зависит от выбора поверхности, натянутой на данный контур: из закона сохранения электрического заряда следует, что в статическом случае (когда все токи и все заряды не изменяются с течением времени) сумма токов, пересекающих любую замкнутую поверхность, равна нулю («сколько втекает, столько же вытекает»).

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)

\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур L целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса R, лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r₁ ≤ r < r₂ изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру L в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:

Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля проекцию на направление обхода контура abcd только на стороне ab. Следовательно, циркуляция вектора по контуру равна Bl, где l – длина стороны ab. Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd, равно n · l, где n – число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен I n l. Согласно теореме о циркуляции,

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

(11)

С учетом того, что , можно будет записать:

(12)

Теорема о циркуляции :циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, (37)

где — число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы.

Сравнивая циркуляцию векторов и , можно сделать вывод: циркуляция вектора электростатического поля всегда равны нулю, т.е. электростатическое поле являетсяпотенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равны нулю. Такое поле называется вихревым.

. (41)

, (42)

где — поток магнитной индукции (магнитный поток).

(1)

Знак минус показывает, что увеличение потока вызывает э. д.с. т. е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает т.е. направления потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (1) определяется правилом Ленца.

Согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за время dt ( ) будет складываться из работы на джоулеву теплоту (I 2 Rdt) и работы по перемещению проводника в магнитном поле (IdФ):

= есть не что иное, как закон Фарадея.

\[rot\ \overline =0\ \left(4\right).\]

\[rot\ \overline =0\ \left(1.1\right).\]

\[rot\ \overline =rot\ \left[A\left(2xy\ \overline+\left(x^2-y^2\right)\overline \right)\right]=\frac\overline -\frac\overline \left(1.3\right).\]

\[rot\ \overline =rot\ \left[A\left(2xy\ \overline+\left(x^2-y^2\right)\overline \right)\right]=0.\]

∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ( I 3 — I 2 ) .

∑ ( L ) B l ∆ l = 2 π R B = μ 0 I ,

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_ ^n\;=\;M_0I\)

\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)

\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур L целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса R, лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r₁ ≤ r < r₂ изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру L в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:

Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля проекцию на направление обхода контура abcd только на стороне ab. Следовательно, циркуляция вектора по контуру равна Bl, где l – длина стороны ab. Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd, равно n · l, где n – число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен I n l. Согласно теореме о циркуляции,