Какие из заданных отображений являются линейными операторами

1. Определение линейного оператора

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — по­нятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: R n размерности n и R m размерности m.

Определение 1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства R n ставится в соответствие единствен­ный вектор у пространства R m , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х), действующий из R n в R m , и записывают у = А (х).

Определение 2. Оператор (преобразование) называется линейным, если для лю­бых векторов х и у пространства R n и любого числа  выполняются соотношения:

А(х + у) = А(х) + А(у) — свойство аддитивности оператора;

А(х) = А(x) — свойство однородности оператора.

Определение 3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Если пространства R n и R m совпадают, то оператор А отображает пространство R n в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Связь между вектором х и его образом у = А(х) можно выра­зить в матричной форме уравнением

Y = А∙Х,

где А — матрица линейного оператора, X = (х₁,х₂. х_n) Т ,

Y = (y₁, y₂,. y_n) Т — матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пример 1. Пусть Являются ли линейными следующие преобразования?

Решение. Преобразование будет линейным, если все координаты образов векторов будут линейными комбинациями координат вектора . Здесь в преобразованиивторая координата равнаяне является линейной комбинацией, в преобразовании, аналогично, кроме того, третья координата имеет вид, что так же не является линейной комбинацией координат вектора. Значит, эти преобразования не являются линейными. Преобразованиеявляется линейным.

Пример 2. Пусть в пространстве R 3 линейный оператор А,

в базисе е₁, е₂, е ₃ задан матрицей A = .

Найти образ у = А(х) вектора х = 4е₁ — Зе₂ + е₃.

Решение. По формуле Y = А∙Х имеем

Следовательно, у = 10e_l — 13e₂ — 18е₃. ►

2. Действия над линейными операторами.

Определение 4. Суммой двух линейных операторов А и В называется оператор (А + В), определяемый равенством: (А + В)(х) = А(х) + В(х).

Определение 5. Произведением линейного оператора А на число  называется оператор А , определяемый равенством (А)(х) = (А(х)).

Определение 6. Произведением линейных операторов А и В называется опера­тор АВ, определяемый равенством: (АВ)(х) = А(В(х)).

Можно убедиться в том, что операторы (А + В), А, АВ по­лученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор О, переводящий все векторы пространства R n в нулевые векторы 0(х) = 0, и тождественный оператор Е, действующий по правилу: Е(х) = х.

Пример 3. Выяснить, какие из заданных отображений в себя пространства арифметических векторов R 3 являются линейными операторами. Выписать их матрицы в каноническом базисе:

А(х)=(х₁, х₂+1, х₃+2) – не является линейным оператором;

А(х)=(х₂ +х₃ ,2х₁ +х₂ , 3х₁ – х₂ +х₃) – является линейным оператором с матрицей .

Пример 3. В пространстве заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу С линейного оператора С=АВ и его явный вид в каноническом базисе:

А(х)=(2х₂, -2х₁ +3х₂ +2х₃ , 4х₁ – х₂ +5х₃ ), В(х)=(-3х₁ +х₃ , 2х₂ +х₃ , -х₂ +3х₃ ).

Решение: Составим матрицы операторов .С=АВ=.

Следовательно С(х) =(4х₂ +2х₃, 6х₁ +4х₂ +7х₃ , -12х₁ -7х₂ +18х₃ ).

Пример 4. Пусть

Найти ψ(х)=

Решение. Матрицы преобразований будут соответственно

. Пусть – матрица преобразования, тогда

.

.

16. Линейные операторы и их матрицы

Является линейным оператором, что проверяется непосредственно по определению. Единичный оператор , реализующий тождественное отображение, также является линейным оператором.

Множество элементов линейного пространства , которые являются образами векторов из области определения оператора, называют образом оператора И обозначают .

Ядром линейного оператора называют множество элементов линейного пространства , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают .

Непосредственно из определений следует, что и образ, и ядро оператора являются линейными подпространствами. При этом размерность образа оператора называют рангом оператора И обозначают .

Размерность ядра оператора называют дефектом оператора и обозначают . Доказывается, что сумма ранга и дефекта оператора равна размерности пространства, в котором действует оператор:

Пусть — произвольный линейный оператор в -мерном линейном пространстве с некоторым фиксированным базисом . Разложим преобразованные векторы по исходному базису:

Квадратная матрица, составленная из коэффициентов этого разложения

Называется матрицей оператора В заданном фиксированном базисе.

По теореме о единственности разложения векторов по базису, каждому линейному оператору соответствует единственная матрица оператора в фиксированном базисе. Отметим, что, выбрав другой базис в линейном пространстве, мы получили бы другую матрицу для того же оператора.

Обратно, если задана некоторая произвольная квадратная матрица и фиксирован некоторый базис , то этой матрице соответствует единственный линейный оператор , действующий по правилу , где- столбцы координат векторов в указанном базисе.

Таким образом, между линейными операторами и матрицами имеется взаимно однозначное соответствие для любого фиксированного базиса. Ранг линейного оператора и ранг матрицы оператора всегда совпадают, причем независимо от выбора базиса в исходном векторном пространстве .

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор — соответствующим этому числу собственным вектором линейного оператора, если они связаны между собой соотношением

В -мерном линейном пространстве с некоторым базисом векторное равенство Равносильно матричному равенству . Для того чтобы найти собственные векторы, следует найти ненулевые решения однородной системы уравнений

Такие решения существуют только в том случае, когда ранг матрицы строго меньше числа неизвестных . Отсюда следует, что . Уравнение

Относительно неизвестного называют характеристическим уравнением линейного оператора, а многочлен

Степени называют характеристическим многочленом оператора.

Как известно, многочлен степени имеет ровно вещественных или комплексных корней с учетом их кратности. Таким образом, решив уравнение , мы получим систему чисел .

Некоторым из этих чисел Соответствуют бесконечные множества ненулевых собственных векторов, выделяемые из общего решения однородной системы уравнений . Множество всех таких собственных чисел называют спектром линейного оператора. Доказывается, что спектр линейного оператора не зависит от выбора в нем базиса.

Найдем, для примера, собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного с помощью следующей матрицы оператора

Составим характеристическое уравнение оператора

Раскрывая определитель по правилу Саррюса и приводя подобные члены, получим кубическое уравнение относительно неизвестного

Это уравнение имеет три вещественных корня, которые обычно нумеруют в порядке убывания с учетом кратности

Для каждого значения составляются однородные системы уравнений относительно неизвестных :

Для однородная система имеет вид

Преобразуем матрицу коэффициентов нашей системы в соответствии с прямым ходом метода Гаусса

Ранг преобразованной матрицы равен двум, поэтому имеем два базисных неизвестных и одно свободное неизвестное . Полагаем свободное неизвестное равным произвольной постоянной: . Неизвестные Находим из системы уравнений, соответствующей преобразованной матрице, в виде

Отбрасывая из общего решения системы нулевое решение, бесконечное множество собственных векторов линейного оператора обычно записывают в строку в

Виде , или в столбец в виде .

Здесь символом Обозначена переменная, принимающая возможные значения собственных векторов, отвечающих собственному значению два; буквой — произвольная постоянная, принимающая любые ненулевые вещественные значения, — один из удобных собственных векторов, записанный в строку и полученный из общего решения при .

Аналогично, составляются однородные системы уравнений для двух других корней характеристического уравнения. Эти системы исследуются по методу Гаусса. В нашем случае обе системы имеют нетривиальные решения, что позволяет получить множества собственных векторов, отвечающих этим числам, в следующем виде:

Какие из заданных отображений являются линейными операторами

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

Линейные операторы

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂.
2. A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,

(1)

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.

(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx=Ax+Bx, x∈R,

(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Cej=Aej+Bej=	n	(aij+bij)ej
	∑
	j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.

(11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=A(Bx), x ∈ R.

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.

(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)

(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.

(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Ox=0.

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

−A=(−1)A.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).